信号与系统吴大正.pptx

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-1页电子课件电子课件 教材教材：吴大正等吴大正等.信号与线性系统分析信号与线性系统分析，高等教育出版社，高等教育出版社。参考资料参考资料：管致中等管致中等.信号与线性系统，高等教育出版社。信号与线性系统，高等教育出版社。郑君里等郑君里等.信号与系统信号与系统，高等教育出版社。，高等教育出版社。刘树棠译刘树棠译.信号与系统，西安交通大学出版社。信号与系统，西安交通大学出版社。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-2页电子课件电子课件信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-3页电子课件电子课件信号与线性系统分析信号与线性系统分析研究的问题研究的问题什么是信号？特征？研究方法？什么是信号？特征？研究方法？什么是系统？什么是系统？什么是系统？什么是系统？特征？研究方法？特征？研究方法？信号作用于系统产生什么响应？信号作用于系统产生什么响应？信号必定由系统产生、发送、传输与接收。信号必定由系统产生、发送、传输与接收。系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理。系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-4页电子课件电子课件课程地位：课程地位：信号与系统是理工科学生一门重要的专业基信号与系统是理工科学生一门重要的专业基础课。是许多专业（通信、电子、自动化、计算础课。是许多专业（通信、电子、自动化、计算机、系统工程等）的必修课，是我们将来从事专机、系统工程等）的必修课，是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础，是后续专业课（通业技术工作的重要理论基础，是后续专业课（通信原理、数字信号处理）的基础，也是上述各类信原理、数字信号处理）的基础，也是上述各类专业硕士研究生入学考试课程。专业硕士研究生入学考试课程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-5页电子课件电子课件课程应用：课程应用：通信领域通信领域 控制领域控制领域 信号处理信号处理 生物医学工程生物医学工程信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-6页电子课件电子课件信号处理目的：信号处理目的：对信号进行某种加工或变换。对信号进行某种加工或变换。消除信号中的多余内容；消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-7页电子课件电子课件课程特点：课程特点：应用应用数学知识数学知识较多，与电路分析关系密切，用数学工具较多，与电路分析关系密切，用数学工具分析物理概念。分析物理概念。常用数学工具：常用数学工具：微分、积分微分、积分(定积分、无穷积分、变上限积分）定积分、无穷积分、变上限积分）线性代数线性代数 解微分方程解微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换 差分方程求解差分方程求解,z 变换变换新工具：新工具：Matlab软件软件信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-8页电子课件电子课件课程要求：课程要求：提前提前5 5分钟进教室分钟进教室 要求预习和复习课程要求预习和复习课程 独立完成作业独立完成作业 多思考、多做习题多思考、多做习题信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-9页电子课件电子课件123456信号与系统的基本概念（3）离散系统的Z域分析（2）连续系统的时域分析（3）离散系统的时域分析（2）连续系统的频域分析（4）连续系统的S域分析（2）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-10页电子课件电子课件第一章第一章 信号与系统的基本概念信号与系统的基本概念1.1 信号的描述1.2 信号的分类1.3 信号的基本运算（重点）1.4 阶跃函数和冲激函数（难点）1.5 系统的描述1.6 系统的性质和分类1.7 LTI系统分析方法概述信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-11页电子课件电子课件1.1 信号的描述1.消息消息(message)通过某种方式传递的声音、文字、图像、符号等。2.信息信息(information)通常把消息中有意义的内容称为信息。信息的表现形态：数据、文字、声音、图像。3.信号信号(signal)信号是信息的载体，信息是信号的内容。信号是信息的载体，信息是信号的内容。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-12页电子课件电子课件 信号有各种不同的表现形式，如光、机械、声音等物理形式，在各种信号中电信号是最便于存储、传输、处理和再现的，应用也最广泛，在实际应用中，常通过各类传感器传感器将各种物理量信号转变为电信号。本课程主要讨论目前应用广泛的电信号。本课程主要讨论目前应用广泛的电信号。电信号的基本形式：电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。随时间变化的电压或电流。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-13页电子课件电子课件信号的特性：物理上：物理上：信号是信息寄寓变化的形式信号是信息寄寓变化的形式数学上：数学上：信号是一个或多个变量的函数信号是一个或多个变量的函数形态上：形态上：信号表现为一种波形信号表现为一种波形参数：参数：时间、位移、周期、频率、幅度、相位时间、位移、周期、频率、幅度、相位信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-14页电子课件电子课件1.2 信号的分类确定性信号和随机信号连续时间信号和离散时间信号（掌握）连续时间信号和离散时间信号（掌握）周期信号和非周期信号（掌握）周期信号和非周期信号（掌握）实信号和复信号能量信号和功率信号（掌握）能量信号和功率信号（掌握）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-15页电子课件电子课件 1.确定性信号和随机信号（a）（b）（c）（d）（e）本课程只讨论确定信号。本课程只讨论确定信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-16页电子课件电子课件 2.连续时间信号和离散时间信号 连续时间信号：连续时间信号：在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。这里的“连续”指函数的定义域时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。幅值连续幅值离散信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-17页电子课件电子课件 离散时间信号：离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，实际中也常称为数字信号。