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实验五 FIR数字滤波器的设计
04011344 王晨
一、实验目的
(1) 掌握用窗函数法、频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉相应的MATLAB编程。
(2) 熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性。
(3) 了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。

二、 实验原理

① 线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：

1、h(n)为偶对称，N为奇数;H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成偶对称。
2、h(n)为偶对称，N为偶数;H(ejω)的幅值关于ω=π成奇对称，不适合作高通。 
3、h(n)为奇对称，N为奇数;H(ejω)的幅值关于ω=0，π，2π成奇对称，不适合作高通和低通。
4、h(n)为奇对称，N为偶数;H(ejω) ω=0、2π＝0，不适合作低通。

②  窗口法 

窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤：
Ø 确定数字滤波器的性能要求：临界频率，滤波器单位脉冲响应长度N； 
Ø 根据性能要求，合理选择单位脉冲响应的奇偶对称性，从而确定理想频率响应 的幅频特性和相频特性；
Ø 求理想单位脉冲响应，在实际计算中，可对按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得，用代替；
Ø 选择适当的窗函数，根据求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；
Ø 求，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。

窗函数的傅式变换的主瓣决定了过渡带宽。的旁瓣大小和多少决定了在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有： 
（1） 矩形窗(Rectangle Window)  

（2） 汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗

（3） 汉明(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗

（4） 布莱克曼(Blankman)窗，又称二阶升余弦窗 

（5） 凯塞(Kaiser)窗b         

其中：β是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，β越大，过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。第一类修正零阶贝塞尔函数。  

③ 频率采样法  
 频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应  )加以等间隔采样，然后以此作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的采样值 ,由 通过 IDFT 可得有限长序列， 然后进行 DTFT 或 Z 变换即可得 。  

④ FIR滤波器的优化设计 
 FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。  
为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应)(nh的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。令N=2M+1，则 

如希望逼近一个低通滤波器，这里固定为某个值。在这种情况下有

定义一逼近误差函数：
E(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W(ω)为加权函数，

根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。

三、实验内容
(1) N＝45，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼的归一化的幅度谱，并比较各自的主要特点。
程序代码：
clear all； 
N=45;
w1=boxcar(N);w2=hamming(N);w3=blackman(N);
[h,w]=freqz(w1,N); 
figure(1);
plot(w/pi,20*log10(abs(h)));
axis([0,1,-80,10]);
grid on; 
xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB');
 title('矩形窗');
figure(2);
[h,w]=freqz(w2,N);
 plot(w/pi,20*log10(abs(h))); 
axis([0,1,-80,10]);
grid on;
xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB');
title('汉明窗');
 figure(3);
[h,w]=freqz(w3,N); 
plot(w/pi,20*log10(abs(h)));
axis([0,1,-150,10]);
grid on;
 xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB');
title('布莱克曼窗'); 
运行结果：

Figure 1-1

Figure 1-2

Figure 1-3
分析：矩形窗函数具有最窄的主瓣宽度，但有最大的旁瓣峰值；汉明窗函数的主瓣稍宽，而旁瓣较小；布莱克曼窗函数则更甚之。 矩形窗设计的滤波器过渡带最窄，但是阻带最小衰减也最差； 布莱克曼窗设计的滤波器阻带衰减最好，过渡带最宽，约为矩形窗设计的的三倍。 汉明窗设计的滤波器处于矩形窗和布莱克曼窗之间。

(2) N＝15，带通滤波器的两个通带边界分别是。用汉宁窗设计此线性相位带通滤波器，观察它的实际3dB和20dB带宽。N＝45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响。
程序代码：
clear all；
N=15;w1=0.3;w2=0.5; 
w=hanning(N);
n=0:N-1;alfa=(N-1)/2; h=fir1(N-1,[w1 w2],w);[h1,w3]=freqz(h,1); figure(1);
subplot(2,1,1); 
plot(w3/pi,20*log10(abs(h1)));grid on;axis([0,1,-80,10]); 
xlabel('归一化频率/π');ylabel('幅度/dB');
subplot(2,1,2);
 plot(w3/pi,angle(h1));grid on; axis([0,1,-4,4]);
xlabel('归一化频率/π');ylabel('角度/rad'); 
N=45;w=hanning(N);n=0:N-1;alfa=(N-1)/2;h=fir1(N-1,[w1 w2],w); [h1,w3]=freqz(h,1);
figure(2); 
subplot(2,1,1);
plot(w3/pi,20*log10(abs(h1)));grid on;axis([0,1,-80,10]); xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB'); subplot(2,1,2);plot(w3/pi,angle(h1));grid on;
axis([0,1,-4,4]); xlabel('归一化频率/π');ylabel('角度/rad'); 

