第5章流动阻力和水头损失.docx

第5章 流动阻力和水头损失
本章主要阐述液体运动的阻力和水头损失规律。
实际液体运动要比理想液体复杂得多。粘性的存在会使液流具有不同于理想液体的流速分布，并使相邻两层运动液体之间、液体与边界之间除压强外还相互作用着切向力（或摩擦力），在流动过程中会产生水流阻力。流动阻力做功，使液体的一部分机械能不可逆的转化为热能而散发，从液体具有的机械能来看是一种能量损失。因此，粘性即是液流产生阻力和能量损失的内在原因，但是粘性必须通过一定的外部条件（即固体的边界尺寸、形状及粗糙程度）才会起作用。总流单位重量的平均机械能损失称为水头损失，只有解决了水头损失的计算问题，第4章得到的伯诺利方程才能用于解决实际问题。
此外简单介绍与水头损失密切相关的边界层理论和绕流阻力。
5.1 液流阻力与水头损失
液流阻力和水头损失的规律，因液体的流动状态和流动的边界不同，对断面流速分布有一定影响，从而对流动阻力和水头损失也有影响。为了便于分析计算，根据流动边界情况的不同，把水头损失分为沿程水头损失和局部水头损失。
5.1.1沿程阻力和沿程水头损失

图5-1

在边壁沿流程无变化（边壁形状、尺寸、流动方向均无变化）的均匀流流段上，产生的流动阻力称为沿程阻力(或摩擦力)；由于沿程阻力作功而引起的水头损失称为沿程水头损失，以表示。如图5-1所示。沿程阻力的特征是沿水流长度均匀分布，因而沿程水头损失的大小与流程的长度成正比。在较长的输水管道和明渠中的流动都是以沿程水头损失为主的流动。

5.1.2 局部阻力和局部水头损失
在边壁沿流程急剧改变的流段，液流内部结构就要急剧调整，速度分布进行改组，液体内部质点之间的相对运动加剧，流线弯曲并产生漩涡。这些都会使内摩擦增加，与之相应的流动阻力称为局部阻力。局部阻力的特点是作用范围小而所引起的能量消耗则很大。在局部阻力作用范围内，水流的相对运动速度大为增加，从而切应力也大为增加，剧烈的紊动和撞击都损耗大量的能量，水流经过局部阻力以后，需要重新调整其水流结构以适应新的均匀流条件，这也需要消耗一定能量，因此局部阻力所引起的水头损失比同样范围的沿程水头损失大得多。
由局部阻力引起的水头损失，称为局部水头损失，以表示。它一般发生在沿流程过水断面突变、水流轴线急骤弯曲、转折或水流前进方向上有明显的局部障碍等处，例如在管道入口、异径管、弯管、三通、阀门等各种管件处的水头损失，都是局部水头损失。
沿程水头损失和局部水头损失，是由于液体在运动过程中克服阻力作功而引起的，但又具有不同的特点。沿程阻力主要显示为“摩擦阻力”的性质。而局部阻力主要是因为固体边界形状突然改变，从而引起水流内部的结构遭受破坏，产生漩涡，以及在局部阻力之后，水流还要重新调整整体结构适应新的均匀流条件所造成的。
在一个总流中，例如一段管流和一段明渠水流，液体在运动过程中除了克服各段的沿程阻力而有沿程水头损失外，还在不同的地点克服局部阻力而有各种局部水头损失，并且认为相邻的局部阻力之间没有干扰。由于水头损失是一个标量，从而可以代数叠加。因此流段两截面间的水头损失可以表示为两截面间的所有沿程水头损失和所有局部水头损失的总和，即
（5-1）
其中 ——等截面的段数；
——产生局部水头损失的个数。
5.2 液体流动的两种型态
十九世纪中期一些研究者发现，在细管中，当流速很小时，水头损失与平均流速的1次方成正比。在较粗管中流速大到一定程度时，水头损失与平均流速的1.75次方至2．0次方成正比。水头损失的这种变化规律，必然是反映了水流内部结构从量变到质变的一个变化过程。当时就有人指出，液体在运动时可能存在着根本不同的流动型态。直到1883年英国物理学家雷诺（Osborne Reynolds）进行了著名的试验研究，才肯定了液体运动时存在层流和紊流两种不同型态。
5.2.1雷诺实验
图5-2为雷诺实验装置，水箱中水平放置一具有喇叭口的玻璃管，前端有一细管可以注入颜色溶液，另一端有阀门用以调节流量。容器内装有密度与水相近的颜色水，经细管流入玻璃管中，阀门可以调节颜色水的流量。水箱中的水位保持恒定不变。

