理学导数概念.pptx

微分学微分学微分学微分学导数导数导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度描述函数变化程度描述函数变化程度是描述物质运动的工具是描述物质运动的工具是描述物质运动的工具是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数从微观上研究函数从微观上研究函数)微分概念微分概念微分概念微分概念的产生是为了描述的产生是为了描述的产生是为了描述的产生是为了描述曲线的切线和运动曲线的切线和运动曲线的切线和运动曲线的切线和运动质点速度质点速度质点速度质点速度,微积分分为微积分分为微积分分为微积分分为微分学与积分学微分学与积分学微分学与积分学微分学与积分学两部分两部分两部分两部分.更一般地说更一般地说更一般地说更一般地说,是为了描述是为了描述是为了描述是为了描述变化率的概念变化率的概念变化率的概念变化率的概念,这一概念打开了通向数学知识与真理的巨大宝库之门这一概念打开了通向数学知识与真理的巨大宝库之门这一概念打开了通向数学知识与真理的巨大宝库之门这一概念打开了通向数学知识与真理的巨大宝库之门.由由由由牛顿牛顿牛顿牛顿莱布尼兹定理莱布尼兹定理莱布尼兹定理莱布尼兹定理联系着联系着联系着联系着.微积分的系统发展通常归功于两位伟大的微积分的系统发展通常归功于两位伟大的微积分的系统发展通常归功于两位伟大的微积分的系统发展通常归功于两位伟大的科学先驱科学先驱科学先驱科学先驱 这一系统发展的关键在于认识到这一系统发展的关键在于认识到这一系统发展的关键在于认识到这一系统发展的关键在于认识到,过去是一直是过去是一直是过去是一直是过去是一直是分别研究的微分和积分这两个过程是彼此互逆的两分别研究的微分和积分这两个过程是彼此互逆的两分别研究的微分和积分这两个过程是彼此互逆的两分别研究的微分和积分这两个过程是彼此互逆的两个过程个过程个过程个过程,公正的历史评价公正的历史评价公正的历史评价公正的历史评价,他俩的巨大成就也是建立在几他俩的巨大成就也是建立在几他俩的巨大成就也是建立在几他俩的巨大成就也是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作基础之上的百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作基础之上的百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作基础之上的百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作基础之上的.牛顿和莱布尼兹牛顿和莱布尼兹牛顿和莱布尼兹牛顿和莱布尼兹.17 17世纪后出现的微积分世纪后出现的微积分世纪后出现的微积分世纪后出现的微积分,在数学邻域中占据着主在数学邻域中占据着主在数学邻域中占据着主在数学邻域中占据着主要的地位要的地位要的地位要的地位.它非常成功地运用了无限过程的运算它非常成功地运用了无限过程的运算它非常成功地运用了无限过程的运算它非常成功地运用了无限过程的运算,即即即即极限运算极限运算极限运算极限运算.兹的工作才使得微积分成为了一门独立兹的工作才使得微积分成为了一门独立兹的工作才使得微积分成为了一门独立兹的工作才使得微积分成为了一门独立的十几位最伟大的数学家和几十位其它的十几位最伟大的数学家和几十位其它的十几位最伟大的数学家和几十位其它的十几位最伟大的数学家和几十位其它只是通过牛顿和莱布尼只是通过牛顿和莱布尼只是通过牛顿和莱布尼只是通过牛顿和莱布尼事实上事实上事实上事实上,微积分问题至少被微积分问题至少被微积分问题至少被微积分问题至少被1717世纪世纪世纪世纪数学家探索过数学家探索过数学家探索过数学家探索过,的科学的科学的科学的科学.今天今天今天今天,微积分的思想和方法不仅获得微积分的思想和方法不仅获得微积分的思想和方法不仅获得微积分的思想和方法不仅获得了广泛的应用了广泛的应用了广泛的应用了广泛的应用,学的重要支柱学的重要支柱学的重要支柱学的重要支柱.而且微积分也成了数学科而且微积分也成了数学科而且微积分也成了数学科而且微积分也成了数学科本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数导数概念导数概念导数概念导数概念求导法则求导法则求导法则求导法则隐函数求导隐函数求导隐函数求导隐函数求导 函数微分函数微分函数微分函数微分引例引例导数的定义导数的定义导数的几何意义导数的几何意义可导与连续的关系可导与连续的关系求导举例求导举例第一节第一节 导数的概念导数的概念例例1 1直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度v(t0).这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.解解若运动是若运动是匀速的匀速的,平均速度就等于质点平均速度就等于质点一、一、引例引例关系关系质点走过的路程为质点走过的路程为,0tt 从时刻从时刻并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).若运动是若运动是非匀速非匀速的的,平均速度平均速度就是这段就是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,越接近越接近它越近似表明它越近似表明 t0 时刻运动的快慢时刻运动的快慢.因此因此,人们把人们把 t0时的速度定义为时的速度定义为例例2 2割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线如何作过如何作过的切线呢？的切线呢？初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周即为圆周但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线.如如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马数学家费马1629年提出了如下的定义和求法年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.