第五章：机械振动201146.pptx

1本本章章重点重点:1、掌握、掌握简谐振动的概念、运动学和动力学方程简谐振动的概念、运动学和动力学方程。2 2、掌握掌握简谐振动的合成简谐振动的合成.3 3、了解阻尼振动、受迫振动和共振了解阻尼振动、受迫振动和共振.2345 弹簧振子的振动弹簧振子的振动6一、一、简谐振动的动力学特征：简谐振动的动力学特征：（重点）（重点）1、弹簧振子（理想模型）：弹簧振子（理想模型）：质量可忽略的弹簧，一质量可忽略的弹簧，一 端固定，一端系一有质量的物体。端固定，一端系一有质量的物体。X0 x令令72、单摆、单摆：（1）细线质量不计细线质量不计（2）阻力不计）阻力不计mgT83 3、简谐振动的普遍定义：任何物理量的变化规律只、简谐振动的普遍定义：任何物理量的变化规律只要满足要满足 且且取决于系统本身的性质。取决于系统本身的性质。二、二、简谐振动的运动学方程：简谐振动的运动学方程：（重点）（重点）1 1、运动学方程：、运动学方程：92 2、简谐运动的速度和加速度：、简谐运动的速度和加速度：103 3、振振 动动 曲曲 线：线：t A-AAttA2114、描述、描述简谐振动简谐振动的特征量：的特征量：（重点）（重点）（1 1）振幅）振幅 A A：作谐振动物体离开平衡位置的最大距离。作谐振动物体离开平衡位置的最大距离。（2 2）周期、频率：周期、频率反应振动的快慢。）周期、频率：周期、频率反应振动的快慢。周期：物体作一次完全振动所需的时间。周期：物体作一次完全振动所需的时间。频率：单位时间谐振动完成振动的次数。频率：单位时间谐振动完成振动的次数。12弹簧振子：弹簧振子：单摆：单摆：13（3 3）相位、初相：相位表征任意时刻）相位、初相：相位表征任意时刻t t振子的运动状态，初振子的运动状态，初 相表征初始时刻振子的运动状态。相表征初始时刻振子的运动状态。初相位初相位相位相位由运动学方程由运动学方程可得可得当当t=0时时14 简谐运动的判断（满足其中一条即可）简谐运动的判断（满足其中一条即可）2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述1 1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置弹簧振子弹簧振子单摆单摆（由振动系统本身性质决定）（由振动系统本身性质决定）简谐运动的特征简谐运动的特征3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述（在无外驱动力的情况下）（在无外驱动力的情况下）15（4 4）相位差：）相位差：=(=(2 2 t+t+2 2)-()-(1 1 t+t+1 1)对两同频率的谐振动对两同频率的谐振动 =2 2-1 1当当 =2 2k k ,(,(k k=0,1,2,=0,1,2,),),两振动步调相同两振动步调相同,称同相称同相当当 =(2(2k k+1)+1),(k k=0,1,2,=0,1,2,),),两振动步调相反两振动步调相反,称反相称反相 。16同步同步 对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们间的简谐运动，相位差表示它们间步调步调上的上的差异差异.（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）0及及0 超前超前落后落后反相反相17例例1：证明匀速圆周运动在：证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动轴上的分量是一简谐振动证明：证明：18例例2：已知：已知A=0.12m，T=2s。当当t=0时，时，x0=0.06m，此时，此时，质点沿质点沿x轴正向运动。轴正向运动。求：求：1）谐振动方程）谐振动方程 2）当）当t=2s时，质点的位置、速度、加速时，质点的位置、速度、加速度度解：解：1）因）因T=2s。于是于是即即考虑到考虑到t=0时时19例例3：两个轻弹簧与物体相连，如图所示，弹簧的劲度系数分两个轻弹簧与物体相连，如图所示，弹簧的劲度系数分别为别为k1和和k2，物体的质量为，物体的质量为m。若不考虑任何摩擦，该系统的振。若不考虑任何摩擦，该系统的振动周期是多少？动周期是多少？解：解：两个弹簧对物体的总作用力为两个弹簧对物体的总作用力为 20火车的危险速率与轨长火车的危险速率与轨长 例例 车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动车厢受迫振动 当车速达某一速率时（使撞击频率与车当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率率 设车厢总负荷为设车厢总负荷为 m=5.5104 kg，车厢弹簧每受力车厢弹簧每受力F=9.8 103 N 被压缩被压缩 x=0.8 mm，铁轨长铁轨长 L=12.6 m，求求 危险速率危险速率21 已知已知：m=5.5104 kg；受力受力F=9.8 103 N，压压缩缩 x=0.8 mm；铁轨长铁轨长 L=12.6 m，mk解：解：长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动22 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）四四.旋转矢量法旋转矢量法（重点）（重点）23特点特点:直观方便直观方便.xo t+xtt=0 va240例例 用旋转矢量法求初相位用旋转矢量法求初相位25P P141141 习题习题:5-1:5-1题、题、5-25-2题、题、5-35-3题题.26 例例4 4 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 .