理论力学之动力学习题答案北航.docx

动力学（MADE BY水水）
1－3
解：
运动方程：，其中。

将运动方程对时间求导并将代入得

1－6
证明：质点做曲线运动，
x

y

o

所以质点的加速度为：,

设质点的速度为，由图可知:
，所以:
将，
代入上式可得

证毕

y

z

o

x

1－7
证明：因为，
所以：

证毕

1－10

y

解：设初始时,绳索AB的长度为,时刻时的长度
为,则有关系式：

，并且

将上面两式对时间求导得：

，

由此解得： （a）
(a)式可写成：，将该式对时间求导得：

(b)

将(a)式代入(b)式可得：（负号说明滑块A的加速度向上）

取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：

将该式在轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：

其中：

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：

A

O

A

O

B

R

1－11

解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在 A、B两点连线上的投影相等，即：

（a）

因为
（b）

将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：

（c）

由于，（c）式可写成：，将该式两边平方可得：

将上式两边对时间求导可得：

将上式消去后，可求得：
(d)
由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为

A

O

B

R

取套筒A为研究对象，受力如图所示，

根据质点矢量形式的运动微分方程有：

将该式在轴上投影可得直角坐标形式的
运动微分方程：

其中：
,

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得

1－13
解：动点：套筒A；

动系：OC杆；

定系：机座；

运动分析：

绝对运动：直线运动；

相对运动：直线运动；

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理

有：，因为AB杆平动，所以，

由此可得：，OC杆的角速度为，，所以

当时，OC杆上C点速度的大小为：

x

1－15
解：动点：销子M

动系1：圆盘

动系2：OA杆

定系：机座；

运动分析：

绝对运动：曲线运动

相对运动：直线运动

牵连运动：定轴转动

根据速度合成定理有

，

由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即，由上两式可得：

(a)

将（a）式在向在x轴投影,可得：

由此解得：

1－17
解：动点：圆盘上的C点；

动系：O1A杆；

定系：机座；

运动分析：绝对运动：圆周运动；

相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理有

（a）

将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：

，

，，

根据加速度合成定理有

（b）

将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得

其中：，，

由上式解得：

1－19
解：由于ABM弯杆平移，所以有

取：动点：滑块M；

动系：OC摇杆；

定系：机座；

运动分析：

绝对运动：圆周运动；

相对运动：直线运动；

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理

可求得：
，，

根据加速度合成定理

将上式沿方向投影可得：

由于，，，根据上式可得：

，

1-20

M

O

A

B

解：取小环M为动点，OAB杆为动系

运动分析

绝对运动：直线运动；

相对运动：直线运动；

牵连运动：定轴转动。

由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，

其中：

根据速度合成定理：

可以得到：
，

M

O

A

B

加速度如图所示，其中：

，

根据加速度合成定理：

将上式在轴上投影，可得：,由此求得：

1－21
O

x’

y’

解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。

取：动点：汽车B；

动系：汽车A（Ox’y’）；

定系：路面。

运动分析

绝对运动：圆周运动；

相对运动：圆周运动；

牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）

求相对速度，根据速度合成定理

将上式沿绝对速度方向投影可得：

y’

因此
其中：，

由此可得：
x’

O
求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，

相对速度的大小为常值，因此有：

1-23 质量为销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。

M

O

M

O

解：销钉M上作用有水平槽的约束力和圆槽的约束力（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。

M

O

M

O

根据速度合成定理有
由此可求出： 。再根据加速度合成定理有：

由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以，并且上式可写成：

因为 ，所以根据上式可求出: 。

根据矢量形式的质点运动微分方程有：

将该式分别在水平轴上投影：
由此求出：

1-24 图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。

M

解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有

将上式在切向量方向投影有

因为，所以上式可写成

整理上式可得

将上式积分：

其中为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度，上式可写成

初始时，系统静止，，根据速度合成定理可知，由此确定。重物相对速度与摆角的关系式为：

R

Ro

F

θ

O

R

Ro

O

1-26 水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为，求小球到转轴的距离为时的相对速度。

解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：

将上式在上投影有

因为，，，所以上式可写成

整理该式可得：

将该式积分有：

初始时,,由此确定积分常数，因此得到相对速度为

1-27 重为P的小环M套在弯成形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。

M

M

解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为，因为金属丝为曲线，所以，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：

