“去方程化”的分数应用题教学探究.pdf

322024 年 2 月 15 日投稿网址：“去方程化”的分数应用题教学探究山东省淄博市高新区教育和体育事业中心牛延凯摘 要 分数应用题是小学数学的难点，现有教材中大量借助方程处理分数中的复杂数量关系。义务教育数学课程标准（2022 年版）将方程内容从小学移出后，亟需形成“去方程化”的分数应用题教学变革。分析现有教材的变迁、对比国外教材，可以发现方程并不是分数应用题教学的必要条件。在不借助方程时，首先通过“量”和“率”的分类讨论，把握分数应用题和整数应用题的迁移联系；进一步通过构建数量关系结构，明晰分数问题中加减乘除列式的算术意义；最后通过比、分数、除法之间的大单元联系，实现分数应用题的整体教学。关键词 小学数学；分数应用题；方程；“去方程化”引用格式 牛延凯.“去方程化”的分数应用题教学探究 J.教学与管理，2024（05）：32-36.教学理念在 义务教育数学课程标准（2011 年版）中，方程是小学数学的重要内容。因此，现有教材编排中把方程作为解答分数应用题的重要方式，并取得一定成效。而 义务教育数学课程标准（2022 年版）（以下简称 2022 年版课标）将方程内容从小学调整到初中学段。史宁中教授解释了调整的原因：在小学阶段没有涉及到方程的本质，也没有感知方程的必要性。方程作为解决问题的重要方式，调整出小学阶段后，影响较大的是应用题的教学，其中以分数应用题尤甚。不借助方程，如何突破这一教学难点？本文依托人教版、北师大版、青岛版数学教材中的部分题目，将原有的方程思路调整为算术思路，着重讨论“去方程化”的分数应用题教学方式，为新课标修订后的分数应用题教学提供参考。一、方程在分数应用题中的教学现状1.现有教材中的分数应用题教学充分发挥了方程的优势现有教材编排中分数加减法问题、正向思维为主的分数乘法问题以算术列式为主，逆向思维为主的分数除法问题以列方程为主。以人教版教材“分数除法”单元为例，单位“1”未知的例题出现了 4 次，只有 1 次采用了算术列式，其余均采用方程列式。而北师大版教材和青岛版教材中，对单位“1”未知的分数除法问题全部采用方程列式。方程的价值表现为逆向思维到顺向思维的转化，具体到分数问题中，能够实现分数乘法和分数除法问题解题思路的统一。以人教版教材例题为例：“儿童体内的水分约占体重的45，小明体内有 28 千克水分，他的体重是多少？”这是一道分数除法问题，但列方程时能借助分数乘法的意义分析其等量关系：小明的体重 45=体内水分质量，设小明体重为 x 千克，x45=28。因此，现有教材中不再强调分数除法的数量关系式，而是重点理解分数乘法数量关系求一个数的几分之几用乘法，然后借助方程沟通分数除法与分数乘法。正是因为这些优势，把方程引入小学，实现算术思维到代数思维的过渡，一度被看作是新课改的重要成果，也在一定程度上降低了分数应用题的难度。上海杨浦区曾做过对比分析，对 63 所学校 9 574 名学生进行解分数应用题能力测试，平均成绩达 88.8 分，高于使用老教材的对照学校 10 分以上1。2.国外教材中的分数应用题教学并未将方程作为必要条件然而，列方程解分数应用题并不是所有版本教33牛延凯：“去方程化”的分数应用题教学探究材的共识。如美国加州版数学教材中的分数应用题例题并没有出现列方程思路，而是综合运用多种问题解决方法，如分析法、作图法和转换法等。其实，美国的数学教材在四年级便引导学生“用字母、计算符号去表示代数式和方程”2，但在五、六年级教材中方程并没有成为解分数应用题的思路。加州版教材主要通过情境设计简化数量关系的分析过程，通过辅助图示直观理解，通过螺旋式编排对同一种题型反复学习以降低难度。这些措施是分数教学的重要思路，也说明方程不是分数应用题教学的必要条件。3.