相邻离散点的间隔可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为 f(kT)，简写为f(k)或f(n)，这种等间隔的离散信号也常称为序列,其中k或n称为序号。0751431234561n)(nf12345670 1 2 3546 7-1-2n幅值连续幅值离散信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-18页电子课件电子课件模拟信号模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。抽样信号：抽样信号：时间离散的，幅值连续的信号。数字信号数字信号：时间和幅值均为离散的信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-19页电子课件电子课件 3周期信号和非周期信号周期信号周期信号(period signal)(period signal)：是定义在(-，)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续连续周期信号f(t)满足:f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散离散周期信号f(k)满足:f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期周期信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-20页电子课件电子课件T=4sN=5连续连续周期信号：周期信号：离散离散周期信号：周期信号：离散周期信号的周期只能为整数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-21页电子课件电子课件正弦信号：正弦信号：正弦序列：正弦序列：当为整数时，正弦序列才具有周期。当为有理数时，正弦序列仍具有周期性，其周期。当为无理数时，正弦序列不具有周期性。正弦序列周期性的判定：正弦序列周期性的判定：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-22页电子课件电子课件例例1:1:判断下列正弦序列是否为周期信号，若是，确判断下列正弦序列是否为周期信号，若是，确定其周期。定其周期。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-23页电子课件电子课件合成信号为周期信号的判别条件：合成信号为周期信号的判别条件：单个信号为周期信号；单个信号为周期信号；单个信号周期之比为有理数；单个信号周期之比为有理数；合成周期为各信号周期的最小公倍数。合成周期为各信号周期的最小公倍数。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-24页电子课件电子课件 例例2 2：判断下列信号是否为周期信号，若是，确判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期定其周期 （1 1）f1(t)=sin2t+cos3t （2 2）f2(t)=cos2t+sint 解：解：两个周期信号两个周期信号x(t)x(t)，y(t)y(t)的周期分别为的周期分别为T T1 1和和T T2 2，若其周期之比，若其周期之比T T1 1/T/T2 2为有理数，则其和信为有理数，则其和信号号x(t)+y(t)x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为仍然是周期信号，其周期为T T1 1和和T T2 2的最小公倍数。的最小公倍数。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-25页电子课件电子课件（1 1）sin2tsin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 1=2 ，T1=2/1=cos3t cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 2=3 ，T2=2/2=(2/3)由于由于T T1 1/T/T2 2=3/2=3/2为有理数，故为有理数，故f f1 1(t)(t)为周期信号为周期信号,其周期为其周期为T T1 1和和T T2 2的最小公倍数的最小公倍数22。（2 2）cos2t cos2t 和和sint 的周期分别为的周期分别为T T1 1=，T T2 2=2=2，由于由于T T1 1/T/T2 2=/2=/2 为无理数，故为无理数，故f f2 2(t)(t)为非周期信号为非周期信号。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-26页电子课件电子课件 例例3：判断序列判断序列f(k)=sin(3k/4)+cos(0.5k)是否为周期信号，若是，确定其周期。是否为周期信号，若是，确定其周期。解解：sin(3k/4)和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为:1=3/4 rad，2=0.5 rad 由于由于2/1=8/3，2/2=4为有理数，故它们为为有理数，故它们为周期信号，周期分别为周期信号，周期分别为N1=8，N2=4，且周期之比，且周期之比为有理数，故为有理数，故f(k)为周期序列，其周期为为周期序列，其周期为N1和和N2的的最小公倍数最小公倍数8。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-27页电子课件电子课件小结：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。期序列之和一定是周期序列。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-28页电子课件电子课件4.实信号和复信号 物理可实现的信号常常是时间t(或k)实函数（或序列），其在各时刻的函数（或序列）值为实数。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-29页电子课件电子课件 5.能量信号和功率信号 E代表信号能量，P代表信号功率。若信号若信号f(t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,则称其为则称其为能量能量有限信号有限信号，简称，简称能量信号能量信号。此时。此时 P=0。若信号若信号f f(t t)的功率有界，即的功率有界，即 P ,则称其为则称其为功率功率有限信号有限信号，简称，简称功率信号功率信号。此时。此时 E=。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-30页电子课件电子课件连续信号：连续信号：离散信号：离散信号：能量信号能量信号:E,P=0功率信号功率信号:P 0，k00，则f(t+t0)是将原信号f(t)沿负轴平移时间t0f(t-t0)是将原信号f(t)沿正轴平移时间t00402ttt0-t0t0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-42页电子课件电子课件 5.信号的尺度变换 以变量at(a为大于零的实常数)置换f(t)中的变量t,即得展缩信号f(at)。当0a时，它是f(t)沿时间轴展缩、平移后的信号波形；当a0）如图（a）所示，其波形如图（b）所示。