计算机控制技术第7章ppt课件(全).ppt

,第7章 数字控制器的离散化设计方法,7.1,数字控制器的离散化设计方法,7.2,最小拍有波纹控制系统的设计,7.3,Z变换,7.4,7.5,最小拍无波纹控制系统的设计,控制算法在计算机上的实现,1/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,2/57,7.1 Z变换,线性系统的动态特性可用常系数线性微分方程来描述，并且可以用拉氏变换来分析它的暂态特性和稳态控制精度。计算机控制系统属于离散系统，输入与输出之间的关系可用差分方程来描述，用Z变换解差分方程，用脉冲传递函数对离散系统的暂态和稳态进行分析。Z变换是研究离散系统的重要数学工具。,7.1.1 采样函数的拉氏变换,（7-1）,（7-2）,第7章 数字控制器的离散化设计方法,3/57,7.1.2 采样函数的Z变换,式(7-2)中，s在指数里，给运算带来许多困难。为此引进新的复变量z，令 z=eTs,于是，式(7-2)变为,F(z)称为采样函数 的Z变换，记作：,一般，采样函数的变量直接采用k表示，即 ，记作 ，所以,（7-3）,（7-4）,注意以下几点：,第7章 数字控制器的离散化设计方法,4/57,（1） 只有采样函数 f*(t)才能定义Z变换。（2） Z变换和离散序列之间有着非常明确的“幅值”和“定时”对应关系。（3） Z变换由采样函数决定的，它反映不了非采样时刻的信息。 在图7-1中 ， f(t)与g(t) 是两个不同的连续函数，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(z) 等于G(z) 。,0,图7-1 采样值相同的两个不同的连续函数,第7章 数字控制器的离散化设计方法,5/57,解 令 f(t)=l(t)，则,当|z|1 时，上式所示的无穷级数收敛,（7-8）,由于Z变换仅是描述采样时刻的特性，所以Z的反变换只能求出采样函数脉冲序列的表达式，而不能求出它的连续函数的时间表达式。与连续函数的拉氏反变换表示法类似，Z反变换用如下符号表示,例7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。,第7章 数字控制器的离散化设计方法,6/57,表7-1 常用函数Z变换表,第7章 数字控制器的离散化设计方法,7/57,7.1.3 Z变换的性质,1线性定理 对于任何常数 和 ，若 ，有等式,（7-9）,2. 延迟定理,若,则,即离散信号在时域内延迟T，则其Z变换应乘以z-1，所以z-1可看作是滞后一个采样周期的算子。,3. 超前定理,若,则,（7-11）,（7-10）,第7章 数字控制器的离散化设计方法,8/57,特殊地，如果初始值为零，即,（7-12）,由此，可以进一步明确算子 的物理意义：在满足初始条件为零的前提下， 代表超前一个采样周期。,4. 复位移定理,（7-13）,5. 复微分定理,（7-14）,6. 初值定理,若则,（7-15）,第7章 数字控制器的离散化设计方法,9/57,7. 终值定理,若则,（7-16）,表7-2 Z变换重要性质,第7章 数字控制器的离散化设计方法,10/57,7.1.4 用Z变换解线性常系数差分方程,1. 差分方程,在连续控制系统中遇到的都是连续信号，描述它们的内在规律采用微分方程。,设系统原为一阶环节，其微分方程形式的数学模型为,传递函数为,（7-17）,如图7-2（a）所示。,（a）,（b）,图7-2 连续系统和离散系统,第7章 数字控制器的离散化设计方法,代入式(7-17)，即得,或,（7-18）,即,即为所求的离散系统的差分方程。,2. 用Z变换法解线性常系数差分方程,例 7-5 用Z变换解下列差分方程,解的过程是先将差分方程经Z变换后成为Z的代数方程，然后 求出未知序列的Z表达式C(z) ,最后查Z变换表或用其它方法求得,11/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,初始条件为：,解 对上式进行Z变换得,代入初始条件，并解得,查表得,7.1.5 Z反变换,1长除法,在“t”域中的采样函数f*(t)和“Z”域中的Z变换F(z)之间，有着明确的一一对应关系。因此，只要将 F(z)的解析式展开成关于,12/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,z-1的幂级数，则F(z)中相应于z-k的系数，就是f*(t)在第k个采样时刻的值f(k) 。,例7-6 设 ,求f*(t),解,13/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,故,其反变换为,也可写为,式中,3. 留数法 实际遇到的Z变换式F(z)，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时可以用留数法求Z反变换比较合适。对有理分式也使用。,已知Z变换式F(z)，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算,（7-19）,15/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,其中的积分曲线C是包围原点的反时针封闭曲线，它包围F(z)zk-1 所有的极点。根据柯西留数定理，上式可以表示为,（7-20）,n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。