课堂中的分数应用题教学坚持方程和算术并重方程在国内小学数学教材中的编排方式曾多次调整，方程概念从无到有，方程解法也不断发生变化。早期曾借助四则运算关系解方程，自从 2001 年课改后，教学中开始运用天平的平衡原理和等式性质解方程，其优点是直观形象，符合小学生的认知特点3，但缺点是解方程步骤比较繁琐。正因为方程概念和解法在小学一直不够完善，在解决问题时，一线教师并不完全依赖方程，而是算术方法和方程并重。在课改之初的 2008 年，洪婷对“执教分数应用题时，你更喜欢什么方法？”这一问题的调查数据显示，算术方法仍然有很大的受众，其中一线教师喜欢方程思路的占比 49.6%，喜欢算术方法的占比 50.4%4。2011 年后，随着现行教材的使用，方程解题思路受欢迎程度增加，但算术方法仍在不断探究，比如一线教学中广泛通过单位“1”的分析来辨别是用分数乘法还是分数除法5。所以，目前的分数应用题教学中，教材虽推崇方程思路，一线教师也往往补充算术思路以供学生参考。整体来看，方程调整出小学阶段后，对学生而言，需要直面分数问题中的逆向数量关系；对教师而言，需要着重建构分数除法的数量关系模型，以便形成算术列式基础，这是 2022 年版课标 出台后分数应用题教学面临的重要挑战。二、分数应用题学习中的主要障碍学生在运用分数解决问题时往往会遇到诸多障碍，主要包括理解题意时的阅读障碍、知识关联时的迁移障碍、分析数量关系时的结构障碍、具体求解中的计算障碍等。无论是否引入方程，这些障碍都会在一定程度上存在。1.阅读障碍：分数在生活中所见不多分数应用题以现实生活为背景，但是相比整数和小数，生活中的分数场景更少。引入分数时的实例有两类，一类表示“量”的大小；一类表示“率”的大小6。随着数学体系的发展，分数表示一个“量”时，常转化为小数，如蔬菜每千克 0.8 元，不会标注成45元；分数表示一个“率”时，常转化为百分数，如毛衣成分中羊毛占 85%，不会用1720表示。可见，由于十进制应用习惯根深蒂固，分数在生活实践中往往转化为十进小数或百分数形式，一般的分数反而出现较少，学生缺少足够的生活经验，在阅读分数应用题时容易出现理解障碍。针对这一困难，教材中通过大量情境图和实例把分数与生活关联起来，以图文并茂的方式呈现，激活学生生活经验。2.迁移障碍：整数应用题的经验无法直接迁移数的扩充是一个不断迁移的过程，教师应引导学生把握整数、小数、分数之间的迁移联系，在“原数”的基础上学习“新数”，提高认知效率。整数应用题中的思维方式对小数应用题以正迁移为主，而对分数应用题学习却是正迁移和负迁移并存。在理解不到位时，前期形成的思维定势对分数学习易造成认知混淆。分数表示一个“量”时，整数应用题的前期经验迁移比较顺利；分数表示一个“率”时，原先整数中的解题经验难以直接迁移。对这一类问题，教师在教学中需要重点分析。3.结构障碍：数量关系结构复杂运用算术方法解答分数应用题，最大的障碍在于学生难以厘清其中的数量关系结构。主要表现为以下三点：（1）“量”和“率”的辨析。例如：3 千克苹果，第一天吃了34千克，还剩多少千克？3 千克苹果，第一天吃了34，还剩多少千克？两个34，第一个表示“量”，第二个表示“率”。（2）“乘”和“除”的辨析。例如：男生 60 人，比女生多23，女生多少人？男生 60 人，女生比男生多23，女生多少人？在相似的表述中，如何辨析乘除关系。（3）“量”和“率”的对应关系。例如：一条路走34牛延凯：“去方程化”的分数应用题教学探究完全程的23，共走了 200 米，这条路全长多少米？一条路走完全程的23，还剩 200 米，这条路全长多少米？“200 米”这一数量，第一次对应的“率”是23，第二次对应的“率”则是“1-23=13”。即进行乘除关系分析前，往往需要借助加减法处理“量”和“率”的对应关系。现行教材中，方程介入之所以能够降低难度，主要体现在这一层面。