特殊平行四边形二初二数学主讲教师市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

正方形一完美正方形:.是更特殊平行四边形:含有平行四边形普通特征;.是特殊矩形:有一组邻边相等矩形;.是特殊菱形:有一个角是直角菱形;.是中心对称图形又是轴对称图形有四条对称轴.如图:菱形菱形正方形正方形矩形矩形平行四边形平行四边形第2页二.正方形特征.边:四条边相等;AB=BC=CD=DA.角:四个角相等;A=B=C=D=90.对角线:相等且相互垂直平分;AC=BD,ACBD,AO=OC,BO=OD.O是正方形ABCD对称中心,直线AC.BD.EF.GH都是它对称轴.第3页三.正方形识别:说明:依据正方形与平行四边形、矩形、菱形关系,碰到详细问题时,能够本着先判断是平行四边形,再判断是矩形或菱形,进而得到正方形.4个个2个个平行四平行四边形边形正方形正方形菱形菱形矩形矩形四边形四边形1个个1个个1个个1个个2个个第4页四.其它:.与正方形相关三角形:等腰直角三角形.图形分解:.正方形面积:S正方形正方形=a 2=l 2第5页3.正方形问题中常见图形变换:（）第6页（）第7页五五.正方形知识应用正方形知识应用:例例.已知已知:如图如图,E E是正方形是正方形ABCD中中BD 上一点上一点,且且BEBC,求求:DCE度数度数.分析:正方形ABCD对角线BD平分ABC,故BCD是等腰Rt,DBC45,由 条件可知BEC为等腰,BCE可求,进而利用正方形特征可求DCE度数.EDCBA第8页解正方形ABCD ABCBCD90 又BD平分ABC BEBC 在BEC中由内角和可知 DCEBCDBCE9067.522.5EDCBA第9页FEDCBA例例.如如图图,ABC中中,ACB=90,CD是是角角平平分分 线线,DEAC于于 E,DFBC于于 F.试试 说说 明明DFCE为正方形理由为正方形理由.第10页分析:判断正方形可先确定四边DFCE为矩形或菱形证实:ACB90 又DEAC于E,DF BC于FCEDCFD90四边形DFCE为矩形,（有三个角是直角四边形是矩形）CD是ABC角平分线 DEDF（角平分线上点到角两边距离相等）矩形DFCE为正方形（一组邻边相等矩形是正方形）FEDCBA第11页例例.如图如图,E是正方形是正方形ABCD内一点内一点,且且ABE是等边三角形是等边三角形.求求:BED度数度数.分析:因为正方形ABCD与正三角形ABE边等,所以可利用特殊四边形和三角形角关系得到结论.第12页解:正方形ABCD DAB90 ADAB 又ABE为等边三角形 EABAEB60 AEAB ADAE DAEDABEAB30 在ADE中,由内角和,有 BEDAEBAED6075135第13页点评:问题一:若等边ABEE点落在正方形ABCD外部 时,想一想图形是什么样,能画出来吗?这时 BED是多少度?问题二:若E是平面内一点,且有它到正方形ABCD各顶 点距离相等,问这么E点存在吗?若存在,有几个?你能画图示意吗?第14页例例.已已知知:如如图图,E、F、G分分别别是是正正方方形形ABCD中中BC、AB、CD上点上点,且且AEFG.求证求证:AE=FG.ABCDEFG第15页分析:若将线段FG,沿射线FB方向平移,平移距离为线段FB长.因为条件 给出是正方形,所以可得到线段 BP（如图）这么可利用正方形特 征,得到ABE绕正方形对角线交点 逆时针旋转90能与BCP重合,对应 线段AEBPFG解答过程略.ABCDEFGp第16页点评:是不是这个题目标条件还能够这么变更:如图,若M、N分别是AD、BC上点,E、F分别是AB、DC上点,且有MNEF,那MN与EF数量关 系一定等吗?请说明你理由.NEBFDCAM第17页例例.已知已知:如图如图,E、F分别是正方形分别是正方形 ABCD中中AB、BC中点中点,且且CE交交 DF于于M点点.求证求证:AM=AB.ABCDEFM第18页分析:由基本图形分析,BEC绕正方形 中心逆时针旋转90能与FCD重合,易证ECDF,将BCE绕E点旋转180,得到 EAP,因为是正方形ABCD,故P、A、D共线,APBC且APBC,MA是RtDPM斜边 中线,有APAMAB证实略FEBDCAM12P第19页例例.已知已知:如图如图,P P是正方形是正方形ABCD中中AC上一点上一点,PEAD于于 E,PFCD于于F.求证求证:OEOF;OE=OF.ABCDEFPO分析:处理问题关键是判断E点绕O点顺时针旋 转90后能与F点重合,关键是AEDF?