诚成设计-改进的多小波去噪算法在XLPE电力电缆中的应用1.docx

摘要：在电能质量检测应用中，电网谐波由两部分组成，一部分为整数倍基波频率，另一部分为非整数倍基波频率（即间谐波），间谐波分布在除基波和谐波以外的整个频谱范围内，具有不确定性和非平稳特性。目前间谐波检测方法主要有：改进的FFT算法、小波分析、小波包分析、神经网络、prony分析等[1]，采用FFT算法选择适当的采样频率和频率窗周期性同步采样，难以精确地测得间谐波。其中，prony算法可以精确地测得间谐波成分，但是其对噪声比较敏感。而实际电网信号总是存在噪声，所以在检测之前，首先要对采集的谐波进行消噪预处理。多小波保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性，又克服了单小波的缺陷，多小波可同时具有光滑性、对称性、正交性、短支撑性，高阶消失矩等属性。本文对小波软、硬阈值去噪方法进行了仿真，根据Matlab仿真结果，针对小波软、硬阈值方法的缺点，提出改进的多小波阈值去噪算法，对XLPE电力电缆中信号进行多小波分解后再去噪预处理，其去噪效果得到了显著提高。同时就全局处理采用统一的阈值对各级高频系数进行滤波，由于噪声对应的小波系数随着分解尺度的增加，其幅值会减小，所以统一阈值消噪会有较大的误差的缺点，采用分层（分频带）处理。针对各分解层采用不同的阈值进行滤波，分层阈值估计相应调整各层阈值，以达到更好的去噪效果。对比仿真结果发现，改进后的多小波阈值去噪取得了更好的去噪效果。
关键词：多小波，小波去噪，电网谐波，分频带，分层阈值

Abstract：In power quality testing applications, grid harmonics consists of two parts,one part is an integer multiple of the fundamental frequency, another part is the non-integer multiple of the fundamental frequency (ie,interval harmonics).The entire spectral range inter-harmonic distribution in addition to the fundamental and harmonic and with the uncertainty and non-stationary characteristics. It is difficult to accurately measured the harmonics using FFT algorithm to select the appropriate sampling frequency and the frequency window of periodic synchronous sampling. Currently , the detection methods the interval harmonic and harmonic: Improved FFT algorithm, wavelet analysis, wavelet packet analysis, neural network, prony analysis, etc. Which, prony algorithms can accurately measure the harmonic components ,but it is more sensitive to noise. The actual grid signal there is always noise, denoising preprocessing shouldbe taken before, we must first harmonic collected. Multiwavelet maintain the characteristics that single wavelet has a good time and frequency domains of the local, but also overcome the defects of the single wavelet, multiwavelet can be smooth, symmetry, orthogonality, short support, high-enddisappear and other properties. The wavelet soft and hard threshold denoising method are simulated, Matlab simulation results show the shortcomings of wavelet soft, hard threshold method, improved multi-wavelet threshold denoising algorithm in XLPE power cable signal, first multi-wavelet decomposition and then de-noising preprocessing, denoising has been significantly improved. On a global deal with a uniform threshold value to filter the high frequency coefficients at all levels, because of the noise corresponding to the wavelet coefficients with the increase of the decomposition scale, the amplitude decreases, so uniform thresholding denoising have a greater error the shortcomings of the hierarchical (sub band) to deal with. Different thresholds for each decomposition level filtering, layered threshold is estimated to be adjusted accordingly layers of threshold, in order to achieve better denoising effect. Compare simulation results showed that the improved wavelet threshold denoising achieved a better denoising effect.
Key words：Multi-wavelet,wavelet denoising, grid harmonics, multi-band , hierarchical threshold

