222椭圆的简单几何性质及应用.pptx

第二章2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的几何性质及应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系.知识点一点与椭圆的位置关系思考思考类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆类型一点与椭圆位置关系的判断_.答案解析引申探究引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案解析知识点二直线与椭圆的位置关系思考思考类比直线与圆的位置关系，给出直线与椭圆的位置关系.答案答案有三种位置关系：相离、相切和相交.三种位置关系相离、相切、相交判断几何法代数法()方程组解的个数梳理梳理判断直线和椭圆位置关系的方法消去y，得关于x的一元二次方程.当0时，方程有 ，直线与椭圆 ；当0时，方程有 ，直线与椭圆 ；当0时，方程 ，直线与椭圆 .两个相同解相离相交两个不同解无解相切解答得5x28mx4m240，(8m)245(4m24)16(5m2).类型二直线与椭圆位置关系的判断解答直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于跟踪训练跟踪训练xOy由4x-5yk0，9x225y2225，得25x28kxk2-2250，解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0与椭圆相切，令64k2425(k2-225)=0，解得：k=25或k=-25，显然当k=25时，m与l的距离最小，xOyxOy如何求圆的弦长？如何求椭圆的弦长？A(x1,y1)B(x2,y2)y=kx+my=kx+m，b2x2+a2y2-a2b2=0，几何性质几何性质知识点三弦长公式类型三弦长问题例例3已知椭圆4x25y220的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.解答直线l的方程为yx1(不失一般性，设l过左焦点).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解答与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，a236，b29，椭圆方程为x24y2a2，思考辨析 判断正误(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.()类型四弦中点问题圆中的弦的中点满足什么性质？xOy椭圆中的弦的中点满足此性质吗？A(x1,y1)B(x2,y2)y=kx+mxOyy=kx+mb2x2+a2y2-a2b2=0点在椭圆内点在椭圆内显然直线的斜率存在，设为k则所求直线的方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160,(*)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是(*)方程的两个根，解：想一想为什么想一想为什么？无需求解无需求解所求直线的方程为x2y40.设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P为弦AB的中点，x1x24，y1y22，又A、B在椭圆上，x124y1216，x224y2216.另解另解1：两式相减，得(x12x22)4(y12y22)0，即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.斜率斜率中点中点设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，则另一交点为B(4x，2y)A、B在椭圆上，x24y216，(4x)24(2y)216，得：x2y40上，而过A、B的直线只有一条，所求直线的方程为x2y40.另解另解2：对称性对称性解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.规律与方法(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0 x,2y0y)，两式作差即得所求直线方程.达达标标检检测测2.已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是A.x2y30 B.2xy30C.x2y30 D.2xy30类似题：课时对点练类似题：课时对点练7解析解析由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为yk(x1)1，即ykx1k.得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，类型四弦等分点问题解题角度：直接法解题角度：反代法本课结束