延迟t0的单位阶跃信号信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-51页电子课件电子课件思考：思考：用阶跃函数的组合可以表示分段信号；用阶跃函数的组合可以表示分段信号；单位阶跃函数对其他函数有截除作用：单位阶跃函数对其他函数有截除作用：1信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-52页电子课件电子课件下列常用信号怎样用阶跃信号表示？斜变信号斜变信号信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-53页电子课件电子课件门函数（门函数（窗函数）窗函数）符号函数符号函数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-54页电子课件电子课件单位阶跃序列单位阶跃序列单位阶跃序列信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-55页电子课件电子课件单位矩形序列单位矩形序列一般地：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-56页电子课件电子课件斜变序列斜变序列斜变序列信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-57页电子课件电子课件单位阶跃信号和单位阶跃序列比较单位阶跃信号和单位阶跃序列比较单位阶跃信号单位阶跃序列信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-58页电子课件电子课件信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-59页电子课件电子课件例：写出下列波形对应的表达式信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-60页电子课件电子课件 冲激函数的定义和性质1.冲激函数定义冲激函数定义定义一：规则信号取极限定义一：规则信号取极限矩形脉冲求极限矩形脉冲求极限矩形面积不变，宽趋于0时的极限信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-61页电子课件电子课件若面积为若面积为k，则强度为，则强度为k。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-62页电子课件电子课件冲激函数可以由其他规则函数演变而来三角脉冲的极限双边指数脉冲的极限钟形脉冲的极限抽样脉冲的极限信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-63页电子课件电子课件定义二、狄拉克定义二、狄拉克(Dirac)(Dirac)函数函数函数值只在t=0时不为零，积分面积为1。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-64页电子课件电子课件2.冲激函数性质冲激函数性质偶函数：积分：筛选性质：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-65页电子课件电子课件尺度变换信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-66页电子课件电子课件 冲激偶函数的定义和性质1.冲激偶函数定义冲激偶函数定义冲激函数的导数为一对呈正负极性的冲激，且它们的强度为无穷大，这就是冲激偶信号，用表示。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-67页电子课件电子课件三角脉冲求导后再求极限信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-68页电子课件电子课件单位斜变信号、单位阶跃信号和单位冲激信号之间的关系单位斜变信号、单位阶跃信号和单位冲激信号之间的关系tO1OttO11Ot信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-69页电子课件电子课件2.2.冲激偶函数性质冲激偶函数性质奇函数积分筛选特性Ot信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-70页电子课件电子课件例例1：求下列各积分信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-71页电子课件电子课件 例例2：信号f(t)如图所示，写出其用阶跃函数表示的表达式，并求其导数，并画出波形。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-72页电子课件电子课件 例例3 3：计算下列各式：计算下列各式：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-73页电子课件电子课件信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-74页电子课件电子课件 1.5 系统的描述 由若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。系统分析的过程共分为四步，一是分析实际物理问题，二是建立数学模型，三是求出解答，四是给出结果的物理解释。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-75页电子课件电子课件即时系统（无记忆系统）：响应仅取决于激励，即电阻组成，用代数方程描述。动态系统（记忆系统）：相应与激励有关，而且与过去历史状态有关（初始条件）。含有记忆元件（电容、电感），由微分方程描述。本书主要讨论动态系统。系统的描述分为两种，一是数学模型，二是框图表示，并且两种描述可互换。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-76页电子课件电子课件一、系统的数学模型 连续系统的数学模型是微分方程。离散系统的数学模型是差分方程。连续系统连续信号连续信号离散系统离散信号离散信号信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-77页电子课件电子课件连续系统的数学模型激励：响应：对电容元件：对电感元件：Cui+-uiLRLC串联电路模型信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-78页电子课件电子课件由基尔霍夫电压定律（KVL）有：RLC串联电路模型信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-79页电子课件电子课件二、系统的框图表示1.加法器2.乘法器3.标量乘法器（数乘器，比例器）4.微分器5.积分器6.