运行结果：

Figure 2-1

Figure 2-2

  分析： 可见N增大，其3db带宽和20db带宽分别减小，滤波器特性变好，过渡带变陡，幅频曲线显示其通带较平缓，波动小，阻带衰减大。相频特性曲线显示其相位随频率变化也变大。

(3) 分别改用矩形窗和布莱克曼窗，设计(2)中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。
程序代码：
clear all； 
N=15;
w1=0.3;
w2=0.5;
wn1=boxcar(N);
wn2=blackman(N); 
hn1=fir1(N-1,[w1 w2],wn1);
hn2=fir1(N-1,[w1 w2],wn2);
[h1,w3]=freqz(hn1,1);figure(1); 
plot(w3/pi,20*log10(abs(h1)));
grid on; 
axis([0,1,-80,10]);
xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB');
 title('矩形窗,N=15');
[h1,w3]=freqz(hn2,1);
figure(2);
 plot(w3/pi,20*log10(abs(h1)));
grid on; 
axis([0,1,-80,10]);
xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB'); 
title('布莱克曼窗,N=15');N=45; 
wn1=boxcar(N);
wn2=blackman(N); 
hn1=fir1(N-1,[w1 w2],wn1);
hn2=fir1(N-1,[w1 w2],wn2);
 [h1,w3]=freqz(hn1,1);
figure(3);
plot(w3/pi,20*log10(abs(h1)));
grid on; 
axis([0,1,-80,10]);
xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB');
 title('矩形窗,N=45');
[h1,w3]=freqz(hn2,1);
figure(4);
plot(w3/pi,20*log10(abs(h1)));
grid on; 
axis([0,1,-110,10]);
xlabel('归一化频率/π');
ylabel('幅度/dB'); 
title('布莱克曼窗,N=45'); 
运行结果：

Figure 3-1 Figure 3-2

Figure 3-3 Figure 3-4

分析：同一N值，分别用矩形窗，汉宁窗，汉明窗，布莱克曼窗设计滤波器时，主瓣宽度逐渐增大,过渡带变宽，但阻带衰减性能变好；N增加，主瓣变窄，旁瓣的分量增加，过渡带变陡，起伏震荡变密。  
加窗处理对滤波器的频率响应会产生以下主要影响： 
Ⅰ 使理想特性不连续的边沿加宽，形成一过渡带，过渡带的宽度取决于窗函数频谱的主瓣宽度。 
Ⅱ 在过渡带两旁产生肩峰和余振，它们取决于窗函数频谱的旁瓣；旁瓣越多，余振也越多；旁瓣相对值越大，肩峰则越强。 
Ⅲ 增加截断长度N，只能缩小窗函数频谱的主瓣宽度而不能改变旁瓣的相对值；旁瓣与主瓣的相对关系只决定于窗函数的形状。因此增加N，只能相对应减小过渡带宽。而不能改变肩峰值。肩峰值的大小直接决定通带内的平稳和阻带的衰减，对滤波器性能有很大关系。

(4) 用凯塞窗设计一专用线性相位滤波器，N＝40，如实验图四图，当时，分别设计、比较它们的幅频和相频特性，注意取不同值时的影响。

程序代码：
clear all； 
 %beta=4; 
Wd=[0.2 0.4 0.6 0.8]; 
M=39; 
beta=4; 
hh = fir1(M, Wd, 'DC-0', kaiser(M+1,beta));
[H, w] = freqz(hh, 1); 
figure; subplot(2,1,1);
plot(w/pi,abs(H));  xlabel('\omega/\pi'); ylabel('幅度'); grid;title('幅频特性, beta=4'); 
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angle(H)); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('弧度'); grid;title('相频特性');