图5-2

开始实验时，轻微地开启出水阀门，使水箱中的水缓慢地通过玻璃管流出。同时打开阀门F使颜色溶液以极慢的速度流出并随同水箱中清水一起进入玻璃管。此时发觉在整个玻璃管中，颜色溶液形成一条清晰的平滑直线，而不与周围清水混掺，如图5-2(a)所示。这一现象说明玻璃管中水流呈层状流动，各层的质点互不混掺。这种流动状态称为层流。如将出水管阀门C逐渐开大，增加玻璃管中流速，颜色液体仍能在玻璃管中保持平滑的直线。直到阀门C开启到一定程度，也即是玻璃管中流速增加到某一限度后，颜色溶液开始呈现出波状摆动，如图5-2(b)所示。继续开大阀门C，当管中流速增至某一数值时，在个别流段上产生一些局部旋涡，水流呈现紊乱状态。颜色水突然破裂、扩散遍至全管，并迅速与周围清水混掺，玻璃管中整个水流都被均匀染色，如图5-2(c)所示。管中的水流是充满漩涡的、质点互相混掺的流动，这种流动状态称为紊流。这时如果用灯光把液体照亮则可见到被染颜色的水体是由许多明晰的小漩涡组成。显然，颜色液体呈直线状态的液流和颜色液体与清水混掺的紊乱状态的液流在内部结构上是完全不同的。
试验若以相反的程序进行，即管中流动已处于紊流状态，逐渐关小玻璃管的出水阀门C，即减小管中流速，则前面所叙述的现象，将以相反的次序重演，流动型态由紊流变为层流。但有一点是不同的：即由紊流转变为层流的平均流速，要比由层流转变为紊流时的平均流速小。把由层流转化为紊流时的管中平均流速称为上临界流速，由紊流转化为层流时的管中平均流速称为下临界流速。
上面的实验虽然是在圆管中进行，所用液体只是水，但对其他任何边界形状，任何其他实际液体或气体流动，都可以发现有这两种流动型态。因而我们可以得出如下结论：任何实际液体的流动都存在着层流和紊流两种不同的流动型态。雷诺等人实验的意义在于它揭示了层流与紊流不仅是液体质点的运动轨迹不同，它们的水流内部结构也完全不同，因而反映在水头损失和扩散的规律都不一样。所以分析实际液体流动，例如计算水头损失时，首先必须判别流动的型态。
为了分析沿程水头损失随流速的变化规律，通常在玻璃管的某段(如图5-2中的1～2段)上，在不同的流速时，测定相应的水头损失。将所测得的试验数据画在对数坐标纸上，绘出与的关系曲线，如图5-3所示。实验曲线明显地分为三部分：

图5-3

1） ab段 当＜时，流动为稳定的层流，所有试验点都分布在与横轴(1g轴)成的直线上，ab的斜率＝1.0。说明了沿程水头损失与流速的一次方成正比。
2） ef段 当＞时，不论是从层流到紊流，还是紊流到层流，流动必为紊流，试验曲线ef的开始部分是直线，与横轴成，往上略呈弯曲、然后又逐渐成为与横轴成的直线。ef的斜率。说明沿程水头损失与流速的1.75～2.0次方成正比。
3） be段 当＜＜，水流状态不稳定，既可能是层流(如bc段)，也可能是紊流(如be段)，取决于水流的原来状态，沿程水头损失和断面平均流速之间没有明确的关系。应注意的是在此条件下层流状态会被任何偶然的原因所破坏，是不稳定的。例如，层流状态如果被管壁上的个别凸起所破坏，那末在＜＜时，它就不会回到原来的状态却保持为紊流的型态。
上述实验结果可用下列方程表示