如上所述，方程可以实现分数乘法和除法问题的沟通与转换，不需要专门学习分数除法关系结构，也不需要提前建立“量”和“率”的对应关系。4.计算障碍：分数运算的复杂性在数的扩充中，小数和整数都是十进制位值计数法，整数计算经验容易迁移到小数，而分数计算时，通分、约分以及分数的四则运算方式发生明显变化。分数运算从加减推进到乘除，运算越来越复杂，逐渐变得“观而难直”7。在分数应用题中，分数除法的数量关系最难理解，同时计算难度也是最大的。这是因为在小学算术专题中，分数除法是对最复杂的数作最难的运算8。在计算层面，方程介入并不能降低分数运算的复杂性，相反小学解方程步骤的繁琐反而会增加计算难度。对以上四类障碍，阅读障碍客观存在，但教材编排时已进行了情境化处理；计算障碍在方程调整出小学后反而会降低难度。因此，2022 年版课标 实施中需要着重解决的是迁移障碍和数量关系结构障碍，即整体把握分数应用题与整数应用题的迁移联系，厘清分数应用题中的数量关系结构，为算术列式作基础。三、“去方程化”的分数应用题教学策略1.分类讨论的角度：辨析分数应用题中的“量”和“率”（1）从量纲角度辨别分数的“量”和“率”。在实际问题中出现的分数兼具量纲性和无量纲性的特点，教学中可以从量纲的角度辨别分数应用题中的“量”和“率”。分数作为一个“量”时，表示实际数量的多少。这类分数有量纲，在小学数学中，常用量纲下的各种名数表征数量标准，分数后面往往会有表征数量的名数，如绳子长23米，大米重34吨。分数作为一个“率”时，表示数量之间的关系。这类分数没有量纲或名数，生活中不表征实际数量多少，如吃了一袋大米的25，25不是具体的重量，而是表示吃掉部分与整体重量的分率关系。（2）在“量”和“率”的分类讨论中迁移整数应用题的学习经验。分数表示“量”的大小时，整数应用题中的购物问题、路程问题的数量关系模型和解题经验可顺利迁移，例如：蜂鸟每分钟飞行310千米，23分钟飞行多少千米？速度 时间=路程，列式为31023；一支蜡烛23小时燃烧310分米，平均 1 小时燃烧多少分米？总量 时间=效率，列式为31023。在“量”和“率”的分类讨论中初步解决分数应用题中的迁移障碍，即表示“量”的分数应用题迁移顺利，理解起来并不复杂；表示“率”的分数问题，原先的关系模型难以直接应用，教学中要重新分析其关系结构。从量纲的角度，表示“量”和“率”的分数其外在形式容易区分，是一种天然的分类方式。由外在形式延伸到内在意义，学生在思考分数问题时便会有不同的分析倾向和理解角度，在分类中提高理解效率。2.数量关系模型角度：明晰分数应用题中的数量关系结构分数问题的难点主要是指作为“率”的分数，在处理这类分数时，不借助现有的方程体系，分数加减乘除的算术意义如何理解呢？分数表示“率”时有两种关系：部分量和整体量之间的分率关系；两个不同量之间的分率（比率）关系。我们可以立足分数概念，从最基本的数量关系式入手，明晰其数量关系结构。（1）明晰部分和整体之间的分率关系结构。教材往往从部分与整体的角度引入分数意义，通过分蛋糕、分图形等平均分活动表征部分在整体中的大小，以此认识作为“量”的分数。同时，进一步借助这些实物图形，直观呈现部分量在整体中占据的份额，即部分和整体之间的分率关系。对这类分数，其基本数量关系式为：部分 整体=对应的分率。以其为基础可演绎出两个变式，分别作为分数乘法和分数除法的数量关系式：整体 对应的分率=部分，即知道整体求部分用分数乘法；部分 对应的分率=整体，即知道部分求整体用分数除法。例 1，松鼠身长 2.4 米，尾巴长度占身体的34，尾巴多长？35牛延凯：“去方程化”的分数应用题教学探究例 2，图书馆科普读物 320 本，占全部图书的25，图书馆共有多少图书？分析：例 1 中，松鼠身长看作整体，尾巴这一部分量对应的分率是34，整体 分率=对应的部分量，列式为 2.434；例2 中，科普读物这一部分量对应的分率是25，部分量 对应的分率=整体量，列式为 32025。