（1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程；（3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.（2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；0.0527解解 （1）由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知28解解 由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）（2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；29解解 （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，而处时速度不等于零，而是具有向右的初速度是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知30 例例5 5 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求 （1 1）时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；解解31代入代入32代入上式得代入上式得33 （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间.解解法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所需处所需要的最短时间为要的最短时间为34解法二解法二起始时刻起始时刻 时刻时刻35X0 x动能动能势能势能五、简谐振动的能量：五、简谐振动的能量：（重点）（重点）结论：弹簧振子的总能量是守恒的。结论：弹簧振子的总能量是守恒的。1.简谐振动的总能量：简谐振动的总能量：36简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变372.简谐振动的平均能量：简谐振动的平均能量：(了解）了解）弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能结论：谐振子的平均动能、平均势能等于总能量的一半结论：谐振子的平均动能、平均势能等于总能量的一半38 例例6 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；解解:39时，时，由由（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？40方法方法1：三角函数法：三角函数法结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动六、简谐振动的合成六、简谐振动的合成1 1、两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成 (掌握掌握)41两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动方法方法2：旋转矢量法旋转矢量法（掌握）（掌握）421 1）相位差相位差 讨论讨论432 2）相位差相位差443 3）一般情况一般情况2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱45P P142142 习题习题:5-4:5-4题题.46例例7 已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为 求求:(1)合振动的振幅及初相；（合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向同频率的）若有另一同方向同频率的简谐运动简谐运动 则则为多少为多少时，时，x1+x3的振幅最大？又的振幅最大？又为多少时，为多少时，x2+x3的振幅最小？的振幅最小？解解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量）作两个简谐运动合成的旋转矢量图。因为图。因为=2-1=-/2，故合振动振幅为故合振动振幅为xA1A2o21A合振动初相位合振动初相位47（2）要使）要使x1+x3振幅最大，即两振动同相，则由振幅最大，即两振动同相，则由 =2k 得得要使要使x2+x3的振幅最小，即两振动反相，则由的振幅最小，即两振动反相，则由=(2k+1)得得3=1+2k=2k+0.75，k=0,1,2,3=2+(2k+1)=2k +1.25，k=0,1,2,482 2、两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成(了解）了解）频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍.49初相位、振幅相同，振动频率分别为初相位、振幅相同，振动频率分别为200200HzHz、300Hz300Hz的两个简谐振动合成结果的两个简谐振动合成结果503 3、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成(了解）了解）质点运动轨迹质点运动轨迹1 1）或或 （椭圆方程）（椭圆方程）讨论讨论512 2）3 3）52用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图53简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差545 5、两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成(掌握应用掌握应用)测量振动频率测量振动频率和相位的方法和相位的方法李李 