即
层流时，，；紊流时，，。
上临界流速一般是不稳定的，即使在同一设备上进行实验，值也会不同，它与实验操作和外界因素对水流的干扰有很大关系，在实验时扰动排除得愈彻底，上临界流速值可以愈大。
5.2.2层流、紊流的判别标准—— 临界雷诺数
1. 圆形管道雷诺数
因为流态不同，沿程阻力和水头损失的规律不同。所以，计算水头损失之前，需要对流态作出判断。由于在实际工程中扰动是普遍存在的，因此必须以临界流速作为判别流态的标准。即
＜ 层流
＞ 紊流
但实验资料证明，临界流速并不是一个固定数值，它是和流速、过水断面的形状及尺寸、液体的粘滞性和密度有关。雷诺实验发现，临界流速与液体的动力粘度成正比，与液体的密度和管径成反比，即

写成等式

式中 —— 液体的运动粘性系数；
—— 为比例常数，是不随管径大小和液体的物理性质变化的无量纲数。
上式也可写成
定义为管流的雷诺数，它综合反映了影响流动型态的有关因素。上式中就是流动型态由紊流转换为层流时的雷诺数。如果是下临界流速，则称为下临界雷诺数。即
同理，对上临界流速，则有

式中 ——上临界雷诺数。
雷诺及后来的实验都得出，下临界雷诺数稳定在2000左右，外界扰动几乎与它无关。其中以希勒（Schiller 1921）的实验值得到公认。而上临界雷诺数其数值却是一个不稳定的数值，有的得12,000，有的得20,000或40,000，这是因为上临界雷诺数的大小与实验中水流扰动程度有关。
实际工程中总存在扰动，因此上临界雷诺数就没有实际意义。我们用下临界雷诺数作为流态的判别标准，应用起来非常简便。只需计算出管流的雷诺数
（5-2）
将值与临界雷诺数比较，便可判别流态
＜ 则＜ 流动是层流
＞ 则＞ 流动是紊流
= 则 流动是临界流
2. 非圆通道雷诺数
对于明渠水流和非圆形断面的管流，同样可以用雷诺数判别流动型态，只不过要引用一个综合反映断面大小和几何形状对流动影响的特征长度，取代圆管雷诺数中的直径。这个特征长度就是水力半径
（5-3）
式中 —水力半径；
—过水断面面积；
—断面中固体边界与液体相接触部分的周长，称为湿周。
例如，矩形断面无压流动的渠道，如图5-4（a）所示，水力半径 ；圆管满流如图5-4（b），水力半径等。

图5-4

以水力半径为特征长度，相应的雷诺数为，此时其临界雷诺数为575。
实际液体所以会有层流和紊流的流动型态，是因为有粘性的作用。在理想液体里是因为没有粘性的作用，所以无所谓层流和紊流。
3. 雷诺数的物理意义
雷诺数反映了惯性力与粘性力的对比关系。若较小，反映出粘性力的作用大，粘性力作用对质点运动起控制作用，因此当小到一定程度时，质点呈现有秩序的线状运动，这就是层流。
当流动的雷诺数逐渐增大时，粘性力对流动的控制也随之减小，惯性对紊动的激励作用增强，质点运动失去控制时，层流即失去了稳定，由于外界的各种原因，如边界上的高低不平等因素，惯性作用将使微小的扰动发展扩大，形成紊流。这就说明了为什么雷诺数可以用来判别流动的型态。
[例5-1] 有一个直径的水管，流速，水温为℃，试判别流态。
解 查表得℃水的运动粘性系数
管中水流的雷诺数
圆形管道的临界雷诺数，因为＞2300，因此管中水流处在紊流型态。
[例5-2] 运动粘滞系数＝0.01385的水，通过输水管的流量为，试求为保证水流为层流的管子直径。
解 当≤＝2300时，管中水流必为层流流动，由此可以得出保证管中水流为层流状态的管子直径应为
≥
即管道直径不得小于。
5.3 恒定均匀流水力坡度与切应力的关系
前面已指出，均匀流内部流层间的切应力是造成沿程水头损失的直接原因。为此首先要建立沿程水头损失与切应力的关系，再找出切应力的变化规律，就能解决沿程水头损失的计算问题。
5.3.1均匀流沿程水头损失
液体在均匀流动的情况下水头损失只有沿程水头损失。设有一个均匀总流，在总流中任意截取一流段1-2，如图5-5所示。为了确定和断面之间的沿程水头损失，可写出和断面的伯努利方程式，即