 %beta=6; 
Wd=[0.2 0.4 0.6 0.8];
 M=39; 
beta=6; 
hh = fir1(M, Wd, 'DC-0', kaiser(M+1,beta));
[H, w] = freqz(hh, 1);
 figure;
 subplot(2,1,1);
plot(w/pi,abs(H));  xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度'); grid;title('幅频特性, beta=6'); 
subplot(2,1,2); 
plot(w/pi,angle(H));xlabel('\omega/\pi'); ylabel('弧度'); grid;title('相频特性'); 

%beta=10; 
Wd=[0.2 0.4 0.6 0.8];
 M=39; 
beta=10; 
hh = fir1(M, Wd, 'DC-0', kaiser(M+1,beta));
[H, w] = freqz(hh, 1); 
figure; 
subplot(2,1,1); 
plot(w/pi,abs(H)); xlabel('\omega/\pi'); ylabel('幅度'); grid; title('幅频特性, beta=10'); 
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,angle(H));xlabel('\omega/\pi'); ylabel('弧度'); grid; title('相频特性'); 

运行结果 ：

Figure 4-1

Figure 4-2

Figure 4-3
分析：β越大，w(n)窗越窄，频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加，过渡带变宽，相位特性变好。

（5） 用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果。
程序代码：
clear all;
N=45;
k=0:N-1;
for k=0:N-1w=2*pi/N*k;
hk(1,k+1)=0; 
  if ((w>=0.2*pi) && (w<=0.4*pi))||(w>=0.6*pi && w<=0.8*pi)||(w>=1.2*pi && w<=1.4*pi)||(w>=1.6*pi && w<=1.8*pi);
hk(1,k+1)=1;end;end; 
k=0:N-1;hk(1,5)=0.5;
hk(1,11)=0.5;hk(1,14)=0.5;hk(1,20)=0.5;hk(1,27)=0.5; hk(1,33)=0.5;hk(1,36)=0.5;
hk(1,42)=0.5; 
thetak=-k*2*pi/N*((N-1)/2);
hk1=hk.*exp(j*thetak);
hn=ifft(hk1);
 [h1,w1]=freqz(hn,1);
plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));
grid on; axis([0,1,-80,10]);xlabel('归一化频率/π');ylabel('幅度/dB');
运行结果：

Figure 5

(6)用雷米兹(Remez)交替算法设计(4)中的滤波器，并比较(4)、(5)、(6)三种不同方法的结果。
程序代码：
clear all;
 N=40;
M=N-1; 
f=[0 0.15 0.2 0.4 0.45  0.55 0.6 0.8 0.85 1];
a=[0 0 1 1 0 0 1 1 0 0];
weight=[2 1 2 1 2];
h=remez(M,f,a,weight);
[H,w]=freqz(h,1); 
plot(w/pi,20*log10(abs(H)));
grid;
xlabel('归一化频率/\pi');
ylabel('幅度/dB'); 
运行结果：

Figure 6

（7） 利用雷米兹(Remez)交替算法，设计一个线性相位高通FIR数字滤波器， 
其指标为：fc=800Hz，δ=1dB，Hzfr500=，At=40dB，fs=5000Hz。
程序代码：
clear all;
 f=[500 800];
fs=5000;a=[0 1]; 
dev=[0.009 0.1];
[M,fpts,mag,wt]=remezord(f,a,dev,fs); 
h=remez(M,fpts,mag,wt);
[H,w]=freqz(h,1); 
plot(w*2500/pi,20*log10(abs(H)));
grid;xlabel('幅频/Hz');ylabel('幅度'); 

运行结果：

Figure 7

四、思考题
(1) 定性地说明用本实验程序设计的FIR滤波器的3dB截止频率在什么位置?它等于理想频率响应的截止频率吗?
答：三分贝截止频率在主瓣内，幅度为最大幅度的一半的位置。它理论上不等于理想频率响应的截止频率，因为加了窗函数，频域上相当于是理想频率响应乘以窗函数，因此不一样。实验中读出的3db带宽刚好和给的数值一样只是因为读书的误差,由图读得比较不精确。

(2) 如果没有给定的长度N，而是给定了通带边缘截止频率和阻带临界频率，以及相应的衰减，能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗?
答：可以，先根据不同窗函数的最小阻带衰减不同来选择适合(有不同的选择方法，只要符合条件即可)的窗函数，再利用主瓣宽，计算出N的值，再按前面的方法进行设计即可。