,（7-21）,所以,7.1.6 扩展Z变换,前面各节所讨论的Z变换，只处理采样时刻的信息，无法求出控制系统的输出量或某个环节的输出量在两次采样之间的过渡过程；另外，控制对象往往包含延迟环节，如果延迟时间是采样周期的整数倍，可以借助延迟定理处理。但是,16/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,图7-5 例7-5计算采样瞬间之间的输出响应的方块图,（a）没有延迟,(b)产生延迟,图7-6 输出 产生延迟,19/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,图7-8 采样控制系统的结构图,则，闭环系统的脉冲传递函数为：,（7-27）,系统的设计目标，是设计一个数字控制器的脉冲传递函数 D(z)，利用它来控制被控对象，达到期望的性能指标。,由 解得 为,（7-28）,21/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,7.3 最小拍有波纹控制系统设计,最小拍系统，是指系统在典型的输入信号作用下能在最少个采样周期内达到稳态无静差的系统。,23/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,1）单位阶跃输入,（7-31）,很明显，,时，上式等于零，由此得出无稳态误差,的条件为：,（7-32）,现在考察稳态误差：,由上式可知，误差只差一拍，即调整时间为一个采样周期 T，在,25/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,第二个采样周期以后误差恒等于零。单位阶跃输入时误差的波形如图7-9所示，系统的阶跃响应如图7-10所示。,2）单位速度输入,图7-9 单位阶跃输入时误差的波形,（7-33）,26/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,当,时，上式为零，得出无稳态误差的条件为,（7-34）,此时e(t)误差 的Z变换为：,单位速度输入时误差的波形如图7-3所示。,图7-10 单位速度输入时误差的波形,27/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,3）单位加速度输入,（7-35）,当,，上式为零，因此无稳态误差的条件为：,（7-36）,此时误差e(t)的Z变换为：,单位加速度输入时误差的波形如图7-11所示。,28/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,图7-11 单位加速度输入时误差的波形,比较三种典型输入信号的情况，不难得到：单位阶跃输入 m=1 误差的传递函数 单位速度输入 m=2 误差的传递函数 单位加速度输入 m=3 误差的传递函数,29/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,30/57,闭环脉冲传递函数WB(z) 由上式求出。它的一般形式为：,（7-38）,式中，,为待定系数。,中,多项式的项数m，与输入函数,分母中,因子,的阶数m相等。,确定系数,的方程式为：,（7-39）,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（2）确定闭环脉冲传递函数,，m=1,由,得,34/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（3）控制器D(z),（4）系统的响应,35/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,系统的响应曲线如图7-12所示。,图7-12 系统的响应曲线,（5）控制量,36/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,控制量曲线如图7-13所示。,37/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,图7-13 控制量曲线,例7-14 已知被控对象的传递函数为 ，采样周期T=0.2秒，试设计单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统。,解：（1）广义被控对象的脉冲传递函数,38/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（2）闭环脉冲传递函数,，m=1,由,得,（3）控制器D(z),39/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,40/57,（4）系统的响应,系统的阶跃响应曲线如图7-14所示。,图7-14 系统的阶跃响应,第7章 数字控制器的离散化设计方法,例7-15 在某计算机控制系统中，被控对象的传递函数由一个积分环节 和一个纯滞后环节 串联而成，采样周期T=1秒。,（1）采用零阶保持器法写出广义对象的脉冲传递函数。（2）写出单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统的闭环脉冲传递函数。（3）设计单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统数字控制器。（4）求单位阶跃输入时的最小拍有波纹系统的响应。 