图5-5

在均匀流中，有
故 （5–4）
式(5-4)说明，在均匀流情况下，两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面测压管水头的差值，即液体用于克服阻力所消耗的能量全部由势能提供。
前面述及，均匀流内部流层间的切应力是造成沿程水头损失的直接原因。因此有必要分析作用在流段上的外力并建立沿程水头损失与切应力的关系——均匀流基本方程。
5.3.2 沿程水头损失与切应力的关系
在（图5-5）中，设和断面之间的流段长度为，过水断面面积，湿周为，上游断面的动水压力为，下游断面的动水压力为，流段重量为，流段表面的切力为。根据力的平衡条件，沿着流动方向力的投影为

因为，，而且，设液体与固体边壁接触面上的平均切应力为。代入上式，得

两边同时除以，并整理得

将式（5-4）代入上式，可得

或 （5–5）
式中 —— 水力半径（）；
—— 水力坡度；
—— 液体密度（）；
—— 重力加速度（）。
式（5–5）给出了圆管均匀流沿程水头损失与切应力的关系，是研究沿程水头损失的基本公式，称为均匀流基本方程。对于明渠均匀流，由上述方法，同样可得到式（5–5），所以均匀流基本方程对有压流和无压流均适用。
由于均匀流基本方程是根据作用在恒定均匀流段上的外力平衡得到的，并没有反映流动过程中产生沿程水头损失的物理本质。公式推导过程中未涉及液体质点的运动状况，因此该式对层流和紊流都适用。然而层流和紊流切应力的产生和变化有本质的不同，所以两种流动型态水头损失的规律不同。
5.3.3 圆管过流断面上切应力分布
如图5–6所示，在圆管恒定均匀流中，以管轴线为对称轴取半径为的元流，作用在元流表面上的切应力为，由前述的推导方法可得
（5–6）
若取圆管半径为，则，由式（5–5）可得
（5–7）

图5-6

比较式（5–6）和（5–7），可得

或 （5–8）
即圆管均匀流过水断面上切应力呈直线分布。管轴线处，切应力；管壁处切应力为最大值。
若应用上述公式推求切应力或求沿程水头损失，必须首先确定。经过许多水力学家试验研究，用量纲分析法（第6章介绍）得到
（5–9）
式中，称为沿程阻力系数，它是表明沿程阻力大小的一个系数。
5.4 圆管中的层流运动
由均匀流基本方程入手推求沿程水头损失的计算公式，还需进一步研究切应力与平均流速的关系。而的大小与水流的流动型态有关，本节讨论圆管中均匀层流的沿程水头损失。
如前所述，层流中各流层质点互不混掺。对于圆管来说，各层质点沿着与管轴线平行的方向运动。与管壁接触的流层流速为零，管轴线上速度最大，整个管流如同无数薄壁圆筒一层套着一层向前滑动，如图5-7所示。

图5–7

水流阻力完全是由粘性引起的，各层间的切应力可由牛顿内摩擦定律求出，采用式（1–8）

由于圆管中的流动是轴对称流，为了计算方便，采用柱坐标如图5-7所示，这里
所以

结合式（5-6），可得

于是
注意到、和都是常数，在均匀流过水断面上也是常数，积分上式得

积分常数由边界条件确定。当时，，此时。将代回上式得
（5-10）
上式就是圆管层流过流断面上流速分布的解析式，为抛物线方程，说明流速分布是一个旋转抛物面，这是圆管层流的重要特征之一。
将代入式（5-10），得管轴处最大流速为
（5-11）
流量，选取宽的环形面积为微元面积，则平均流速

（5-12）
比较式（5-11）、式（5-12），可得
（5-13）
即圆管层流的平均流速为最大流速的一半。可见，层流过水断面上流速分布是很不均匀的。其动能修正系数为

动量修正系数为

为了计算方便，沿程水头损失通常用平均流速的函数表示，由式（5-12）得

即 （5-14）
上式说明在圆管层流中，沿程水头损失和断面平均流速的一次方成正比。前述雷诺实验也证实了这一论断。
沿程水头损失也可以用流速水头来表示，式（5-14）可改写成