萨萨 如如 图图55三种阻尼的比较三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线阻尼振动位移时间曲线 b b）过阻尼过阻尼 a a）欠阻尼欠阻尼 c c）临界阻尼临界阻尼七、七、阻尼阻尼振动振动(了解）：了解）：56八、受迫振动八、受迫振动(了解）：了解）：驱动力驱动力驱动力的角频率驱动力的角频率57共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼共振频率共振频率共振振幅共振振幅阻尼阻尼八、八、共共振振(了解）：了解）：58美国塔科马大桥的坍塌美国塔科马大桥的坍塌 59应用应用防止防止钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；收音机利用电磁共振进行选台；收音机利用电磁共振进行选台；核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。诊断等。改变系统的固有频率或外力的频率；改变系统的固有频率或外力的频率；破坏外力的周期性；破坏外力的周期性；增大系统的阻尼；增大系统的阻尼；对精密仪器使用减振台。对精密仪器使用减振台。60小小 结结1、简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程：2 2、简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程：重点重点重点重点3、描述、描述简谐振动简谐振动的特征量：的特征量：（重点）（重点）4、简谐振动的能量特点：、简谐振动的能量特点：（重点）（重点）615 5、旋转矢量法：、旋转矢量法：（重点）（重点）6、同方向同频率的简谐振动的合成、同方向同频率的简谐振动的合成（重点）（重点）62作业：作业：P P142142页页第第5-55-5题题,第第5-11题、第题、第5-12题、题、第第5-155-15题，题，第第5-20题题，小结本章，小结本章.预习：第六章：波动预习：第六章：波动635-11 质量为质量为 的物体沿的物体沿 轴作简谐运动，振幅轴作简谐运动，振幅为为 ，周期，周期 ，时物体的位移时物体的位移为为 ，且物体朝，且物体朝 轴负方向运动，求轴负方向运动，求:（1）时物体的位移；时物体的位移；（2）时物体受的力；时物体受的力；（3）之后何时物体第一次到达之后何时物体第一次到达 处；处；（4）第二次和第一次经过）第二次和第一次经过 处的时间间隔。处的时间间隔。解：由题给出条件画出解：由题给出条件画出 时该时该简谐运动的旋转矢量图如图简谐运动的旋转矢量图如图可知初相可知初相为为64则简谐运动方程为则简谐运动方程为（1）时物体的位移时物体的位移（2）时物体受的力时物体受的力65（3）物体第一次到达）物体第一次到达 处处的旋转矢量的旋转矢量 如图所示如图所示与与 的相位差为的相位差为 则则（4）物体第）物体第二二次到达次到达 处处的旋转矢量的旋转矢量 如图所示如图所示与与 的相位差为的相位差为 66解：（解：（1）5-12 一一质点质点简谐运动振幅为简谐运动振幅为 ，其其速度与时间的关速度与时间的关系曲线系曲线如图所示。如图所示。求：（求：（1）振动周期；（）振动周期；（2）加速度）加速度的最大值；（的最大值；（3）运动方程。）运动方程。（2）（3）或或质点沿质点沿 轴正向向平衡位置运动轴正向向平衡位置运动且且速率越来越大，速率越来越大，其旋转矢量图如图其旋转矢量图如图运动方程为运动方程为取取675-15 如图，质量为如图，质量为 的子弹，以的子弹，以 的的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为作简谐运动。设木块的质量为 ，弹簧的劲度系，弹簧的劲度系数为数为 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为标原点，向左为 轴正向，求简谐运动方程。轴正向，求简谐运动方程。解：振动系统的角频率为解：振动系统的角频率为由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度的值为同运动初速度的值为 mMv068又因初始位移又因初始位移 ，则振动系统的振幅为，则振动系统的振幅为弹簧振子的旋转矢量图弹簧振子的旋转矢量图如图如图，可知初相位，可知初相位为为则简谐运动方程为则简谐运动方程为695-20 两个同频率简谐振动两个同频率简谐振动1和和2的振动曲线如图所示，的振动曲线如图所示，求：求：（1）两简谐振动的运动方程）两简谐振动的运动方程x1和和x2；（2）在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量，并比）在同一图中画出两简谐振动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；较两振动的相位关系；（3）若两简谐振动叠加，求合振动的运动方程。）若两简谐振动叠加，求合振动的运动方程。70解：图中可以直接得到振动的振幅和周期，可以通解：图中可以直接得到振动的振幅和周期，可以通过初始条件确定两个简谐振动的初相位过初始条件确定两个简谐振动的初相位（1）由振动曲线可知，）由振动曲线可知，振幅为：振幅为：周期为：周期为：71旋转矢量法？旋转矢量法？曲线曲线1：曲线曲线1的运动方程为：的运动方程为：72旋转矢量法？旋转矢量法？曲线曲线2：曲线曲线2的运动方程为：的运动方程为：73（2）由振动曲线可以画出旋转矢量图）由振动曲线可以画出旋转矢量图可知振动可知振动2超前振动超前振动1的相位为的相位为74（3）合振动的运动方程为：）合振动的运动方程为：合振动的运动方程为：合振动的运动方程为：