计算机应用数学-高职计算机大类专业基础全书电子教案1-10章全.doc

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.1函数概念及其性质
教学目标
明确课程学习目的及学习要求提高学习积极性；掌握基本初等函数.
教学重点
函数的概念及其性质，函数的定义域.
教学难点
分段函数
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
高等数学在专业课程学习中的重要性.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
形象引入、数形结合、举例讲解.
教
学
小
结
知识小结
1、理解函数的概念和性质；
2、会求函数的定义域.
教后札记

改进措施

课
后
作
业
习题1.1
1.（1）（2）
2.（1）（2）
3.（2）（4）
教学过程：
一、知识回顾
回顾中学数学的基本初等函数的基本知识.
二、新课导入
本章将在中学数学已有函数知识的基础上进一步理解函数概念，并介绍反函数、复合函数及初等函数的主要性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基本知识.
三、新课内容
1、基本知识
1）常量与变量
一种是在观察过程中保持不变的量，这种量称为常量，通常用字母来表示；另一种在观察过程中会起变化的量，这种量称为变量，通常用字母来表示.
2）区间
设两个实数且，则满足的实数的全体称为闭区间，记作：；满足的实数的全体称为开区间，记作：；满足或的实数的全体称为半开半闭区间，分别记作：或.
上面这些区间称为有限区间，除了有限区间之外，还有无限区间.
表示全体不大于的实数，表示全体小于的实数，表示全体不小于的实数，表示全体大于的实数，表示全体实数.
3）邻域
邻域是在微积分中经常用到的一个概念.
在数轴上，以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作：.设为任意一个正数（），则开区间就是点的一个邻域，这个邻域称为点的邻域，记作：，即，其中点称为邻域的中心，称为邻域的半径.
2、函数概念
1）定义1.1 设有两个变量和，若当变量在非空实数集内，任意取定一个数值时，变量按照一定法则，总有唯一确定的数值和它对应，则称是的函数，记作：
或者 ，
其中的变化范围称为这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量.
2）函数的定义域与值域的求解方法.
3）相同函数.通过对函数定义的分析不难发现，确定一个函数，起作用的两要素是：定义域和对应法则.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两个函数就相同，否则就不同.
3、分段函数
有的函数要用几个式子来表示.这种在其定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.
注意：（1）分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是几个函数；
（2）由于分段函数是分段表示的，因此各个式子的定义域必须明确标出；
（3）对于分段函数求值时，不同点的函数值应代入相应范围的式子中去求；
（4）分段函数的定义域是各项定义域的并集.
【例题精讲】
例1 函数的定义域为，值域是，其图形是一条直线，如图所示：

图1.3 图1.4
例2 函数称为绝对值函数，它的定义域为，值域是，它的图形如图1.4所示.
例3 下列各组函数是否相同？为什么？
（1）（2）
解：（1）不相同.因为，而，两个函数对应法则不同，所以与不相同.
（2）不相同，因为，，两个函数的定义域不同，所以与不相同.
【课堂练习】
例1 函数称为符号函数，请指出它的定义域和值域.
解：它的定义域为，值域是.
例2 求下列函数的定义域.
（1） （2）
解：（1）要使有意义，必须，解得，所以该函数的定义域为.
（2）要使有意义，必须，解得
，所以该函数的定义域为.
【问题思考】
设的定义区间为，求下列各函数的定义域.
（1） （2） （3） （4）
【知识小结】
1、理解函数的概念和性质；
2、会求函数的定义域.
【课后作业】
习题1.1
1.（1）（2）
2.（1）（2）
3.（2）（4）
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：
《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.1函数的概念及其性质
教学目标
了解函数特性；会求反函数与复合函数.
教学重点
反函数,复合函数.
教学难点
复合函数
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
基本初等函数的图像
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
数形结合
教
学
小
结
知识小结
1、会利用函数的性质解题；
2、会求反函数及复合函数.
教后札记

改进措施

课
后
作
业
习题1.1
5.（1）（2）
教学过程：
一、知识回顾
回顾函数的概念.
二、新课导入
中学阶段所学的基本初等函数的性质和图像.
三、新课内容
1、函数的简单性质
1）函数的有界性
设函数在上有定义，若存在正数，使对于任何，都有，则称函数在上有界；否则，称为无界.若一个函数在它的整个定义域内有界，则称该函数为有界函数.有界函数的图形必位于两条直线与之间.
2）函数的单调性
设函数在上有定义，任取两点，当时，有，则称函数在上是单调增加的；当时，有，则称函数在上是单调减少的.
单调增加或单调减少的函数，它们的图形分别是沿轴正向逐渐上升或下降，分别如图1.5（a）和（b）所示.