处切线的处切线的斜率斜率.已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 MN为割线，当点为割线，当点N在曲线上趋于点在曲线上趋于点M时时,现在来解决以下问题：现在来解决以下问题：则则MT为点为点M处的处的如图如图,MN旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,切线切线.割线割线MN的斜率为的斜率为切线切线MT的斜率为的斜率为0limxx 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同,关系上有如下的共性关系上有如下的共性:但在数量但在数量计算方法上计算方法上,上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,均需要做以下极限运算：均需要做以下极限运算：令令上述极限可以写为上述极限可以写为或或定义定义函数函数与自与自二、导数的定义二、导数的定义之比为之比为变量的增量变量的增量xD D中的任何一个表示中的任何一个表示,存在存在,如如或或或有导数或有导数.可用下列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无注注要注意要注意导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式:当极限当极限(1)式不存在时式不存在时,就说函数就说函数 f(x)在在x0在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时,正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.关于导数的说明关于导数的说明或令或令(1)点导数点导数是函数在点是函数在点x0处的变化率处的变化率,它反映了它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度，函数随自变量的变化而变化的快慢程度，即即函数的变化率函数的变化率.则则无论何种形式，其本质在于无论何种形式，其本质在于(1)函数增量与自变量增量之函数增量与自变量增量之比；比；(2)变化过程为自变量增变化过程为自变量增量趋近于零量趋近于零.例例 第第86页页1，2题题边际概念是与导数密切相关的经济学概念边际概念是与导数密切相关的经济学概念,(2)如果函数如果函数y=f(x)在在开区间开区间 I 内的每点处都可内的每点处都可导导,就称函数就称函数 f(x)在开区间在开区间 I 内可导内可导.注注记作记作即即或或(3)对于任一对于任一都对应着都对应着 f(x)的一个确定的的一个确定的导数值导数值.叫做原来函数叫做原来函数f(x)的的导函数导函数.函数在某点的函数在某点的导数就是导函导数就是导函数在这点的函数在这点的函数值数值导函数是一个函数，导函数是一个函数，它是它是x与与f(x)的导数间的对应，的导数间的对应，导函数也简称为导函数也简称为导数导数.上述的求极限过程中，谁是变量？上述的求极限过程中，谁是变量？从而确定了一个以从而确定了一个以x为自变量，以导数值为为自变量，以导数值为因变量因变量的新的函数的新的函数.例例解解三、求导举例三、求导举例(几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数)步步 骤骤 即即例例解解更一般地更一般地如如即即以后证明！以后证明！例例解解即即同理可得同理可得课后练习！课后练习！例例解解即即第一章第第一章第9节例节例7！例例解解即即或利用第一章第或利用第一章第9节例节例6！例例解解即左右极限虽然存在，但是不相等即左右极限虽然存在，但是不相等.是否可导取决于是否可导取决于是否存在是否存在单侧导数单侧导数存在而且相等，存在而且相等，由导数定义由导数定义存在的充分必要条件为存在的充分必要条件为和和分别称为分别称为f(x)在在x0处的左导数和右导数，处的左导数和右导数，记为记为左右导数统称为左右导数统称为单侧导数单侧导数.处的可导性处的可导性.此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在分段点分段点如果如果在开区间在开区间内可导内可导,都存在都存在,比如比如 f(x)=|x|在在x=0处处所以在此点不可导所以在此点不可导.极限存在的充要条件为左右极限存在且相等极限存在的充要条件为左右极限存在且相等.特别地特别地:即即四、导数的几何意义四、导数的几何意义由引例由引例2(切线问题切线问题)，切线的斜率就是极限值切线的斜率就是极限值)(,()(,0)()1(000 xfxxfyxf在点在点则曲线则曲线若若=;轴轴的切线平行于的切线平行于Ox例例解解得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为由由导数的几何意义导数的几何意义,即即即即五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系即即函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系所以所以,该点必连续该点必连续.结论：结论：如果函数如果函数则函数在则函数在在点在点x处可导处可导,如如,该命题的该命题的逆命题不一定成立逆命题不一定成立.注注连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件不是可导的充分条件.例例 讨论函数讨论函数 在在 x=0处的连续性和处的连续性和可导性可导性.解解 在在x=0处的连续性是显然的处的连续性是显然的.但在但在x=0处，由于处，由于所以是不可导的所以是不可导的.函数在此点处，是不是不存在切线？函数在此点处，是不是不存在切线？事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！作业作业习题习题2-1(862-1(86页页)1.3.4.6.7.9.(1)(3)(5)(7)11.13.14.15.17.18.