2边缘分布.pptx

2 2 边缘分布边缘分布边缘分布函数边缘分布函数边缘分布律边缘分布律边缘概率密度边缘概率密度第三章 随机变量及其分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数(marginal distributions)第三章 随机变量及其分布2 边缘分布二维联合分布(joint distributions)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律。而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.边缘分布也称为边缘分布也称为边沿分布边沿分布或或边际分布边际分布1.边缘分布的定义：边缘分布的定义：2.已知联合分布函数求边缘分布函数已知联合分布函数求边缘分布函数第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的分布函数为的分布函数为则分量则分量 X()xFX xXP=+=YxXP，()+=，xF的分布函数为的分布函数为同理，分量同理，分量Y()yFY yYP=yYXP+=，()yF，+=例例1第三章 随机变量及其分布2 边缘分布()-=，xF0()yF，-=0=解：解：()的联合分布函数为的联合分布函数为，设二维随机变量设二维随机变量YX第三章 随机变量及其分布2 边缘分布由以上三式可得，由以上三式可得，2212p pp pp p=CBA +=3arctan22arctan21),(2yxyxFp pp pp p则则的边缘分布函数为的边缘分布函数为X()()=，xFxFX +=+3arctan22arctan21lim2yxyp pp pp p +=2arctan21xp pp p()()+-，x第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的边缘分布函数为的边缘分布函数为同理，同理，Y()()yFyFY，=+=+3arctan22arctan21lim2yxxp pp pp p +=3arctan21yp pp p()()+-，y二、已知联合分布律求边缘分布律二、已知联合分布律求边缘分布律第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的分布律：的分布律：现求随机变量现求随机变量 X ii xXPp=.的分布律为：的分布律为：同理，随机变量同理，随机变量Y ,jiijyYxXPp=，第三章 随机变量及其分布2 边缘分布例例 2第三章 随机变量及其分布2 边缘分布()分布律分布律各自的边缘各自的边缘及及的联合分布律与的联合分布律与，试求试求，记为记为中随机地取出一个数，中随机地取出一个数，到到再从再从，记为记为个数中随机取出一个个数中随机取出一个，这这，从从YXYXYXX144321的可能取值都是的可能取值都是与与4321YX时，时，当当ji jYiXPpij=，时，由乘法公式，得时，由乘法公式，得当当ji 解：解：jYiXPpij=，iXjYPiXP=i41i141=*=而且而且YX 第三章 随机变量及其分布2 边缘分布=.iijjpp及及=.jijipp再由再由()的边缘分布律为的边缘分布律为及及与与，可得可得YXYX例例3 掷一枚骰子，直到出现小于掷一枚骰子，直到出现小于5点为止。点为止。X 表示最后一次掷出的点数，表示最后一次掷出的点数，Y 为掷骰子的次数。为掷骰子的次数。求：求：随机变量（随机变量（X,Y)的联合分布律及的联合分布律及 X、Y 的边的边缘分布律。缘分布律。解：解：X 的可能取值为的可能取值为1，2，3，4Y 的可能取值为的可能取值为1，2，3，(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为第三章 随机变量及其分布2 边缘分布X 的边缘分布律为的边缘分布律为Y 的边缘分布律为的边缘分布律为第三章 随机变量及其分布 =1.jijipp三、已知联合密度函数求边缘密度函数三、已知联合密度函数求边缘密度函数第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的边缘密度函数：的边缘密度函数：求随机变量求随机变量X()-+-=xdudyyuf，()xXPxFX=由由()+=，xF()xfX(),(y xfYX的联合密度函数为的联合密度函数为，二维连续型随机变量二维连续型随机变量第三章 随机变量及其分布2 边缘分布同理，由同理，由()yYPyFY=()-+-=ydvdxvxf，()yF，+=二维均匀分布二维均匀分布Dxy2 边缘分布第三章 多维随机变量及其分布A=面积面积二维均匀分布几何意义二维均匀分布几何意义Dyx2 边缘分布第三章 多维随机变量及其分布():上的均匀分布，则上的均匀分布，则服从区域服从区域，如果二维随机变量如果二维随机变量DYX例例 4yoy=xy=x21D第三章 随机变量及其分布2 边缘分布()()各自的边缘密度函数各自的边缘密度函数、的联合密度函数及的联合密度函数及，试求随机变量试求随机变量上的均匀分布上的均匀分布服从区域服从区域，随机变量随机变量所围，所围，及直线及直线是由抛物线是由抛物线区域区域YXYXDYXxyxyD=21yoy=xy=x2xD第三章 随机变量及其分布2 边缘分布解：解：区域区域D的面积为的面积为所以，二维随机变量所以，二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为的联合密度函数为yoy=xy=x21 x第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的边缘密度函数为的边缘密度函数为随机变量随机变量X时，时，当当10 x所以，所以，yo1x第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的边缘密度函数为的边缘密度函数为同理，随机变量同理，随机变量Y时，时，当当10 x的边缘密度函数为的边缘密度函数为所以，所以，X第三章 随机变量及其分布2 边缘分布 当当y0时时的边缘密度函数为的边缘密度函数为所以，所以，Y二维正态分布二维正态分布2 边缘分布第三章 多维随机变量及其分布()()的正态分布，记作，服从参数为，则称随机变量,rYX222121ssmm()()r rNYX222121s ss sm mm m，.11 -r r()的密度函数为，二维随机变量设YX()()()()()()-+-=22222121212122212121exp121s sm ms ss sm mm ms sm ms spspsyyxr rxr rr ryxf，例例 6 设二维随机变量设二维随机变量X，Y服从二维正态分布服从二维正态分布第三章 随机变量及其分布2 边缘分布的边缘密度函数的边缘密度函数及及试求试求YXX,Y的联合密度函数为的联合密度函数为解：解：第三章 随机变量及其分布2 边缘分布同理有同理有 上述的，边缘分布与二维正态分布中上述的，边缘分布与二维正态分布中的参数的参数r r无关。无关。结结 论论 2:第三章 随机变量及其分布2 边缘分布通过本题，我们有以下几条结论：通过本题，我们有以下几条结论：结结 论论 1:二维正态分布的边缘分布是一维正态分布二维正态分布的边缘分布是一维正态分布结结 论论 3:第三章 随机变量及其分布2 边缘分布说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然，即：不能由边缘分布确定联合分布。然，即：不能由边缘分布确定联合分布。()()的分布不相同，的分布不相同，与与，则则2211YXYX的分布相同的分布相同与与21YY的分布相同，的分布相同，与与但是但是21XX第三章 随机变量及其分布2 边缘分布小结：小结：1.二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边 缘分布确定联合分布。缘分布确定联合分布。2.二维正态分布的性质二维正态分布的性质难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘 密度不为零的范围。密度不为零的范围。习题：习题：P.104:3、4、5、6