令
则 （5-15）
这就是常用的沿程水头损失计算公式，称为沿程阻力系数。该式表明，在圆管层流中沿程水头损失与管壁粗糙度无关。这是因为在层流中，沿程水头损失是由于克服各流层间的内摩擦力做功造成的，管壁粗糙引起的扰动完全被粘性抑制的缘故，这一结论已为著名的尼古拉兹实验所证实。
法国医生兼物理学家泊肃叶（Poiseuill）和德国水利工程师哈根（Hagen）首先进行了圆管层流的实验研究，式（5-12）与实验结果相符，式（5-12）又称为哈根-泊肃叶公式。为确认粘性液体沿固体壁面无滑移（壁面吸附）条件，的正确性，提供了佐证。
上面所推导出的层流运动计算公式，只能用于均匀流动情况，在管道进口附近是不适用的。
[例5-3] 设圆管直径，用毕托管测得管轴线上速度，水温℃。试求在管长流段上的沿程水头损失。
解 由表1－3查得运动粘度，设流动为层流，由式（5-13）得断面平均流速

雷诺数

因为＜2300，假设成立，液体为层流运动。沿程阻力系数

沿程水头损失

5.5 液体的紊流运动简介
当雷诺数超过临界雷诺数之后，流动就成为紊流。在紊流中，粘滞性作用已经削弱，而惯性力作用则不能忽略了。
5.5.1紊流的发生
设有两股来源不同的水流在一个尖缘后汇合，如图5-8(a)所示。由于两股水流原来的流速不同，在交界面处流速值有一个跳跃变化，这种交界面称为间断面。越过间断面时，流速由一个数值突然变为另一个数值，其流速梯度为无穷大，根据牛顿内摩擦定律，间断面处的切应力也为无穷大，这当然是不可能的。因此间断面的原状不能持久，两侧的水流将重新调整，所以交界面极不稳定。对于偶然的波状扰动，交界面就会出现波动。在凸起的地方，其上部的流股过水断面受到挤压，断面变小，流速变大，根据伯努利方程，压强就要降低；其下部流股则由于过水断面增大而流速变小，压强就要增高。在凹下的地方则相反，上部压

图5-8

强增高而下部压强降低。如图5-8（b）所示，（+）号表示增压，（-）号表示减压。这样交界面上就产生横向压力，这个横向压力使得上突段越凸、下洼段越凹，波状起伏更加显著，最后使间断面破裂而形成一个个小漩涡。由于起始的扰动一般都不是有规则的波动，因此间断面最终也将是由大大小小的漩涡不规则地相混杂而组成。图5-9表示了间断面处漩涡形成
的过程。

图5-9

漩涡产生以后，涡体中的旋转方向与水流流速方向一致的一边流速变大，相反的一边流速变小。流速大的一边压强小，流速小的一边压强大，涡体两边的压强差形成了作用于涡体上的升力（或下沉力），如图5-10所示。这个升力（或下沉力）有使涡体脱离原来的流层而掺入邻近流层的趋势。但是液体的粘性对于涡体的运动却作用有阻力，只有当促使涡体横向运动的惯性力超过了粘性阻力时，才会产生涡体的混掺。涡体的混掺又使邻层受到扰动，进一步产生新的涡体。在流动中涡体的产生，涡体的运动使得液体质点发生混掺，这种流动就是紊流。

图5-10

5.5.2紊流的基本特征及时均法
从现象来看，紊流运动的基本特征是液体质点具有不断的互相混掺，质点的互相混掺使得流区内各点的流速、压强等运动要素在数值上发生一种脉动现象。例如在恒定流动中某一点的流速（或压强等）的数值不是一个常数，而以某一常数值为中心，不断地上下跳动，这种跳动就叫脉动。如图5-11所示。