（a） （b）
图1.5
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.若函数在其定义域内的某个区间内是单调的，则称这个区间为函数的单调区间.
3）函数的奇偶性
设函数的定义域关于原点对称.若任取，都有，则称是上的偶函数.若任取，都有，则称是上的奇函数.
从几何图形上看，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
4）函数的周期性
设函数的定义域为，若存在正数,使于任何，有,且，则称函数是为周期函数，称为的周期.通常我们说的周期函数的周期是指其最小正周期.
2、 反函数和复合函数
1）反函数
定义1.2 设给定是的函数，若把当作自变量，当作函数，则由关系式所确定的函数称为函数的反函数，记作：，也常记作：，.
由定义可知，与互为反函数.我们习惯上，用表示自变量，表示因变量，所以反函数常习惯地表示成的形式.
注：（1）函数与其反函数是表示同一个函数.
（2）求反函数的方法：给出一个函数，要求其反函数，只要把用表示出来，再交换与的位置即可.
2）复合函数
定义1.3 设是的函数，而又是的函数，且当在的定义域（或该定义域的一部分）内取值时，对应的值使有定义，则称是的一个定义于的复合函数，记作：，称为外层函数，为内层函数，为中间变量，为自变量，为因变量.
注：（1）函数与函数构成的复合函数通常记为，即
.
（2）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.只有当函数的定义域与函数的值域有公共部分时，两个函数与才能复合成函数；否则，这两个函数就不能复合.
（3）有时我们会遇到两个以上的函数构成的复合函数.
1.1.4 函数的四则运算
设函数的定义域分别为，，则我们可以定义这两个函数具有下列运算：
和（差）: .
积 : .
商 ： ，.
3、基本初等函数
1) 常数函数（为常数）.
2) 幂函数（为常数）.
3) 指数函数（且）.
4) 对数函数（且）.
5) 三角函数.
6) 反三角函数.
这六种函数统称为基本初等函数，已在中学数学中学过，它们的定义域、值域、图形、性质等参见附录2.
4、 初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的，且可用一个解析式表示的函数称为初等函数.否则，称为非初等函数.今后我们讨论的函数，绝大多数都是初等函数.
【例题精讲】
例1 正弦函数是有界函数，因为它在定义域内，总有.
例2是偶函数，因为其定义域为，且
；是奇函数，因为其定义域为，且.
例3 求的反函数.
解：由解得，交换与，得，即为所求反函数.
可以证明，函数的图形与的图形关于直线对称.
例4 设，，试写出，的表达式.
解：，.
【课堂练习】
例1 在上单调减少，为单调减少区间；在上单调增加，为单调增加区间，但该函数在上不是单调函数.
例2 函数可以看成由哪些函数复合而成？
解：原函数可以看成下列三个函数的复合： ，，，其中与为中间变量.
【问题思考】
设函数的定义域为，求函数的定义域.
【知识小结】
1、会利用函数的性质解题；
2、反函数及复合函数.
【课后作业】
习题1.1 5.（1）（2）
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.2函数的极限
教学目标
理解数列的极限，理解函数的极限，会求左右极限.
教学重点
极限存在的充要条件
教学难点
函数极限的概念
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要工具，如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分的前提条件.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
（1）；（2）；（3） 都是数列，它们的通项分别为，，.
对于数列，我们主要关注的是，当它的项数无限增大时，它的变化趋势.
教
学
小
结
知识
小结
1、会求左右极限；
2、极限存在的充要条件.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题1.2 1. 2.
教学过程：
一、知识回顾
数列的概念
二、新课导入
极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要工具，如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分的前提条件.
三、新课内容
1、数列的极限
1）数列的概念
定义1.4 定义在正整数集上的函数，其函数值按自变量增大的次序排成一列数称为数列，记作：.
其中称为数列的首项，称为数列的一般项或通项.
2）数列的极限
定义1.5 设有数列和常数.若当无限增大时，无限趋近于，则称是数列的极限（或称数列收敛于），记作：
或，
否则，则称数列的极限不存在，或者说数列是发散的.
数列极限的几何解释：将常数和数列的各项在数轴上用对应的点表示，若数列收敛于，则表示随着项数越来越大，在数轴上表示的点从点的一侧（或两侧）就越来越接近，如图1.6所示.