目 录

第1章 绪论
一、课题背景及意义
由于在电力系统信号检测的过程会中受到设备环境等各种干扰的影响，得到的数据中不可避免的含有噪声，如果不加以处理，会影响校正模型建立的质量和未知信号检测结果的准确性。通过对检测数据的去噪预处理，可以减少噪声的影响，提高模型的稳定性。通常采用的去噪方法包括平滑，傅立叶分析等。其中信号平滑的目的是消除高频随机误差，其基本思路是在平滑点的前后各取若干点来进行“平均”或“拟合”，以求得平滑点的最佳估计值，消除随机噪声，这一方法的基本前提是随机噪声在处理“窗口”内的均值为零。这种平滑的方法可有效地平滑高频噪声，提高信噪比，但是它对有效信号也进行平滑，容易造成信号失真，因此存在一定的局限性。傅立叶分析对数据处理应用的主要目的是加快信息的提取过程，通过压缩数据使得信息提取更加有效，同时去除干扰和噪声。在传统的信号处理中，傅立叶分析是数据预处理的主要手段，但是傅立叶分析只能获得信号的整个频谱，不能得到信号的局部特性，不能充分刻画动态的非平稳信号的特征[2]。而小波分析可以把各种频率组成的混合信号按照不同的分辨尺度分解成一系列不同频率的块信号。由此可对特殊频率范围内的噪声进行滤波处理，小波分析灵活滤波的特性是其它方法无法比拟的。小波分析是从傅立叶分析的基础上发展以来的，通过引入可变的尺度因子和平移因子，在信号分析时具有可调的时频窗口，巧妙地解决了时频局部化矛盾，弥补了傅立叶分析的不足，为信号处理提供了一种多分辨率下的动态分析手段。由于小波分析对信号的分时分频的精细表达和多分辨率分析的特点，即有用信号和噪声信号在不同尺度上呈现不同的视频特征或者传播行为，根据这些特征的不同，可以将有用信号提取出来。小波算法能够满足各种去噪要求，如低通，高通，随机噪音的去除等[3]。
小波分析有效地完成了信号的时间与空间的局部化，对于信号分析而言意义重大。小波分析具有多分辨率分析和多尺度的特点，可以由粗到精地逐步观察信号，同时还具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点；适当地选择基小波，可以使其在时、频两域都有表征信号局部特征的能力，因此非常有利于信号分析。由于小波分析具有以上特性，人们把小波分析誉为分析信号的数学显微镜[4]。
1.1国内外研究现状
信号去噪就是抑制噪声，改善信号质量的处理。现在已有多种信号去噪方法，如维纳(Wiener)滤波法、卡尔曼(kalman)滤波法、减谱法等。这些经典方法大致呵以分为确定性的分析计算方法和统计的方法两类.。然而，它们大都需要假设退化信号既满足广义平稳条件又满足正约束条件，限制了其实际应用的效果。为克服这些缺点，很多专家学者对阈值函数的选择进行了研究，提出了很多在硬阈值与软阈值之间折中的阈值函数。比较典型的有Gao提出的基于幅值的半软阈值滤波算法，克服了传统阈值函数的缺点，但这种方法需要选择两个阈值，只有这样才能实现软硬阈值的折中，在实际应用中阈值选取复杂。刘卫东等人提出了基于一个阈值的比较灵活的折中函数[5]。李庆武等人提出了小波系数以指数函数的形式进行收缩的思路，以及李世博提出的小波系数以e指数形式收缩等[6]。这些函数虽然实现了硬阈值函数和软阈值函数的折中，但其中参数的取值范围都在l～∞，在实际中不易控制。为此，本文构造了一种新的阈值函数，能使小波系数按e指数规律收缩，既能实现软阈值函数和硬阈值函数的良好折中，同时又能将参数的取值控制在0—1范围内，这对充分发挥小波阈值收缩方法的优越性有着重要的理论意义和应用价值。[7]
小波分析是近年来发展起来的一种优良的数学工具，小波变换可以获得信号的多分辨率描述，这种描述符合人们观察世界的一般规律，它克服了傅立叶变换无法描述信号局部特征的不足，可以从局部到任何细节观察信号，因此它已成为信号处理的优良工具。利用小波去噪是小波变换的重要应用领域”剖。Donoho和Johnstoni提出的小波阈值去噪方法的基本思想是：含有噪声的图像经过多层小波变换，代表原始图像信息的小波系数的绝对值较大，而代表噪声信号的小波系数的绝对值相对较小。对二级小波，通过设置两个阈值，将绝对值小于阈值的小波系数当作噪声去除，从而达到去噪的效果。与此同时，Krim等人运用Rissanen的MDL(Minimu Description Length)准则，也得到了相同的阈值公式[8]。此后小波阈值方法被用到各种去噪应用中，并取得了很大的成功，对高斯噪声尤其如此。但是Donoho和Johnsone给出的通用阈值，由于有很严重的“过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究，并提出了多种不同的阈值确定方法。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值函数，但是这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立分布噪声的假设，并且这些方法大多数是从Donoho和Johnsone给出的方法发展而来的[9]，从而他们最后的去噪性能也依赖于用WaveShrink确定阈值，噪声服从独立正态分布的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题。目前，基于阈值的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近年来不断有新的方法出现，而且人们的研究方向已经转为如何最大限度地获取信号的先验信息，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。另外，除了阈值方法外，Kivanc、John和Xu等人还提出了不同的去噪方法。这些都丰富了小波去噪的内容。[10]
近年来, 由于多小波可以同时具有正交性、紧支撑性、对称性和高的逼近阶等特性, 使其在研究领域内越来越受到人们的重视。因此, 将单小波去噪方法扩展到多小波中是很自然的事情。然而, 多小波的矢量特性决定了它同单小波信号处理方法的不同。对于多小波而言, 预滤波成了信号进行多小波变换前必不可少的一步。1998 年, Downie等针对多小波的矢量特点提出了矢量阈值法, 明显改善了多小波的去噪效果。2003年, Chen等结合多小波的矢量特性, 将Tony Ca i等人提出的单小波相邻系数去噪法扩展到多小波, 提出了多小波相邻系数去噪方法, 进一步改善了去噪效果。[11]虽然Chen等很好的利用了同一尺度上相邻多小波系数之间的相关性, 但并未考虑尺度间多小波变换系数的相关性。[12]
1.2 本文的研究目的和所做的研究工作
本文的目的是运用小波分析对模拟电力信号进行小波阈值消噪，在研究传统小波阈值消噪的基础上，进行了小波软、硬阈值去噪的仿真实验，对比仿真结果总结其存在的缺点，并针对单小波的不正交，不对称等缺陷，提出相应的改进算法，将多小波理论用于电力信号的分解。由于噪声对应的小波系数随着分解尺度的增加，其幅值会减小，所以统一阈值消噪会有较大的误差的缺点，采用分层（分频带）处理就不同小波分解尺度的不同，采用不同的分层阈值，提出分频带阈值消噪算法，更加符合去噪的要求。仿真结果表明，改进算法消噪效果显著。同时对MATLAB软件的应用进行了解，进行仿真前的准备。并将实验算法与实际应用相结合，就模拟电力应用中信号进行小波阈值消噪，符合理论的研究结果，证明此算法的可行性和优越性。
1.3 研究工具
本文研究所用的工具是MATLAB的小波工具箱。MATLAB是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析，矩阵运算，信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的，界面友好的用户环境。小波工具箱是许多基于MATLAB技术计算环境的函数包的集合。应用MATLAB体系下的小波与小波包，提供了分解和综合信号的工具。小波工具箱提供两种工具，一是控制线的函数，二是图像操作工具。第一类工具是由可以直接调出线或应用命令的函数组成，这些函数大多是M文件或者各种实现特定的小波分解与综合算法的陈述。
本文的第二部分主要介绍了小波分析包括多小波的一些基础理论知识，第三部分则介绍了利用多小波分析进行模拟信号消噪，第四部分提出了一种对传统阈值消噪进行改进的多小波新阈值消噪算法。第五部分对本文进行总体的总结以及对未来的展望。