图5-11

紊流中的脉动现象对工程设计有着直接的影响。压强的脉动增大了对固体边界作用的瞬时荷载，可能引起固体的震动，增加了发生空蚀的可能性等。尤其是流速较大的水流，脉动比较剧烈，对工程的影响比较显著。此外，脉动也是水流能够挟带泥沙的根源，引起河渠的冲淤现象。
脉动现象是个复杂的现象，从图5-11可以看出，脉动的幅度有大有小，变化复杂而无明显的规律性。在分析紊流运动时，如果要获得流场中各点的流速和压强（包括脉动在内的全部数值）随时间和地点的变化过程，将会遇到难以克服的困难。现在被广泛采用的方法是用时间平均法，即把紊流运动看作是由两个流动叠加而成，一个是时间平均流动，一个是脉动流动。这样，把脉动流动分离出来，便于处理和做进一步的探讨。例如设为恒定紊流中某一点在方向的瞬时流速，从紊流特征可以知道是随着时间而变化的，所以严格来讲，紊流总是非恒定流动。若取一足够长的时间过程，在此时间过程中的时间平均流速
（5-16）
由图5-11可以看出时间平均流速和所取时段长短有关，如时段较短（取），则时间平均流速为；如时段较长（取），则时间平均流速为。但是因为水流中脉动周期较短，所以只要时段取得足够长时就可以消除时段对时间平均流速的影响。
显然瞬时流速由时间平均流速和脉动流速两部分组成，即
（5-17a）
（5-17b）
（5-17c）
式中 、、——某点瞬时流速在、、方向的分量；
、、—— 某点时间平均流速在、、方向的分量；
、、—— 某点脉动流速在、、方向的分量。
将式（5-17a）代入式（5-16），整理可得

即脉动流速的时间平均值。同理，。
时间平均值是取这样一个平均值，即这个值以上的曲线的面积和这个值以下的曲线的面积相等。
其他的运动要素也都可以同样的处理，如瞬时压强可以写成

其中，时均压强；为脉动压强，并用同样的方法可证

应当指出，以时间平均值代替瞬时值固然为研究紊流运动带来了很大方便，但是时间平均值只能描述总体的运动，不能反映脉动的影响。如图5-12所示的两组脉动值，它们的脉动幅度、频率各不同，但其时均值却可以相等。对时均流动来说，只要时间平均流速和时间平均压强不随时间改变，就可以认为是恒定流。可见，只要建立了时间平均的概念，我们以前所提到的分析水流运动规律的方法，对紊流运动仍可适用。以后提到的紊流状态下，水流中各点的运动要素均是指时间平均值而言。为了方便起见，以后不再写“时均”两字和不再用时间平均值的符号。但是，紊流的固有特征并不因时均而消失。因此对于和紊流的特征直接有关系的问题，如紊流中的阻力和过水断面上流速分布问题，必须考虑到紊流具有脉动与混掺的特点，才能得出符合客现实际的结论。

图5-12

5.5.3 紊流切应力、普兰特混和长度理论
层流运动中，液体质点成层相对运动，其切应力是由粘性引起，可用牛顿粘性内摩擦定律进行计算。然而，紊流流态时的切应力由两部分组成：其一，从时均紊流的概念出发，可将运动液体分层，因为各液层的时均流速不同，存在相对运动，所以各液层之间也存在粘性切应力，这种粘性切应力可用牛顿内摩擦定律表示，即

式中为时均流速梯度。其二，由于紊流中液体质点存在脉动，相邻液层之间就有质量的交换。低流速液层的质点由于横向运动进入高流速液层后，对高流速液层起阻滞作用；相反，高流速液层的质点在进入低流速液层后，对低流速液层却起推动作用。也就是质量交换形成了动量交换，从而在液层分界面上产生了紊流附加切应力：
（5-18）
现用动量方程来说明上式。如图5-13所示，在空间点处，具有和方向的脉动流速及。在时段内，通过的脉动质量为