延时器信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-80页电子课件电子课件()()()tftfty21+=加法器乘法器标量乘法器（数乘器，比例器）AA信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-81页电子课件电子课件微分器积分器延时器信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-82页电子课件电子课件例1：某连续系统的框图如图所示，写出该系统的微分方程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-83页电子课件电子课件例2:某连续系统如图所示，写出该系统的微分方程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-84页电子课件电子课件信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-85页电子课件电子课件例3：某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-86页电子课件电子课件一一线性系统线性系统线性系统：指具有线性特性的系统。线性:指均匀性，叠加性。均匀性(齐次性):叠加性：1.6 系统的特性和分析方法信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-87页电子课件电子课件线性特性:HH()()tftf2211a aa a+H()()tyty2211a aa a+如果系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-88页电子课件电子课件例：判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?解：分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明:系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-89页电子课件电子课件设信号e(t)作用系统，响应为r(t),当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性则原方程两端乘A：(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性。证明均匀性：证明均匀性：信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-90页电子课件电子课件(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性。假设有两个输入信号 分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得证明叠加性证明叠加性:信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-91页电子课件电子课件二、时不变性系统二、时不变性系统如果系统的参数都是常数，它不随时间变化，则称该系统为时不变系统，否则称为时变系统。描述线性时不变系统的数学模型是常系数线性微分（或差分）方程，而描述线性时变系统的数学模型是变系数线性微分（或差分）方程。认识：认识：从方程看:系数是否随时间而变 电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 判断方法：判断方法：先时移，再经系统先经系统，再时移信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-92页电子课件电子课件时不变系统时不变系统LTI系统的时不变性信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-93页电子课件电子课件例例1：判断下列两个系统是否为非时变系统：判断下列两个系统是否为非时变系统系统的作用是对输入信号作余弦运算。系统的作用是对输入信号作余弦运算。此系统为时不变系统。此系统为时不变系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-94页电子课件电子课件此系统为时变系统。此系统为时变系统。系统作用系统作用:输入信号乘输入信号乘cos(t)例例2：判断如下系统是否为时不变系统：判断如下系统是否为时不变系统信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-95页电子课件电子课件例例3：判断系统：判断系统 是否为线性非时变系统？是否为线性非时变系统？先判断是否为线性系统？先判断是否为线性系统？可见：先线性运算，再经系统先经系统，再线可见：先线性运算，再经系统先经系统，再线性运算性运算,所以此系统是线性系统所以此系统是线性系统 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-96页电子课件电子课件再判断是否为时不变系统？再判断是否为时不变系统？可见：可见：时移、再经系统时移、再经系统经系统、再时移经系统、再时移 所以此系统是时变系统。所以此系统是时变系统。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-97页电子课件电子课件系 统系统利用线性和时不变可以证明微分特性和积分特性利用线性和时不变可以证明微分特性和积分特性微分性：微分性：积分性：积分性：利用线性证明，可推广至高阶。利用线性证明，可推广至高阶。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-98页电子课件电子课件三、因果性 因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的输出（响应）不会出现在输入信号激励系统以前的时刻。系统的这种特性称为因果特性。符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。判断方法：输出不超前于输入。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-99页电子课件电子课件 实际的物理可实现系统均为因果系统。非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-100页电子课件电子课件例：判断下列系统为是否为因果系统)2()()1()()()()2(2)1(3)()()()1(3)(tftykfkyifkykfkfkydftytftyzszskizszstzszs=+=-+-=-=-=-tt信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-101页电子课件电子课件四、稳定性 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其yf(.)则称系统是稳定的。例：yf(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；而 是不稳定系统。因为，当f(t)=(t)有界，当t时，它也，无界。信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-102页电子课件电子课件五、LTI系统分析方法概述 系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。系统的分析方法系统的分析方法：输入输出法（外部法）输入输出法（外部法）状态变量法（内部法）（状态变量法（内部法）（chp.8)chp.8)外部法外部法时域分析（时域分析（chp.2,chp.3)chp.2,chp.3)变换域法变换域法连续系统连续系统频域法频域法(4)(4)和复频域法和复频域法(5)(5)离散系统离散系统z z域法（域法（chp6)chp6)系统特性系统特性：系统函数（：系统函数（chp.7)chp.7)