由条件不难知道AEP是等腰Rt,而四 边形EPFD易证为矩形,所以有AEEPDF,问题得证:第20页ABCDEFPO证实:正方形ABCD中,BADADC90 OAOD且AOD90 OAEODF45 P是AC上一点,且PEAD于E,PFCD于F,即PEDPFD90 四边形EPFD为矩形,EPDF 在AEP中,EPAPAE45,AEEP AEDF 第21页将AOE绕O点顺时针旋转90,A点与D点重合,E点与F点重合OEOF由可知,E、F是 AOE与DOF关于O点旋转对称点,OEOFABCDEFPO第22页例例7.7.已知已知:如图如图,E是正方形是正方形ABCD对角线对角线 BD上任意一点上任意一点,AE延长线交延长线交CD于于G,交交BC延延 长线于长线于H,F是是GH中点中点.求证求证:CFCE。FEBDCAH2G341第23页分析:因为正方形是轴对称图形,所以DAE与DCE关于直线 BD对称,12 又因为正方形ABCD中,ADBC,所以1H 在RtGCH中,因为F点是GH中点 所以CFFH,3H 所以23 因为3490 所以2490 故CFCE 证实过程略BCHFEDA2G341第24页例例8.8.如如图图,正正方方形形ABCD中中,EBF=45,E、F分分别别在在边边AD和和CD上上.求证求证:EF=AE+FC.ABCDEF分析:待证结论中EF与AE、FC比较分散,应想方法移动图形,相对集中,考虑到结论出现AEFC 不妨把FBC绕B点逆时针旋转90得到PBA,因为正方形ABCD,CBAD90显然P、A、E共线,问题就转化为证实PEEFFEBDCAp第25页因为对应点P、E与B点连线夹角为90,又EBF45,可知BE平分PBF,又因为BPBF,故BPE与BFE关于直线BE对称,问题得证.证实过程略.FEBDCAp第26页点评:几何问题中有时会见线段和差问题,普通处理时 惯用伎俩是“截长补短”即将每条短线段中一条通 过 变换与另一条接在一起,证实其和等于长线段,这叫补短,另一个情况是把长线段截出一段等于 一条短线段再证实剩下部分与另一条短线段相 等,这叫截长.第27页例例9.9.已知已知:如图如图,正方形正方形ABCD对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O,E是是AC上一点上一点,过点过点A作作AGBE于于G,AG交交BD于于F.（）说明（）说明OE=OF.（）若点（）若点E在在AC延长线上延长线上,AGBE交交DB延长线于延长线于F,其它条其它条件不变（如图）件不变（如图）,则结论则结论“OE=OF”还成立吗还成立吗?请说明理由请说明理由.图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1第28页分析:（1）正方形ABCD中,ACBD,OAOB又因为AGBE,所以12,AOF绕O点逆时针旋转90后能与BOE重合,所以有OEOF（2）受（1）启发,BOE绕O点顺时针旋转90后也能与AOF重合,所以OEOF结论仍能成立.图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1第29页点评:和有些题目类似,即使E、F点位置有改变,但 OEOF结论确没有发生改变,由此可知许多图 形之间都存在这种内在联络.图2OABCDEFGBDCAOEFG12图1第30页例例10.10.（）如图（）如图,若点若点P为正方形为正方形ABCD边边AB上一点上一点,以以PA为一为一边作正方形边作正方形AEFP,连连BE、DP,并延长并延长DP交交BE于点于点H.求证求证:DHBE。（）如图（）如图,若点若点P为正方形为正方形ABCD内任意一点内任意一点,其余条件不其余条件不变变,，（）结论是否成立，（）结论是否成立?若成立，请给出证实若成立，请给出证实;若不成立若不成立,请说请说明理由明理由.第31页（1）由条件可知DAP绕A点顺时针旋转90就可与BAE重合,12 又因为34,所以在 DAP和 BHP中DAPBHP,因为DAB90,所以BHP90,故DHBH（2）与例9非常类似,正方形PAEF绕A点旋转过程中,实际一 直存在DAP绕A点顺时针旋转90能与BAE重合这一事实.所以ADPABE不变,后面问题处理同（1）过程略DAE342HBCFP1第32页小结小结:.正方形是一个很漂亮图形,由它对称性我们能够找到它很多特征.正方形是特殊矩形;特殊菱形,它们都是特殊平行四边形,所以在记忆它们定义、特征和识别方法时,必须掌握它们共性与个性.第33页.注意用正方形相关知识处理实际问题.第34页