数学问题解决--讲义.pdf
《数学问题解决--讲义.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学问题解决--讲义.pdf(59页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、第一部分数学问题解决的涵义第一节数学问题解决与课堂教学一、数学问题的涵义1.把问题看成一个系统如果对某人来说,一个系统的全部元素,元素的性质和元素间的关 系,都是他所知道的,那么这个系统对于他就是稳定系统。如果一个系 统的全部元素,元素的性质和元素间的关系对于这个人是未知的,这个 系统对于这个人就是问题系统。于是,对这个人来说,这个问题系统就 是一个问题。如果这个问题系统的元素、元素的性质和元素间关系都 是与数学有关的,那么这就是一个数学问题。因此,一个系统能否成为 一个问题,与接触的人有关。一个系统对甲可能是一个问题,对乙可能 就不是一个问题。例如:“哥德巴赫猜想”对试图解决它的所有人都是
2、一个问题用圆规和直尺是否能三等分任意一个角”、“五次方程的求 根公式”对于某些人它们是问题,而对另一些人它们则不是问题。2.数学问题的特征是形式化当实际问题变成数学问题后,就抽去了对象的物质性,变成了抽象 的形式,即纯粹形式化的问题。例如:在测量某物理量的过程中,因仪 器和观察的误差,使得九次测量分别为卬,田,%共个数 据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值是这样一个量,与其他近 似值比较,。与各数据差的平方和最小,依此规定,从,生,册 推出的a=。该问题翻译成数学语言即为:“当。取何值时,函 数/(a)=(a ai)2+(a a2)2 H 卜(aa)2 取最小值。”于是问 题转换为求二次函数
3、的最值问题。数学问题的形式化特征,使得问题 对象的物质性被抽去,只保留了数学所关心的本质属性,这样有利于数 学概念、命题的形成,为研究数学和学习数学提供了便利,更加有利于 学生认识和理解数学知识。由于了解形式化问题的获得过程,也十分 重要,因此,学生在解决数学问题时,在解一些带有物质背景的实际问 题时,学习为实际问题建立模型,这对于培养学生的创造性能力会起到 很好的作用。第一部分数学问题解决的涵义 1二、数学问题解决数学领域中的问题解决,与其他科学领域利用数学去解决问题不 同。数学领域中的问题解决,不但关心问题的结果,而且更关心求得结 果的过程,即问题解决的整个思考过程。所以,我们认为,“数学
4、问题解 决”指的是按照一定的思维对策,经过一个思维过程,一步一步地靠近 目标,最终达到目标。在问题解决的过程中,既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式,又运用直觉,灵感(顿悟)等非逻辑思维形式来探 索问题的解决办法。这里,我们首先要看到非逻辑思维对逻辑思维的 依赖性。灵感的产生固然是爆发式的,但爆发的基础却是长期有目的 的思考。其次是逻辑方法的具体运用,也往往借助于直觉。非逻辑思 维发散、自由、联想的方面广,有充分的灵活性,富有创造力,能直接接 触到问题的目标。但是,它毕竟是一种猜测,没有充分的理由作为依 据,结论不一定正确。可是,没有这种猜测问题就没有起点。有了这个 起点,然后才能利用逻
5、辑推理猜测的依据,验证这种猜测成立,或者将 其否定。在问题解决的探索过程中,最终出现试误和顿悟两种结果。所谓 试误是指对头脑中出现的解决问题的途径进行尝试,纠正尝试中的错 误,直至发现问题解决的途径。中学生在解决问题的探索过程中,常用 试误。所谓顿悟是指经过长时间的激烈思考,由于受到某种情况的启 发而突然发现了解题途径或解答方式。顿悟解决问题,其问题的初始 状态同学习者本人已有的经验认知结构有着非人为的、实质性的联系。这种联系建立得越牢固,顿悟就越易发生,这正是直觉思维能力在问题 解决过程中的体现。三、数学问题解决的方法寻求解决,是一个思维策略问题,其内容是寻找对策,其特点是突 出“要拼思考:
6、这种思维策略主要是指促进探索,促进发现的方法。这种思维策略本身不一定解决问题,但它可以促进探索,促进发现解题 途径,可以提供达到目标的最初几步,尽管有时是微小的几步,而且暂 时还没有达到目标,但它却可以指出达到目标的正确方向。在寻求解决问题方法时,要注意对问题进行变更,主要有如下一些 变更的方法:1.变更问题的条件和结论;2.使问题特殊化;2 数学问题解决3.使问题一般化;4.找出适当的辅助问题;5.分开条件的各部分,重新组合。在探索解题方法过程中,有时要不断地变更问题,在使用变更问题 的具体方法时,有时要把几种方法综合运用。例 1是否存在常数叫仇c使等式13+23 H-p1=(助2+加+Q2
7、,对一切自然数都成立?分析 这是一个数列求和问题,初看上去,无从下手,不知是否存在%6,C对一切都成立,但如果能变更问题为,求r+23+r 1-12/=十(九+d则可比较两边系数,找出用6,c的值。还可变更问题 为:取n=1,2,3得到三个方程,求出a,c,再证对一切GN都成立。例2已知点I为AABC的内心,内切圆半径为厂,试求IA+IB+IC的最小值。分析 本题的AABC图形并不确定,但相应的内心I的位置与三 顶点关系却是确定的。这里先证明一般性的命题。设P为ABC内部一点,P到三边距离分别为PE、PD、PF,则 PA+P3+PC22(PD+PE+PF)。再回到本题,设内切圆半径为厂,根据前