其中：，将上式分别在轴上投影有

（a）
以为，,,因此

（b）
由（a）式可得
（c）
将和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：

再由方程（a）中的第一式可得

x

2-1 解：当摩擦系数足够大时，平台AB
相对地面无滑动，此时摩擦力

取整体为研究对象，受力如图，

系统的动量：

将其在轴上投影可得：

根据动量定理有：

即：当摩擦系数时，平台AB的加速度为零。

当摩擦系数时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：

将上式在轴投影有：

根据动量定理有：

由此解得平台的加速度为：（方向向左）

x

2-2 取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：

将上式在x轴投影：

根据动量定理有：

系统的运动微分方程为：

2－4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为，提起部分的速度为，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为，方向向下，大小为（如图a所示）。

y

(a) (b)

根据变质量质点动力学方程有：

将上式在y轴上投影有：

由于，所以由上式可求得：。

再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：

x

2－5 将船视为变质量质点，取其为研究对象，

受力如图。根据变质量质点动力学方程有：

船的质量为：，水的阻力为

将其代入上式可得：

将上式在x轴投影：。应用分离变量法可求得

由初始条件确定积分常数：，并代入上式可得：

2-8 图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为，质量为的质点沿半径为的圆周运动，其相对方
板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为。质点在方板上的位置由确定。初始时，，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。

o

M

图a 图 b

解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计

算方板和质点对转轴的动量矩。

设方板对转轴的动量矩为，其角速度为，于是有

设质点M对转轴的动量矩为，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为。相对速度沿相对轨迹

的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度。它对转轴的动量矩为

其中：

系统对z轴的动量矩为。初始时，，此时系统对z轴的动量矩为

当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为

由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有，因此可得：

由上式可计算出方板的角速度为

2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：

根据动量矩定理有：
P

整理上式可得：

由运动学关系可知：，因此有：。上式可表示成：

令，上述微分方程可表示成：，该方程的通解为：

根据初始条件：可以确定积分常数，于是方程的解为：

系统的动量在x轴上的投影为：

系统的动量在y轴上的投影为：

根据动量定理：

由上式解得：
，

2－14 取整体为研究对象，系统的动能为：

其中：分别是AB杆的速度和楔块C的速度。
若是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据
复合运动速度合成定理可知：
，

因此系统的动能可表示为：

，

系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：

，

系统的动力学方程可表示成：

由上式解得：

，

A

B

A

B

2－17 质量为的均质物块上有一半径为的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。

图A 图B

解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为，物块的速度为，则系统的动能为

设为势能零点，则系统的势能为

根据机械能守恒定理和初始条件有，即

(1)

系统水平方向的动量为：

(2)

根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有

由此求出，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且最后求得：

下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为，物块的加速度为，对于小球有动力学方程

（a）
A

B

A

B

图C 图 D

对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有

（b）

将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得

其中相对加速度为已知量，。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得

令，联立求解三个投影方程可求出

2－18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，

设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：

（a）

将上式对时间求导并简化可得：

(b )

每个小球的加速度为

取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理

将上式在y轴上投影可得：

将(a),(b)两式代入上式化简后得

时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成

上述方程的解为：
圆环脱离地面时的值为
而也是方程的解，但是时圆环已脱离地面，因此不是圆环脱离地面时的值。

2－19 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为，牵连速度为，由系统对z轴的动量矩守恒，有：