第2章理论基础及去噪方法的解析
本节主要介绍了小波分析的基本理论以及小波分析对一维信号进行消噪处理，其中理论部分包括连续小波分析，小波分析和傅立叶分析的比较，常用小波的介绍以及多分辨率分析在小波分析理论中的作用。运用小波分析进行一维信号的消噪处理是小波分析的一个重要应用，尤其是在信号数据预处理去噪中有着广泛的应用。主要有基于小波分析的局部极大值点去噪和基于阈值去噪的两种技术。Mallat提出了通过寻找小波分析系数中的局部极大值点，并根据此重构信号可以很好的逼近原始信号。Donoho提出了基于阈值的小波去噪方法，先对信号进行小波分析，再对小波分析值进行去噪处理，最后反分析得到去噪后的信号。
2.1 连续小波分析的基本概念
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是这种特性，使小波分析具有对信号的自适应性[13]。
小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶，已经广泛地应用于信号处理，图像处理，量子场论，地震勘探，语音合成与识别，音乐，雷达，CT 成像，彩色复印，流体湍流，天体识别，机器视觉，机械故障诊断与监控，分形及数字电视等领域。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方都可以用小波分析来取代。小波分析优于傅立叶分析的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质[14]。
设,表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间，其傅立叶分析为.当满足允许性条件(Admissiable Condition):
式2.1
时，我们称为基本小波或者小波母函数(Mother Wavelet)。将母函数经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为：
式2.2
其中，为伸缩因子，为平移因子。一般归一化，令。由于，所以也单位化了。对于任意的函数的连续小波分析为：
式2.3
其中，当相当于频率，相当于位移。
其逆分析为：当，
式2.4
2.1.1 连续小波分析的时频窗口特性
小波分析的时频窗口特性和短时傅立叶分析的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形，窗口中心为，时窗宽和频窗宽分别为和。