8、面证得的定理,有IA+13+IC2(/D+IE+/F)=2(r+r4-r)=6r,当ABC为正三角形时,M+7B+ZC有最小值,(/A+IB+/C)*=6ro四、问题解决案例分析理科班学生是一个特殊的群体一智优学生组成的集合。全国理第一部分数学问题解决的涵义 3科班学生更是其中的佼佼者。他们掌握知识的能力比较强,对数学有 一种钻研的精神,很乐意去解决与数学有关的问题。下面是课堂教学 中所出现的几个典型问题:问题一同寝室的四位同学各写了一张贺年卡,把它们集中放在 一起,每位同学从中拿一张贺年卡,要求自己不拿自己写的卡,问一共 有多少种拿法。问题分析 这是一个有关排列组合的概念性问题,可以帮助学生
9、 利用排列组合基本知识解决实际问题。方法一不妨设四位同学分别为 甲,乙,丙,丁四人写了四张贺年卡,若甲f,乙有3种选择,当甲,乙两人都确定时丙丁只有一种,因此共 有 C;C;=9(种)。方法二也可以用重复排列知识:P:C:P;+C;HC;P;+1=9(种)。学生大部分都会从具体的排列开始,这样能清楚准确地解决问题,也是提出此问题的出发点。第二种方法的出现说明学生对问题的思考 有了很大的提高,他虽然没有严格地证明,有同学说用数学归纳法证 明,有同学说理解起来很方便,但还是有同学感到此方法对一般情况是 否正确需要验证。因此,要抓住时机,提出推广问题:如果是五位同学,写五张贺年 卡,结果如何呢?学生
10、的解决过程如下:方法一先确定A:五位同学:A,B,C D,E五张贺卡:,Af,3-,2种;3-,3种;共计11种,6f,3种;Bf,3种;所以共有C;XII=44(种).这种方法虽然显得有点原始,但却准确,让学生心中感到踏实、可信。方法二 理一(3*:+:;归一(:;耳+(:*;-1=44(种)。4 数学问题解决当问题被推广到6人,7人,学生不得不去选择公式理-卑;+C:P+(一 1尸,但许多同学对此表示不满意,他们开始 寻找第一种解法的规律性。设个人情况下的拿法有种,可知心=1,a3=2,a=9,a5=44,个人:A,A2,A3,,An张贺卡:,n当时,A2有两种选择:A2可拿,此时有即2种
11、情况;A?可不拿时,相当于一1 个人:A2 A3,,Ann1张贺卡:,有呢-1种方法,所以 6=(一 l)(a i+a-2)o发现有这样一个好的递推公式,无论对学生还是教师来说都是一个 了不起的胜利。这个递推公式比第二种方法好得多,它不仅可以运算,而且能方便证明。后来在此基础上,有同学对此方法又有了新的改进:an=(n l)(a 1+-2),=an nan-x=(n 所以 an nai=(-l)2,所以 an=nai+(1)-2。(n 4)这一改进比Q”=(九一l)(a i+a i)又有新的进步。特别是在利用计 算机运算时能节约大量时间。五、问题解决的几点认识对于学生来说,数学学习不仅意味着掌
12、握数学知识,形成数学技 能,而且还会发现与创建“新知识”(再创造),即能够进行事实上的创造 性数学活动。中学生的创造性活动虽然同科学家的创造性活动有很大 的不同,但两者有深刻的一致性。中学生在学习数学的活动中不断发 现对他们自己来说是新鲜的、开创性的东西,这就是一种创造。正如教 育家刘佛年指出:“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法,就称得上创造。我们要把创造的范围看得广一点,不 要把它看得太神秘,非要有新的科学理论不可,才叫创造,那就高不可 攀了。”学生的创造性往往是在解决数学问题的过程中逐渐培养起来 的。学生学习解决数学问题的过程,实际上也就是学习创造性数学活第一
13、部分数学问题解决的涵义 5动经验的过程。1.数学问题解决的活动应由学生主动独立地进行,教师的指导应 体现在为学生创设情境、启迪思维、引导方向上。引导学生自己去做,就必然会出现学生经常不用教师讲的或课 本上现成的方法去解答问题的现象。解对了,当然好,这说明学生对 基本原理真的懂了。解错了,好不好?或者,虽然对了,但方法太繁,好不好?我们认为也好,这说明学生不满足依葫芦画瓢,也说明学生 有创新精神,有胆量。解错了,或者方法太繁,这正需要教师的热情 指导。我们说要让学生独立进行解题活动,并不是取消教师对学生解题 活动的必要指导。恰恰相反,学生的解题活动必须置于教师的合理控 制之下。这种合理性主要表现
14、在使学生按照有利于他们发挥主动精 神,有利于他们发现解题方法的“程序”进行解题活动。2.创造性的培养与训练,要体现在问题具体解决的过程中。学生每解决一个问题,都要付出一定的脑力劳动,也得到一次思维 的训练。在解题教学中,教师要善于利用问题解决的具体过程,培养与 训练学生的创造性能力。3.在问题解决的学习中,要尽量通过问题的选择、提供和安排来 激发学生的求知欲,唤起他们的好胜心与创造力。“善问是数学教师的基本功,也是所有数学教育家十分重视研究的 问题。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦,奏出一曲耐人寻味,甚至波澜起伏的大合唱J(1)问题要选择在学生能力的“最近发展区”内。这就是