图5-13

这部分液体的质量，在脉动分速的作用下，在水流运动方向的动量增量为

此动量增量等于紊流附加切应力的冲量，即

因此，紊流附加切应力

取时间平均值
（5-19）
就是单位时间内通过单位面积的脉动微团进行动量交换的平均值。
取微元体（图5-13b），以分析脉动速度和的关系。根据连续性原理，在时段内，若点处微小空间有质量自面流出，则必有质量自面流入，即
+＝0
于是
由上式可知，脉动流速和成比例。与总为正值。因此和符号相反。为使附加切应力以正值出现，在式（5-19）中加以负号，得
（5-20）
上式就是以脉动流速表示的紊流附加切应力的基本表达式。它表明紊流附加切应力与粘滞切应力不同，它与液体的粘滞性无直接关系，只与液体密度和脉动强弱有关，是由微团惯性引起的，因此又称为惯性切应力或雷诺应力。雷诺应力只是脉动反映在时均流动中的附加应力。
在紊流的时均流动中，由于质点的相对运动而引起的粘滞性应力仍然存在，所以全部应力是粘性应力与脉动的附加应力之和。即
（5-21）
上式两部分切应力的大小随流动情况而有所不同。在雷诺数较小时即脉动较弱，前者占主要地位。随着雷诺数的增加,脉动程度加剧，后者逐渐加大。到雷诺数很大时紊动已经很充分，粘性切应力与附加切应力相比甚小，前者可以忽略不计。
以上分析了紊流切应力的组成，并扼要地介绍了紊流附加切应力产生的力学原因。然而，脉动速度瞬息万变，由于对紊流机理还未彻底了解，式(5-18)不便于直接应用。目前主要采用半经验的办法，即一方面对紊流进行一定的机理分析，另一方面还得依靠一些具体的实验结果来建立附加切应力和时均流速的关系。这种半经验理论至今已提出了不少，最初有普兰特、然后有卡门和泰勒的学说。下面介绍德国学者普兰特(L.Prandtl)提出的混合长度理论。
普兰特学说借用气体分子运动中的自由程概念。设想在紊流里，质点被横向脉动流速运移某一个横向距离之后，这个质点才会在新的地点与四周的质点互相混合，从而失去它原来的特征（如动量等），结果使该质点具有与四周质点同样的特征。这个横向距离叫做自由运移长度。假设质点在原来位置时的时均流速为，经过距离以后，时均流速为这两个位置的时均流速之差

普兰特假定脉动速度与时均流速差成比例，即

引入比例系数，上式可写为

从式（5-20）可知与具有相同的数量级，但符号相反，再引入比例系数，可得

于是

令，得到紊流附加切应力的表达式为
（5-22）
此处，称为混合长度，但已没有直接物理意义。考虑到紊流中固体边壁或近壁处，液体质点交换受到制约而被减少至零，普兰特假定混合长度正比于质点到管壁的径向距离，即

式中，称为卡门通用常数，由实验决定，其值约等于0.4。
混合长度理论给出了紊流切应力和流速分布规律，但是推导过程不够严谨，尽管如此，由于这一半经验公式比较简单，计算所得结果又与实验数据能较好符合。所以至今仍然是工程上应用最广的紊流理论。
5.5.4 紊流的流速分布
紊流的流速分布可根据紊流混合长度理论来推导。为此假定壁面附近的紊流切应力值保持不变，并等于壁面上的切应力，即。于是式（5-22）可写成

因为经常出现在这类问题的分析中，同时又因它具有流速的量纲，所以设

称为摩阻流速（又称动力流速），将直接反映边界面上的切应力。由以上两式得

对上式进行积分，得流速分布公式如下
（5-23）
根据紊流的半经验理论得出了紊流流速分布公式。因为它是一个对数函数，所以也称为紊流对数流速分布式。它具有普遍意义，即可应用于任何的平面流动，只是常数c要根据具体流动情况用实验结果加以确定。普兰特的紊流理论虽有些近似的假定，但这个理论可以取得具有实用意义的定量结果，而且许多实测结果也符合式（5-22）的规律。
紊流流速分布规律很明显有一奇点，即当时，流速为无穷大。这一缺陷将通过引入粘性底层的概念加以解决。
5.5.5 圆管紊流流核与粘性底层
以圆管中的紊流为例，由于液体与管壁间的附着力，圆管中液流有一极薄层贴附在管壁上不动，即与边界相邻的质点粘附在边界壁面上而与边壁之间没有相对运动，因为如有相对运动则该处流速梯度为无穷大，边界上的粘滞切应力也为无穷大，所以不管Re多么大，固体边壁上液体质点的流速必为零。在紧靠管壁附近的液层流速从零增加到有限值，速度梯度很大，而管壁却抑制了其附近液体质点的紊动，混合长度几乎为零。因此，在该液层内紊流附加切应力可以忽略。在紊流中紧靠管壁附近存在粘性切应力起控制作用的这一薄层称为粘性底层(或层流底层)，如图5-14所示。在粘性底层之外的液流，统称为紊流流核。在这两液流之间，还存在着一层极薄的过渡层，因其实际意义不大，一般不予考虑。