（2）明晰两个量之间的分率（比率）关系结构。部分量占据整体量的份额可进一步引申为一个量占据另一个量的份额。这类问题将引向分数的“比的定义”形式，即作为“率”的分数还能用于分析两个量之间的分率（比率）关系，其基本数量关系式为：比较量 标准量=对应的分率。以其为基础演绎出两个变式，作为分数乘法和分数除法的数量关系式：标准量 对应的分率=比较量，把标准量看作单位“1”，即单位“1”已知时用乘法计算；比较量 对应的分率=标准量，即单位“1”未知时用除法计算。例 3，奇思吃了 6 块饼干，淘气吃的饼干是奇思的23，淘气吃了多少块？例 4，小明体重 35 千克，比爸爸轻815，爸爸体重多少？分析：例 3 中，奇思吃的饼干作为单位“1”已知，淘气所吃饼干对应的分率是23，列式为 623；例 4 中，爸爸体重作为单位“1”未知，但 35 千克这一已知量和“率”之间需要先建立对应关系，815表示小明体重比爸爸体重轻的分率，小明体重对应的分率为“1-815”，列式为 35（1-815）。因此，在不引入方程时，可借助基本的数量关系式沟通分数乘除法的联系。对应分数的产生过程，“部分 整体=对应的分率”“比较量 标准量=对应的分率”是两种基本关系，前者的两个变式处理整体与部分之间的分数乘除关系；后者的两个变式处理不同量之间的分数乘除关系。这样，从分数的概念意义递进到分数乘除法的算术意义，形成一种严密的数量关系结构。教学中，单位“1”的引入可以更好地把握以上两类关系模型之间的内在联系。即无论是整体量还是标准量，本质上都可看作单位“1”，单位“1”已知求其他量借助分数乘法，而求单位“1”则借助分数除法。3.几何直观角度：把握“量”和“率”的对应关系除了分数乘除法的选择，量和率的对应是分数应用题的另一难点。量和率的对应过程借助分数加减法完成，往往发生在分数乘除之前，两者结合后形成分数四则混合运算问题。作为“率”的分数，其产生过程本质上是基于某一数量和单位“1”的对应比较关系，应用题列式时，无论是乘法还是除法，都建立在“量”和“率”对应的基础上。教学中可以借助线段图在几何直观中确定“量”和“率”的对应关系。以青岛版教材“一份稿件录入25，还剩 3 万字，稿件共多少字？”一题为例：3 万字25结合线段图容易发现，剩余的量“3 万字”和分率“25”并不对应，两者不能直接相除，“3 万字”是剩余量，其对应的分率为“1-25=35”，部分量 对应分率=整体，进而列出混合运算算式 3（1-25）。即分数加减法用于分析“量”和“率”的对应关系，分数乘除法在其基础上求出对应量的大小。4.单元整体教学角度：综合运用分数的多种定义形式张奠宙教授指出分数定义有多种形式，包括份数定义、商的定义、比的定义等9，这意味着分数教学乃至分数应用题的教学是一个大的单元体系。其中，教材以份数定义为主介绍分数概念，把单位“1”平均分成若干份，表示其中 1 份或几份的数叫做分数；商的定义是指把分数看作两个数相除的商，即ab=ab，体现了分数与除法的联系；比的定义是指把分数看作两个数的比即ab=ab，体现了分数与比的联系。分数的多种定义形式对理解分数应用题是一把“双刃剑”：一方面，学生需要在多种意义的区别与转换中经历分数概念的长期建构过程，但受学习进度制约，学生易出现分数概念理解的片面化，影响分数问题的理解效率；另一方面，以不同形式的分数定义为基础把握分数概念的不同角度，联系分36牛延凯：“去方程化”的分数应用题教学探究数与除法、分数与比的关系，可以丰富分数问题的解题思路。以往的分数应用题教学中，常常只重视份数定义，忽略其他分数定义的综合应用。2022 年版课程方案指出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计。”