15、说,教师 要能细致地钻研教学内容,研究学生的思维发展阶段和知识经验能力 水平等因素,所提问题能符合高难度与量力性原则的一致性,既不能用 降低难度来满足量力性,也不能不顾量力性一味追求高难度。(2)问题的提法要有教学艺术性。这就是说,问题的提法不同,会 有不同的效果,要设法使得提法新颖,让学生坐不住,欲解决而后快。(3)问题的安排也要有教学艺术性。这就是说,安排问题既要符 合需要,掌握时机与分寸,又要考虑学生的特点,注意他们的“品味”与 喜好。题目的安排要由浅入深,由易到难。数学问题解决在课堂教学中要鼓励学生多提问题,爱因斯坦认为,提出一个问题比解决一个问题更重要。我们不应满足于给学生提问题 让
16、学生解答,而应给学生多提问题,提好问题。6 数学问题解决第二节 数学家与数学问题解决一、希尔伯特与数学问题解决希尔伯特(Hilbert.Da vid,18621943)德国数学家,生于东普鲁 士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。在中学时代,希尔伯特 就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善 于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。1880年,他不顾父亲 让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学 位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授,1893年被任命 为正教授。1895年,转入格廷根大学任教授,此后一直在格廷根生活 和工作,于193
17、0年退休,在此期间,他成为柏林科学院的通讯院士,并 曾获得施泰纳奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学 院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特 是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行 欺骗宣传而发表的告文明世界书上签字。战争期间,他敢于公开发 表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后,他抵制并上书反对 纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日 益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落 了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的数学 一;家之一。他领导了著
18、名的格廷根学派,使格廷根大 小 学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一 俵;,批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希 尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每 个时期他都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方 程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有:狄利克雷原理和变 分法、华林问题、特征值问题、希尔伯特空间等。在这些领域中,他都做 出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为,科学在每个时代都有它 自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出:“只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题
19、缺 乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表 大会上,希尔伯特发表了题为数学问题的著名讲演。他根据过去特 第一部分数学问题解决的涵义 7别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了 23个最重要的数学 问题。这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克 的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推 动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学 工作者是一种巨大的鼓舞。他说在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为
20、 在数学中没有不可知三十年后,1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民 称号的讲演中,针对一些人信奉的不可知论观点,他再次满怀信心地宣 称:“我们必须知道,我们必将知道J希尔伯特的几何基础(1899)是 公理化思想的代表作,书中把欧几里得几何学加以整理,成为建立在一 组简单公理基础上的纯粹演绎系统,并开始探讨公理之间的相互关系 及研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年,又着手研究数学基础问 题,经过多年酝酿,于二十年代初,提出了如何论证数论、集合论或数学 分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号 语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发,建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言
