高等数学上期末复习资料大全.pptx

例例2例例 3=-2tdt=du设f(x)在x=0的某邻域内连续,且f(0)=0,解解 如果如果f(x)在在a,b 上连续上连续,则积分上限的函数的导数则积分上限的函数的导数推广推广:当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式解解则例例4 求极限求极限 例例5 求极限求极限 解解则二、导数和偏导数二、导数和偏导数例例 6 解解(不写出中间变量不写出中间变量)例例 7 计算由摆线的参数方程 所确定的函数y=y(x)的导数解解例例 8解解例例9.设由方程确定,求解法解法1方程两边对 x 求导,得利用隐函数求导,利用公式.令令解法解法2说明：利用公式法说明：利用公式法求导时，将方程求导时，将方程F(x,y,)=0中中x,y,视作视作独立变量；利用隐独立变量；利用隐函数求偏导时，将函数求偏导时，将y视作视作x,的函数：的函数：y=y(x,).例例10解法解法1利用公式.令令则则利用公式法求偏利用公式法求偏导时，将方程导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量视作独立变量.解法解法2 利用隐函数求导方程两端关于方程两端关于x求偏导，得求偏导，得方程两端关于方程两端关于y求偏导，得求偏导，得说明：利用公式法求偏导时，将方程说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作视作x,y的的函数：函数：z=z(x,y).例例 12 设 u=f(xy,yz,zx,),其中f是具有二阶偏导数的函数，求解解例例11 求三、积分解解:原式=常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法例例12 求解解例13 求不定积分解：解：利用凑微分法,原式=令得例例14 求（换元和分布积分法结合使用）（换元和分布积分法结合使用）解解:令则 例例14 求函数 的极值点，拐点，单调区间，凹凸区间.解解(极大)(拐点）(极小)极大值；极小值：拐点：四、应用题四、应用题例例15 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解解:由得交点平面图形的面积平面图形的面积平面直角坐标下图形的面积平面直角坐标下图形的面积(1)由曲线与直线及 x 轴所围曲边梯形面积为 A.其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标下的面积元素,它表示高为f(x)、底为dx的一个矩形面积.(2)由曲线由曲线 ,直线直线y=c,y=d(c0,证明证明(2)方程F(x)=0在区间(a,b)内有且有一个根.6.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量 的方向导数.证明证明因为积分上限的函数可导,知F(x)在a,b上连续,又由零点定理可知:方程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根;又因 所以F(x)在上单调递增,从而方程F(x)=0 在(a,b内仅有有一个根.证明证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小值m,即则有由于由于f(x)在在a,b上连续上连续,由介值定理知由介值定理知,必存在必存在 使得使得