z

其中：，则上式可表示成：

由此解得：
其中：，

根据动能定理积分式，有：

其中：，将其代入动能定理的积分式，可得：

将代入上式，可求得：

则：

由
可求得：

2－20 取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为

应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：

外力对O轴的矩为：

因为：，所以上式可表示成：

积分上式可得：
由初始条件确定积分常数，最后得：

3－3 取套筒B为动点，OA杆为动系

根据点的复合运动速度合成定理

可得：，

研究AD杆，应用速度投影定理有：
，

再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理

将上式在x轴上投影有：，

3－4 AB构件（灰色物体）作平面运动，已知A点的速度

C

AB的速度瞬心位于C，应用速度瞬心法有：

，

设OB杆的角速度为，则有

设P点是AB构件上与齿轮I的接触点，

该点的速度：

齿轮I的角速度为：

3－6 AB杆作平面运动，取A为基点
根据基点法公式有：

将上式在AB连线上投影，可得

因此，

因为B点作圆周运动，此时速度为零，

因此只有切向加速度（方向如图）。

根据加速度基点法公式

将上式在AB连线上投影，可得

，
（瞬时针）

3－7 齿轮II作平面运动，取A为基点有

x

y

将上式在x 投影有：

由此求得：

再将基点法公式在y轴上投影有：
，
由此求得

再研究齿轮II上的圆心，取A为基点

将上式在y轴上投影有

，
由此解得：

再将基点法公式在x轴上投影有：
由此解得：
，
又因为
由此可得：

3－9 卷筒作平面运动，C为速度瞬心，其上D点的速度为，卷筒的角速度为：

角加速度为：

卷筒O点的速度为：

O点作直线运动，其加速度为：

O

C

B

研究卷筒，取O为基点，求B点的加速度。

将其分别在x,y轴上投影

同理，取O为基点，求C点的加速度。

将其分别在x,y轴上投影

P

3－10 图示瞬时，AB杆瞬时平移，因此有：

AB杆的角速度：

圆盘作平面运动，速度瞬心在P点，圆盘的
的角速度为：

圆盘上C点的速度为：

AB杆上的A、B两点均作圆周运动，取A为基点

根据基点法公式有

将上式在x轴上投影可得：
因此：

由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：

将其对时间求导有：
，
由于，所以圆盘的角加速度。 B

C

圆盘作平面运动，取B为基点，根据基点法公式有：

P

3－13 滑块C的速度及其加速度就是DC杆的速度

和加速度。AB杆作平面运动，其速度瞬心为P，
AB杆的角速度为：

杆上C点的速度为：

取AB杆为动系，套筒C为动点，

根据点的复合运动速度合成定理有：

其中：，根据几何关系可求得：

AB杆作平面运动，其A点加速度为零，

B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知

由该式可求得

由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：

再取AB杆为动系，套筒C为动点，

根据复合运动加速度合成定理有：

其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：

将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：

科氏加速度，由上式可求得：

3-14：取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。

由速度合成定理有：

O

A

B

图 A

速度图如图A所示。由于动系平移，所以，

根据速度合成定理可求出：

由于圆盘O1 在半圆盘上纯滚动，圆盘O1相对半圆盘的角速度为：

由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。

再研究圆盘，取为基点根据基点法公式有：
O

A

B

图 B

为求B点的加速度，先求点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有

图 C

（a）

其加速度图如图C所示，，
O

将公式（a）在和轴上投影可得：

由此求出：，圆盘的角加速度为：

下面求圆盘上B点的加速度。取圆盘为研究对象，为基点，应用基点法公式有：

（b）

O

B

图 D

将（b）式分别在轴上投影：

其中：

，

由此可得：

3－15（b） 取BC杆为动系（瞬时平移），

套筒A为动点（匀速圆周运动）。

根据速度合成定理有：

由上式可解得：

因为BC杆瞬时平移，所以有：

P

y

x

3－15（d） 取BC杆为动系（平面运动），

套筒A为动点（匀速圆周运动）。

BC杆作平面运动，其速度瞬心为P，设其角速度为

根据速度合成定理有：

根据几何关系可求出：

将速度合成定理公式在x,y轴上投影::

由此解得:

DC杆的速度

3-16(b) BC杆作平面运动,根据基点法有:

由于BC杆瞬时平移,,上式可表示成:

将上式在铅垂轴上投影有:

由此解得:

再研究套筒A,取BC杆为动系（平面运动），套筒A为动点（匀速圆周运动）。

(a)

y

其中:为科氏加速度,因为,所以
动点的牵连加速度为:
由于动系瞬时平移,所以,

牵连加速度为, 则(a)式可以表示成

将上式在y轴上投影:

由此求得:

y

x

3－16(d) 取BC杆为动系，套筒A为动点，
动点A的牵连加速度为

动点的绝对加速度为

其中为动点A的科氏加速度。

将上式在y轴上投影有

上式可写成

(a)
其中：

（见3－15d）为BC杆的角加速度。

再取BC杆上的C点为动点，套筒为动系，由加速度合成定理有

y

x

其中，上式可表示为

将上式在y轴投影有：

该式可表示成：

（b）

联立求解(a),(b)可得

P

O

R

3－17 AB杆作平面运动，其速度瞬心位于P，

可以证明：任意瞬时，速度瞬心P均在以O为

圆心，R为半径的圆周上，并且A、O、P在同

一直径上。由此可得AB杆任何时刻的角速度均

为

杆上B点的速度为：
O

R

x

y

AB杆的角加速度为：

取A为基点，根据基点法有

将上式分别在x,y轴上投影有

x

y

3－18 取DC杆上的C点为动点，构件AB为动系

根据几何关系可求得：

再取DC杆上的D点为动点，构件AB为动系

由于BD杆相对动系平移，因此

将上式分别在x,y轴上投影可得

x

y

求加速度：研究C点有

将上式在y轴投影有

由此求得

再研究D点

由于BD杆相对动系平移，因此

将上式分别在x,y轴上投影有

3－21 由于圆盘纯滚动，所以有

根据质心运动定理有：

根据相对质心的动量矩定理有

求解上式可得：
，

若圆盘无滑动，摩擦力应满足，由此可得：

当：时，

3－22 研究AB杆，BD绳剪断后，其受力如图所示，

由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知

AB杆质心C的加速度铅垂。

由质心运动定理有：

根据相对质心的动量矩定理有：

刚体AB作平面运动，运动初始时，角速度为零。

P

A点的加速度水平，AB杆的加速度瞬心位于P点。
有运动关系式

求解以上三式可求得：

3－25 设板和圆盘中心O的加速度分别为

A

R

，圆盘的角加速度为，圆盘上与板

的接触点为A，则A点的加速度为

将上式在水平方向投影有

（a）

取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有

(b)

应用相对质心动量矩定理有

(c)

再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有

(d )

作用在板上的滑动摩擦力为：

(e)

由(a) (b) (c) (d) (e)联立可解得：

3－29
解：由于系统在运动过程中，只有AB杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置

时，其动能为AB杆的动能与圆盘A的动能之和：

P

其中：

因此系统的动能可以表示成：

系统从位置运动到任意角位置，

AB杆的重力所作的功为：

根据动能定理的积分形式

初始时系统静止，所以，因此有

将上式对时间求导可得：

将上式中消去可得：

根据初始条件，可求得初始瞬时AB杆的角加速度 ：

因为，所以AB杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB杆的角速度为零，此时AB杆的加速度瞬心在点，由此可求出AB

杆上A点的加速度：

C

3－33 设碰撞后滑块的速度、AB杆的角速度如图所示

根据冲量矩定理有：

(a)

其中：为AB杆质心的速度，根据平面运动关系有

(b)

再根据对固定点的冲量矩定理：

系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的

动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：

将其代入冲量矩定理有：

(c)
由（a,b,c）三式求解可得：

(滑块的真实方向与图示相反)

3－34 研究整体，系统对A轴的动量矩为：

其中：AC杆对A轴的动量矩为

设为BC杆的质心，BC 杆对A轴的动量矩为

根据冲量矩定理 可得：

B

C

I

（a）

再研究BC杆，其对与C点重合的固定点的动量矩为

根据冲量矩定理有：
（b）
联立求解（a）,(b) 可得

3－35 碰撞前，弹簧有静变形

第一阶段：与通过完全塑性碰撞后一起向下运动，

不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有：

碰撞结束时两物体向下运动的速度为

第二阶段：与一起向下运动后再回到碰撞结束时

的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上，

大小仍然为

第三阶段：与一起上升到最高位置，此时弹簧

被拉长。根据动能定理有：

上式可表示成：

若使脱离地面，弹簧的拉力必须大于其重力，因此有，将代入上式求得：。
若，则

注：上述结果是在假设与始终粘连在一起的条件下得到的，若与之间没有粘着力，
答案应为，如何求解，请思考。

3－36 取AB杆为研究对象，初始时，杆上的A点与水平杆上的O点重合，当时系统静止，AB杆上A点的速度

为，角速度为，初始时受到冲击力的作用，应用对固定点O的冲量矩定理可得

B

A

其中：

由此解得：

当时，滑块A以加速度向右运动，

取AB杆为研究对象，应用相对动点A的动量矩定理有：

将上式积分并简化可得：

其中C是积分常数由初始条件确定出
。
上式可表示成

若AB杆可转动整圈，则应有，因此。若的最小值大于零，则AB杆就可以完成整圈转动。下面求

的极