21、系统的逻辑性质,从而创立了元数学和证明 论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对 的证明,以便克服悖论所引起的危机,一劳永逸地消除对数学基础以及 数学推理方法可靠性的怀疑。然而,1930年,年青的奥地利数理逻辑 学家哥德尔(K Go d el,19061978)获得了否定的结果,证明了希尔 伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基 础的方案“仍不失其重要性,并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特 的著作有希尔伯特全集(三卷,其中包括他的著名的数论报告八 几何基础、线性积分方程一般理论基础等,与他人合著的有数学 物理方法、理论逻辑基础、直观几何学、数学基础。
22、二、希尔伯特问题研究进展问题推动发展 的领域解决情况1.连续统假设公理化 集合论1963年,Pa ul J.Co hen美国在下述意义下 证明了第一问题是不可解的,即:连续统假 设的真伪不可能在Zermelo-Fra en kel公理 系统内判明。8 数学问题解决续表问题推动发展 的领域解决情况2.算术公理的相 容性数学基础Hilbert证明算术公理相容性的设想后来 发展为系统“Hilbert计划”,但1931年 Go d el的“不完备定理”提出用“元数学”证明 算术公理相容性之不可能。数学相容性问 题至今尚未解决。3.两等高等底的四 面体体积之相等几何基础这问题很快(1900年)即由Hil
23、berl的学生 M Dehn给出肯定解答。4.直线作为两点间 最短距离问题几何基础Hilbert之后,许多数学家致力于构造和探 讨各种特殊的度量几何,在研究第四问题上 取得很大进展,但问题并未完全解决。5.不要定义群的函 数的可微性假设 的李群概念拓扑群论这个问题于 1952 年由 Glen so n、Mo n tgo mery Zippin等人美国最后解决,答案是肯定的。6.物理公式的数学 处理数学物理在量子力学、热力学等学科,公理化方法已 获很大成功但一般地说公理化的物理意 味着什么,仍是需要探讨的问题。至于概率 论的公理化,已由A H.Ko n Mo ro po B前苏 联.1933等人
24、建立。7.某些数的无理性 与超越性超越数论1934年,A.O.reM浜oHq 前苏联和 Schn eid er德国各自独立解决了这问题的 后半部分,即对于任意代数数Q/0,1和任 意代数无理数证明了/的超越性,1966年这一结果又被A Ba ker等人大大推 广和发展。三、罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程1893年,在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像。这位 数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基(H.N.J lo q a he BC3KNN,17921856)O非欧几何是人类认识史上 一个富有创造性的伟大成果,它的创立,不仅带来了近百年来数学的 巨大进步,而且对现代
25、物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产 生了深远的影响。可是,这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出 后相当长的一段时间内,不但没能赢得社会的承认和赞美,反而遭到 种种歪曲、非难和攻击,使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的 公认。第一部分 数学问题解决的涵义 9(-)失败的启迪罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中,从失败 走上他的发现之路的。欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难 题之一。它是由古希腊学者最先提出来的。公元前3世纪,希腊亚历 山大里亚学派的创始者欧几里得(Euclid,约公元前330前275)集前 人几何研究之大成,编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨 著
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 问题解决 讲义
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【曲****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【曲****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。