解：（1）采用零阶保持器法写出广义对象的脉冲传递函数,（2）闭环脉冲传递函数,41/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,，m=1,由,得,（3）控制器D(z),（4）系统的响应,42/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,7.3.3 最小拍有波纹系统的局限性,1. 系统的适应性差,最小拍系统数字控制器的设计是根据某类典型输入信号设计的，对其他类型的输入信号就不一定是最小拍，甚至会长生很大的超调和静差。,2. 对参数变化灵敏度大,最小拍设计是在结构和参数不变的条件下得到的理想结果，系统在z=0处有多重极点，理论上可以证明，这些z=0的重极点对系统参数变化的灵敏度可以为无穷大。因此，当系统的结构和参数变化是，系统的性能指标受到严重影响。,3. 控制作用已超出限定范围,43/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,4. 在采样点之间存在波纹,7.4 最小拍无波纹控制系统的设计,7.4.1 最小拍系统产生波纹的原因,由于 ，广义对象W1(z)中稳定的零点是控制量 的极点，控制量虽然是稳定的，但存在剧烈的振荡，这样一个控制量作用在保持器的输入端，保持器的输出也会波动，所以，系统的响应有波纹。简单地说，控制量有波动，系统响应有波纹。,7.4.2 最小拍无波纹系统WB(z)的确定方法,最小拍无波纹系统WB(z)的一般形式为：,（7-44）,7.4.3 最小无波纹系统设计举例,例7-16 某计算机控制系统如下图所示，已知，k=10,Tm=1s，采样周期T=1s，,44/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,试设计单位阶跃输入时的最小拍无波纹系统。,图7-17 例7-3计算机控制系统,（1）采用零阶保持器法计算广义对象的脉冲传递函数。（2）求系统的闭环脉冲传递函数。（3）设计单位阶跃输入时的最小拍无波纹系统数字控制器。（4）求控制量。（5）求系统的响应。,（提示： ， ， ）,45/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,解：（1）广义对象的脉冲传递函数,（2）闭环脉冲传递函数,，m=1,由,得,（3）控制器D(z),46/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（4）控制量,控制量曲线如图7-18所示。,47/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,图7-18 控制量曲线,（5）系统的相应,48/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,系统的响应曲线如图7-19所示。,图7-19 系统的响应曲线,7.5 控制算法在计算机上的实现,D(z)可以写成 z-1有理式：,（7-45）,程序设计方法可分为直接程序法、串行程序法和并行程序法。,7.5.1 直接程序法,49/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,50/57,将上式交叉乘得：,（7-46）,在零初始条件下，对上式取z反变换：,（7-47）,上式表明，计算机得k次的输出 取决于以前的输出 和偏差信号 ，这是个迭代运算式。,例7-17 控制器 ，试用直接程序法写出控制算法的程序公式。,解：由,得到,整理得：,第7章 数字控制器的离散化设计方法,控制算法的程序公式为：,7.5.2 串行程序法,数字控制器D(z)有时可写成n个一阶环节串联形式。,（7-48）,（7-49）,（7-50）,51/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（7-51）,程序设计框图如图7-20所示。,图7-20 串行程序框图,（7-52）,（7-53）,（7-54）,（7-55）,它是由多个子程序串联组成的，计算时首先计算出 ，然后,52/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,依次迭代到第二个子程序公式计算 ，以此类推，计算出 。,例7-18 在计算机控制系统中，已知数字控制器：,并且,试用串行程序法写出控制算法的程序公式。,解：,（1）由,得到,控制算法,53/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（2）由,得到,控制算法,（3）控制算法,7.5.3 并行程序法,这种程序设计法是将D(z)化成一些一阶环节的并联。,（7-56）,对D(z)进行部分分式计算：,54/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（7-57）,（7-57）,（7-59）,（7-60）,写成对应的控制算法公式为：,（7-61）,（7-62）,55/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,（7-63）,（7-64）,当m=n时，需用长除法将D(z)的分子除以它的分母，得出一个常数项与分式之和，然后对分式进行部分分式运算，求出各个分项。,例7-19 控制器 ，,试用并行程序法写出控制算法的程序公式。,解：,56/57,第7章 数字控制器的离散化设计方法,57/57,图7-21 并行程序法控制算法框图,