图2.1 连续小波分析的时频窗口特性
在实际应用中信号分析的要求是：信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。连续小波函数窗口有“变焦”特性:当变小时，时域观察范围变窄，但频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动；当变大时，时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动。
其中仅仅影响窗口在相平面上时间轴上的位置，而不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波分析对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时小波分析的时间分辨率较差，而频率分辨率较高。在高频时小波分析的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这就是小波分析优于经典的傅立叶分析与短时傅立叶分析的地方。总的来说，小波分析比短时傅立叶分析有更好的时频窗口特性。
2.1.2 连续小波分析的重要性质
（1）线性性：一个多分量信号的小波分析等于各个分量的小波分析之和。
（2）平移不变性：若的小波分析为，则的小波分析为 。
（3）伸缩共变性：若的小波分析为，则的小波分析为 。
（4）自相似性：对应于不同尺度参数和不同平移参数的连续小波分析之间是自相似的。
（5）冗余性：连续小波分析中存在信息表述的冗余度。
2.2 小波分析和傅立叶分析的比较
小波分析是傅立叶分析思想方法的发展和拓延，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，可以说小波分析是一种广义上的傅立叶分析。小波分析的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，两者是相辅相成的，比较后有以下特点：
(1)傅立叶分析的实质是把能量有限的信号分解到以为正交基的空间上去；小波分析的实质是把能量有限的信号分解到和所构成的空间上去。
(2)傅立叶分析用到的基本函数只有，，，具有唯一性；小波分析用到的函数则不具有唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用中的一个难题，目前往往是通过经验和不断地实验来选择小波函数。
(3)在频域中，傅立叶分析具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶分析很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。但是在时域中，傅立叶分析没有局部化能力，即无法从信号的傅立叶分析中看出在任一时间点附近的形态。事实上，是关于频率为的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由的整体性态所决定的。
(4)在小波分析尺度中，尺度的值越大相当于傅立叶分析中的值越小。
(5)在短时傅立叶分析中，分析系数主要依赖于信号在片段中的情况，时间宽度是(因为是由窗函数唯一确定的，所以是一个定值)。在小波分析中，分析系数主要依赖于信号在片段中的情况，时间宽度是，该时间宽度是随着尺度变化而变化的，所以小波分析具有时间局部分析能力。
(6)如果用信号通过滤波器来解释，小波分析和傅立叶分析的不同之处在于：对短时傅立叶分析来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波分析带通滤波器的带宽则正比于中心频率，即为常数亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等结构(为滤波器的品质因数)[16-18]。
2.3 常用小波函数
与标准傅立叶分析相比较，小波分析中应用到的小波函数不具有唯一性，即小波函数具有多样性。但是小波分析在工程应用中一个十分重要的问题是最优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果，在面对某一具体应用时，除了要选择比较各小波的基本身的的正交性，对称性，正则性，紧支集，消失矩等问题，同时还要注意具体的应用环境的制约。目前主要是通过小波分析方法处理信号的结果的好坏来判定小波基的好坏，并由此选定小波基。
一般而言，小波基的对称性和正交性不兼容，例如具有正交性的Daubechies小波就不具备对称性。正则性是函数光滑程度的一种描述，是函数领域能量的一种度量。我们说小波是具有紧支集的函数,是指使得函数不等于零的的取值范围是有限的，范围越小，表明小波支集的长度越短，即支集越紧。函数的阶矩是指积分。阶消失矩就是指使得上式为零的那个。消失矩的实际影响是将信号能量相对集中在少数几个小波系数里，小波消失矩与小波支集的长度有着密切关系。
根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：
（1） ，，，的支撑长度。即当时间或频率趋向于无穷大时，，，，从一个有限值收敛到0的速度。
（2） 对称性。在图像信号处理中对避免移相是有用的。
（3） 和的消失矩阶数。对于数据压缩是非常有用的。
（4） 正则性。对信号的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。
在众多的小波基函数中，有一些小波函数被实践证明是非常有用的。下面介绍几种常用的小波函数：
1.Haar小波
Haar小波是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数。Haar函数的定义为下：
1
= -1 (2.5)
0 others
尺度函数为：
式2.6
2.墨西哥草帽（Mexican Hat）小波
Mexican Hat函数为：
式2.7
它是Gauss函数的二阶导数，它在时域和频域都有很好的局部化，并且满足：
， 式2.8
由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。
3.Daubechies(dbn)小波系
Daubechies函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，除了db1(即Haar小波)外，其他小波没有明确的表达式，但是转换函数的平方模是很明确的。db函数是紧支撑校准正交小波，它的出现使得离散小波分析成为可能。
假设，其中为二项式的系数，则有：
式2.9
其中。小波函数和尺度函数的有效支撑长度为，小波函数的消失矩阶数为。db大多不具有对称性，但具有正交性。函数的正则性随着序号的增加而增加。
4.Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系
Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位性，它主要应用于信号的重构中，通常采用的一个办法是采用一个函数进行分解，用另外一个函数进行重构。众所周知，如果采用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，则可以解决这个问题。Biorthogonal函数系通常表示成biorNr.Nd的形式：
Nr=1 Nd=1,3,5
Nr=2 Nd=2,4,6,8
Nr=3 Nd=1,3,5,7,9
Nr=4 Nd=4
Nr=5 Nd=5
Nr=6 Nd=8
其中，r表示重构(Reconstruction)，d表示分解(Decomposition)。
2.4 离散小波分析
在实际应用中，尤其是在计算机上实现，连续小波必须加以离散化。所以针对连
续小波和连续小波分析的离散化。这一离散化都是针对连续的尺度函数和连续平移参数的，而不是针对时间变量的，这与以前习惯的时间离散化不同，需要加以注意区别[19]。
在连续小波中，考虑函数
式2.10
为方便起见，在离散化中，总是限制只取正值，这样相容性条件就变为：
式2.11
通常，把连续小波分析中的尺度参数和平移参数的离散化公式分别取做，，这里，扩展步长是固定值，为方便起见，总是假定，所以对应的离散小波函数就写作：
式2.12
而离散化小波分析系数则可以表示为：
= 式2.13
其重构公式为：
式2.14
其中，是一个与信号无关的常数。
然而，怎样选择和才能保证重构信号的精度呢？显然，网格点应该尽可能地密（即和尽可能地小），因为如果网格点越稀疏，使用的小波函数，和离散小波系数就越少，信号重构的精确度也就会越低。
为了使小波分析具有可变化的时间和频率分辨率，适应待分析信号的的非平稳性，需要改变和的大小，以使小波分析具有“变焦距”的功能。在实际应用中采用的是动态的采样网格，最常用的是二进制的动态采样网格：，每个网格点对应的尺度为，而平移为。由此得到的小波
式2.15
称为二进小波（Dyadic Wavelet）。
二进小波对信号的分析具有变焦功能。假定一开始选择一个放大倍数，它对应为观测信号的某部分内容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数，即减小的值；反之，如果想了解信号更宏观的内容，则可以减小放大的倍数，即增大的值，在这个意义上，小波分析被称作数学显微镜。
2.5 多分辨率分析
Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1988年S.Mallat在构造正交小波基时提出了多分辨分析MRA（Multi-Resolution Analysis）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波分析的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相似于快速傅立叶分析算法在经典傅立叶分析中的地位[13]。
关于多分辨分析的原理，我们以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图2.2 所示。
S

