三角函数的图像与性质知识点与题型归纳解读.doc

●高考明方向
1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，
了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、
最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数
在区间内的单调性．

★备考知考情
　三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.

一、知识梳理《名师一号》P55
知识点

二、例题分析：
（一）三角函数的定义域和值域
例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3
函数y＝lg(sinx)＋ 的定义域为____________

解析　要使函数有意义必须有
即解得
(k∈Z)．
∴2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z.
∴函数的定义域为{x|2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z}．

例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1)
函数y＝的定义域为________．

解:(1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示．

结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，
函数的定义域为.

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法
(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．
一般可用三角函数的图象或三角函数线确定
三角不等式的解．

例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4
函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－

解:∵0≤x≤9，∴－≤x－≤.
∴sin∈.
∴y∈[－，2]，∴ymax＋ymin＝2－.

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2
求三角函数的值域的常用方法之一：
利用sinx和cosx的值域(图像)直接求；

例2．（2）8月月考第17题(1)
17． （满分12分）已知函数
．
（I）当时，求的值域；

………2分
…………3分
时，，……4分
， ……5分
，
即的值域为. …………………6分

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2
求三角函数的值域的常用方法之二：
化为求的值域
合一变换
如：①

降幂
②

合一变换

注意弦函数的有界性！

变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1
若函数f(x)＝asinx－bcosx在x＝处有最小值－2，则常数a，b的值是(　　)
A．a＝－1，b＝ B．a＝1，b＝－
C．a＝，b＝－1 D．a＝－，b＝1

解:函数f(x)＝asinx－bcosx的最小值为－.
f(x)＝sin(x－φ)
，
则解得

【名师点评】　解答本题的两个关键：
①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；
②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．

例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)
当x∈时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值
是________，最大值是________．

解:∵x∈，∴sinx∈.
又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)
＝22＋.
∴当sinx＝时，ymin＝；
当sinx＝－或sinx＝1时，ymax＝2.

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2
求三角函数的值域的常用方法之三：
把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．

练习: (补充)
（1）求函数的值域

【答案】

（2）求函数的值域

【答案】

注意：求三角函数的值域的常用方法之三：
求三角函数的值域的常用方法：
化为求代数函数的值域
注意约束条件----三角函数自身的值域！

例2．（4）(补充)
求函数的值域

【答案】
注意：求三角函数的值域的常用方法之四：
《名师一号》P56 问题探究 问题3
如何求三角函数的值域或最值？
③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(或最值)．
利用转化为二次函数在指定区间
上的值域问题

变式:
求函数的值域

例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域
7．数形结合法： 例7(2)
《名师一号》P14 问题探究 问题（6）
当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．
(补充)如两点间距离、直线斜率等等

求函数的值域

解:可视作单位圆外一点与圆上的点所连线段斜率的2倍,设过点的点的直线方程为
即
令解得或
答案：

注意：求三角函数的值域的常用方法之五：
数形结合法

练习：求函数的值域

答案：
变式：求函数的值域

答案：

拓展:8月月考第16题
函数的最大值是，最小值是，则的值是 .

，记，则是奇函数且，所以的最大值是，
最小值是，因为是奇函数，
所以，
所以.

（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5
设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

答案　B

例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）
(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，
③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③

解：由于y＝cos|2x|＝cos2x，所以该函数的周期为＝π；由函数y＝|cosx|的图象易知其周期为π；函数y＝cos的周期为＝π；函数y＝tan的周期为，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.

注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1
如何求三角函数的周期？
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：
y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2
函数f(x)＝sin＋sinωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________

【规范解答】　相邻两对称轴之间的距离为2，即T＝4.
f(x)＝sin＋sinωx＝sinωx＋cosωx＋sinωx＝sinωx＋cosωx＝sin，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T＝4，所以＝4，即ω＝.

注意：【名师点评】　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．

练习:《加加练》P3 第11题

例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）
(1)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，
则φ＝(　　)
A. B. C. D.

解：　(1)∵f(x)＝sin是偶函数，
∴f(0)＝±1.
∴sin＝±1，∴＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.

变式：若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？

例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）
(3)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点
中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.

解：(3)由题意得
3cos＝3cos
＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.

注意：【规律方法】　
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
《名师一号》P56 问题探究 问题4
如何确定三角函数的对称轴与对称中心？
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，
则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，
则当x＝0时，f(x)＝0.
如果求f(x)的对称轴，
只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x.
(补充)结果写成直线方程！
如果求f(x)的对称中心的横坐标，
只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
(补充)结果写点坐标！
同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，
对于y＝Atan(ωx＋φ)可求出对称中心．

练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3
已知f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)为偶函数，则φ的值为________．

【规范解答】　先求出f(x＋φ)的解析式，然后求解．
∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin.
∴f(x＋φ)＝2sin.
∵函数f(x＋φ)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ(k∈Z)．
又∵|φ|≤，∴φ＝.

练习2：《计时双基练》P247 第3题

（四）三角函数的单调性
例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6
下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos

解析　由函数的周期为π，可排除C，D.
又函数在上为减函数，排除B，故选A.

练习1：《计时双基练》P247 第7题
函数的单调递减区间为
练习2:《加加练》P1 第11题

（2）《名师一号》P57 高频考点 例2
已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

解：(1)f(x)＝4cosωx·sin＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减．

注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2
如何求三角函数的单调区间？
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．
(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4
　(2014·全国大纲卷)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间是减函数，则a的取值范围是________．

【规范解答】　先化简，再用换元法求解．
f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx.
令t＝sinx，∵x∈，
∴t∈.
∴g(t)＝1－2t2＋at＝－2t2＋at＋1，
由题意知－≤，∴a≤2.
∴a的取值范围为(－∞，2]．

课后作业
一、计时双基练P247 基础1-11、
课本P56变式思考1
二、计时双基练P247培优1-4
课本P56变式思考2、3
预习 第五节

练习：
1、设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D.
分析：∵f(x)的最大值为2，最小值为－2，
∴对∀x∈R，－2≤f(x)≤2.
取到最值时x＝＋kπ，|x1－x2|取最小值，即f(x1)为最小值，f(x2)为最大值且(x1，f(x1))，(x2，f(x2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．
解析：f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.
故选B.
2、为了使函数在区间上至少出现50次最大值，求的最小值。
3、（12天津文7）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是

特殊情况---三角函数的奇偶性
例2 (补充)（1）（08. 江西）函数是（ ）
A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数
C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数

【答案】A
（07年辽宁理）
已知函数

（其中）
（I）求函数的值域；
（II）若对任意的，函数，
的图象与直线有且仅有两个不同的交点，
试确定的值（不必证明），并求函数
的单调增区间．

答案：（I）
（II）
变式：求函数
的单调增区间．

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读书的好处

1、行万里路，读万卷书。
2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
3、读书破万卷，下笔如有神。
4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文
5、少壮不努力，老大徒悲伤。
6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿
7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
8、读书要三到：心到、眼到、口到
9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。
10、一日无书，百事荒废。——陈寿
11、书是人类进步的阶梯。
12、一日不读口生，一日不写手生。
13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基
14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游
15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德
16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿
17、学习永远不晚。——高尔基
18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向
19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子
20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。——培根