图5-14

粘性底层厚度可由层流流速分布和牛顿内摩擦定律以及实验资料求得。由式（5-10）得知，当时有

（5-24）
其中，。由此可见，厚度很小的粘性底层中的流速分布近似为直线分布。
再由牛顿内摩擦定律得管壁附近的切应力为

利用，得

引入摩阻流速，则上式可写成

注意到是某一个雷诺数，当＜时为层流，而当时，为某一个临界雷诺数。实验资料表明＝11.6。因此

利用式（5-9），摩阻流速可改写为
（5-25）
将上式代入，得
（5-26）

式中 —— 圆管内流动的雷诺数；
—— 沿程阻力系数。
可见，当管径相同时，液体随着流动速度的增大、雷诺数变大，从而粘性底层变薄。
粘性底层的厚度虽然很薄，一般不到1，但它对水流阻力或水头损失有重大影响。因为任何材料加工的管壁，由于受加工条件限制和运用条件的影响，总是或多或少地粗糙不平。粗糙突出管壁的“平均”高度称为绝对粗糙度。当粗糙突出高度“淹没”在粘性底层中，如图5-15（a)所示，此时管壁的凸凹不平完全被粘性底层所覆盖，管壁粗糙度对紊流结构基本上没有影响，水流就象在光滑的管壁上流动—样，这种情况在水力学上称为“水力光滑管”，反之，当粗糙突出高度伸入到紊流流核中，如图5-15(b)所示，成为涡旋的发源地，从而加剧了紊流的脉动作用，水头损失也就较大，这种情况称为“水力粗糙管”。至于管道是属于“水力光滑管”还是属于“水力粗糙管”不仅决定于管道本身的绝对粗糙度，而且还取决于粘性底层厚度。所以从水力计算来讲，“光滑”或“粗糙”都没有绝对不变的意义，视与的比值而定。

图5-15

根据与的比值不同，紊流又可分为三个流区：
光滑区 ，或
过渡区 ＜＜，或5＜＜70
粗糙区 ＞，或
5.5.6 沿程水头损失的普遍公式
从圆管层流的讨论中已经知道，对水头损失起决定作用的有：流速、管径、密度和动力粘度。而在紊流流态中，在雷诺数Re较大的情况下管壁粗糙度也将对水流阻力及水头损失起重要作用。在等直径水平管道中，水头损失就是单位重量液体在流动过程中所消耗的压能

如将压强差及对它有影响的变量写成函数式
（、、、、、、）＝0
应用量纲分析可得

令
则上式可写成
（5-27）对于圆管水流，水力半径，代入上式得
（5-28）上述两个公式与层流水头损失计算公式相对照，可见公式结构是一致的，通称为达西（Darcy）公式。式中称为沿程阻力系数，圆管紊流的沿程阻力系数是雷诺数Re及管壁相对粗糙度的函数。达西公式是均匀流的普遍公式，对于层流、紊流、有压流及无压流均适用，是沿程水头损失计算的基本公式。
在计算水头损失的普遍公式中，管长、管径和流速都比较容易测定。因此关键问题在于如何确定沿程阻力系数。圆管层流的，下面主要讨论紊流的沿程阻力系数。
5.6紊流沿程损失的分析与计算
分析紊流的沿程水头损失比层流要复杂，目前还不能用纯理论分析得到解答。下面将以圆管紊流为例进行分析，所得的规律也适用于明渠流动。
5.6.1尼古拉兹实验曲线
紊流的边壁粗糙情况是千变万化的，目前还不能找出合适的衡量尺度来表示实际的边壁粗糙状况。为了便于分析研究，德国科学工作者尼古拉兹采用人工粗糙管进行研究。他用不同粒径的人工砂粒贴在不同直径的管道内壁上，以制成人工粗