10因此，分数应用题的教学，可以综合运用分数多种定义之间的联系，在分数、除法、比的大单元关联中丰富解题方式。（1）结合分数与比的联系，理解分数应用题。分数中“比的定义”方式沟通了分数与比的联系，教师可以灵活运用“比”的关系处理分数问题。以人教版数学教材分数除法例题为例：儿童体内的水分约占体重的45，小明体内有 28 千克水分，他的体重是多少？结合比的知识，体内水分占体重的45，转换成比的形式：水分体重=45，28 千克水份相当于 4 份的数量，则小明体重为 2845=35（千克）。当分数作为一种比率出现时，基于比的定义理解其中的数量关系更为简单。由于分数乘除法学习在前，比的概念在后，教学中除了运用单元整体视角外，还可运用通俗的语言，通过分析各个量之间的份数关系去理解比率。（2）结合分数与除法的联系，理解分数应用题。分数中商的定义方式沟通了分数与除法的关系，从这个角度看分数所表示的分率关系是倍数关系的拓展，分数问题可以类比早期整数中“倍”的问题进行整体理解。除法单元中，在包含除关系的基础上可以扩展形成倍的概念，包含除侧重“有几个几”的理解过程，也可以引申为较大的数是较小数的几倍，而当结果不能整除时便需要引入分数。和倍一样，这时的分数也没有量纲。由此可见，用无量纲性分数分析数量间的分率（比率）关系时，“分数倍与整数倍意义一样”11，分数比整数更为精确地表征两个量之间的相除关系。同时，这一类分数问题和早期的倍数问题在学习时可以类比迁移。以人教版数学教材“分数与除法”一节的例题为例：小新家养鹅 7 只，养鸭 10 只，养鸡 20 只，鸡的只数是鸭的多少倍？鹅的只数是鸭的多少倍？两个问题都是一种包含除计算模型，只不过整除时是一个“倍”，不能整除时是一个“分率”，鸡的只数是鸭的 2倍，鹅的只数是鸭的710。综上所述，虽然现行数学教材编排时充分发挥了方程在分数应用问题中的优势，但方程并不是解分数应用题的必要条件。2022 年版课标 把方程内容调整出小学后，可以通过分类讨论区分应用题中的“量”和“率”，前者可以迁移整数应用题的活动经验，而表示“率”的分数，可通过把握分数产生过程中的两个基本数量关系式，厘清其中的乘除关系，在“率”和“量”的对应中厘清其中的加减关系，进而形成分数问题的加减乘除算术意义。最后，基于大单元视角，在分数和比、分数和除法的联系中进一步丰富分数应用题的理解方式，提升问题解决效率。参 考 文 献1张福生.上海课改30年数学教材改革点滴拾遗（下）J.上海课程教学研究，2018（12）：7-10.2曾柯.中、美、印小学数学分数应用题教材的比较研究D.广州：广州大学，2018.3杨玉翠.“解简易方程”教学的几点思考J.中小学数学（小学版），2010（10）：14-15.4洪婷.分数应用题的教学现状及策略研究D.杭州：杭州师范大学，2011.5林善颖.小学数学分数乘除法应用题教学探究J.课程教育研究，2017（41）：136.6张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理M.上海：上海教育出版社，2018：128.7巩子坤，张希，金晶，等.程序性知识课程设计的新视角：算理贯通，算法统整J.课程教材教法，2021，41（06）：89-95.8马立平 小学数学的掌握和教学M 上海：华东师范大学出版社，2011：52.9张奠宙.分数的定义J.小学教学（数学版），2010（01）：48-49.10中华人民共和国教育部.义务教育课程方案（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022：86.11赵莉，王春英，史宁中.分数概念表述和分数除法运算的比较研究及其对教学的启示J.数学教育学报，2021，30（03）：4651.责任编辑：陈国庆