导数和矢量运算.pptx
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1、1.1.1 导数导数1.1.2 导数的运算导数的运算1.1.3 单变量函数的微分单变量函数的微分1.1.4 积分积分附录附录 1.1 微积分简介微积分简介 积分积分例例 物体作匀速直线运动,路程速度物体作匀速直线运动,路程速度时间,时间,即即sv t。在在 v-t 图中,图中,路程路程 s 为阴影的为阴影的面积面积。例例 若物体作变速直线运动,速度若物体作变速直线运动,速度vv(t),可可以把以把 t 分成许多均等小段分成许多均等小段 t,只要,只要 t 充分小,每充分小,每段时间中的速率近似看成是不变的,把各小段时间中的速率近似看成是不变的,把各小段时间内走过的路程相加,即近似为总路程,段时
2、间内走过的路程相加,即近似为总路程,曲折的梯形曲线下的曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。面积即近似为总路程。当当 时时 ,右右边的极限值就是所求总路程:边的极限值就是所求总路程:上式可用积分形式表达:上式可用积分形式表达:定积分的上、下限、被积函数、积分变量定积分的上、下限、被积函数、积分变量即定积分形式。定积分的一般形式:即定积分形式。定积分的一般形式:几何意义几何意义:从从 0 到到 t 这段时间中这段时间中v(t)曲线下的曲线下的面积。面积。二、基本定理二、基本定理如果被积函数如果被积函数 f(x)是某一个函数是某一个函数 (x)的导数的导数,f(x)(x),则在,则在 xa 到到
3、xb 区间内区间内 f(x)对对x 的定积分等于的定积分等于(x)在这区间内的增量。在这区间内的增量。(x)称为称为原函数原函数 积分是导数的积分是导数的逆运算逆运算求求解解例例找找 的原函数的原函数:因为因为 故故:三、不定积分三、不定积分不定积分是不定出上、下限的积分,可写成不定积分是不定出上、下限的积分,可写成式中式中C 为常量,可根据具体问题所给的条件为常量,可根据具体问题所给的条件定出此常量定出此常量已知曲线的切线斜率为已知曲线的切线斜率为 若曲线经过点若曲线经过点 求此曲线方程求此曲线方程。例例(1)求曲线方程求曲线方程;解解(1)设曲线方程为设曲线方程为 已知已知故故不同的不同的
4、C 对应不同的曲线。对应不同的曲线。曲线经过点曲线经过点 把把 代代入入曲线方程,曲线方程,则曲线方程为则曲线方程为:四、基本积分公式四、基本积分公式一、一、矢量定义矢量定义二、矢量的合成二、矢量的合成附录附录 1.2 矢量矢量一、矢量定义一、矢量定义 物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。矢量的大小矢量的大小 矢量的模矢量的模 模等于模等于 1 1 的矢量的矢量 单位矢量单位矢量 需要以大小和方向表示的物理量需要以大小和方向表示的物理量 矢量,矢量,如:速度、加速度、力。如:速度、加速度、力。只有大小而无方向的量只有大小而无方向的量 标量,如:标量,
5、如:温度、质量、体积。温度、质量、体积。用图表示矢量用图表示矢量 用有向线段表示:用有向线段表示:长度表示其大小,箭头表示其方向。长度表示其大小,箭头表示其方向。矢量平移时大小和方向不变。矢量平移时大小和方向不变。二、矢量的合成二、矢量的合成1.三角形法则:三角形法则:余弦定理余弦定理 几何关系几何关系 若两个以上的矢量相加若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连所有的矢量首尾相连2.解析法解析法将矢量沿直角坐标轴分解,各分矢量叫分量将矢量沿直角坐标轴分解,各分矢量叫分量 只需用带正号或负号的代数值表示只需用带正号或负号的代数值表示 三、矢量的标积三、矢量的标积(点乘点乘)两矢量相乘得到一个标
6、量两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为标积。其定义为:投影投影根据标积定义根据标积定义 推论推论:(3)若若 两矢量垂直两矢量垂直 (4)直角坐标系的直角坐标系的单位矢量单位矢量 具有具有正交性正交性四、矢量的矢积四、矢量的矢积(叉乘叉乘)两矢量相乘得到一个矢量两矢量相乘得到一个矢量 矢积。写成:矢积。写成:若若 则则根据矢积定义根据矢积定义 推论推论:规定规定:若若 则则五、矢量的导数五、矢量的导数设矢量设矢量 为时间为时间t 的函数,规定其对时间的导数为的函数,规定其对时间的导数为:在直角坐标中,在直角坐标中,为常矢量为常矢量 一般情况下有以下性质:一般情况下有以下性质:六、矢量的积分六
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