D1
A1

D2
A2

D3
A3

图2.2 三层多分辨率分析树结构图
从图中可以看出，多分辨率分析只是对低频部分进行一步分解，而高频部分则不
予考虑。分解的关系为。另外强调一点，这里只是以一个层分解进行说明，如果要进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下分解则类推可得。
在多分辨分析中，分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上面的多分辨分析树结构图可以看出，多分辨率分析只对低频空间进行进一步的分解，使得频率的分辨率变得越来越高。
我们称满足下列条件的中的一列子空间及一个函数为一个正
交Multi-resolution Analysis(MRA)(多尺度/多分辨分析)：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5），且是的标准正交基，称为此MRA的尺度函数/父函数。
2.6 多小波分析
是多分辨率分析空间的正交多尺度函数，称生成中的r重多分辨率分析，若

满足其平移和伸缩
形成的正交补子空间的正交基，即在中的补子空间为，

多小波函数和多尺度函数满足如下两尺度矩阵方程：

其中：是维矩阵，L为多尺度函数的滤波器长度，r为多小波的维数，同理是维矩阵，M为多小波的滤波器长度，r为多小波的维数，两尺度矩阵方程的频域表示为：
表示多小波函数中对每个分量傅里叶变换后的矩阵函数。表示多尺度函数中对每个分量傅里叶变换后的矩阵函数。、分别成为低通滤波器和高通滤波器，、从信号处理的角度来看，是与尺度函数和小波函数对应的矢量滤波器。该滤波器是多通道的滤波器，因此对于一维信号，要经过预滤波形成多维矢量信号，才能进行多小波处理。第3章小波阈值去噪
第4章 改进的多小波阈值消噪算法

第5章总结与展望

参 考 文 献
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