图1.6
若数列收敛，则该数列有如下性质：
性质1（唯一性）若数列收敛，则该数列的极限唯一.
性质2（有界性）若数列收敛，则该数列一定有界.
定理1.1（单调有界原理）单调有界数列必有极限.
推论 无界数列一定发散.
注：有界数列不一定收敛，发散数列不一定无界.
2、 函数的极限
对于给定的函数，因变量随着自变量的变化而变化.若当自变量无限接近于某个目标（数或无穷大）时，因变量无限接近于一个确定的常数A，则称函数以A为极限.下面我们根据自变量无限接近于不同的目标，分别介绍函数的极限.
1）当时，函数的极限
定义1.6 设函数对于绝对值无论多大的是有定义的，若当无限增大（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：
或.
有时需要区分趋于无穷大的符号，我们将取正值无限增大，记作：；将取负值其绝对值无限增大，记作：.
类似地，若当（或）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当（或）时的极限，记作：
（或）.
定理1.2 的充分必要条件是且.
2）当时，函数的极限
定义1.7 设函数在点的某邻域内有定义（可以除外），若当无限趋近于（）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：
或.
注：（1）极限研究的是当时，的变化趋势，与在处有无定义无关.（2）是指从的左右两侧趋近于.
定义1.8 若当从的左侧无限趋近于（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当从左侧无限趋近于（即）时的左极限，记作：或.
类似地，若当从的左侧无限趋近于（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当从左侧无限趋近于（即）时的左极限，记作：或.
左极限和右极限通称为单侧极限.
定理1.3 的充分必要条件是且.
【例题精讲】
例1 将下列数列在数轴上表示出来，并讨论其收敛性.
（1） （2） （3）
解：将数列（1）（2）（3）在数轴上分别表示出来，如图所示：

从数轴上可以看出，数列（1）（3）的极限不存在，它们是发散数列；数列（2）的极限是常数1，记作：.
例2 函数的图形如图所示，试判断其极限情况.

解：从图可以看出，，，所以，
即当时，以0为极限.
例3 当与时，的变化趋势，并判断当时，的极限是否存在？
解：由图可得，，，由定义1.6可知，当时，无法与一个确定的常数接近，所以当时，的极限不存在.

例4 设函数，画出该函数的图形，并判断是否存在？
解：如图1.12所示，，，由定理1.3可知，不存在.

【课堂练习】
例1 设函数，判断是否存在？
解：，，由定理1.3可知，
例2 设函数，讨论和是否存在？
解：因为，，所以；又，，所以不存在.
【问题思考】
思考①，② ③ 在时的极限值以及函数值的情况。
【知识小结】
1、会求左右极限；
2、极限存在的充要条件.
【课后作业】
习题1.2 1. 2.
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.2函数的极限
教学目标
理解函数极限的性质，无穷小量与无穷大量.
教学重点
理解和判断无穷小量与无穷大量
教学难点
无穷小量的比较
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
求极限；；，我们发现共同点即极限值为0.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
数形结合
教
学
小
结
知识
小结
1、函数极限的性质；
2、无穷小量与无穷大量的概念.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题1.2
3.（1）（2）（3）（4）（5）（6）
教学过程：
一、知识回顾
函数极限的概念
二、新课导入
求极限；；，我们发现共同点即极限值为0.
三、新课内容
1、函数极限的性质
性质1（唯一性）若存在，则该函数的极限唯一.
性质2（有界性）若存在，则存在点的某个去心领域，在该去心邻域内函数有界.
性质3（保号性）若且（或），则存在点的某去心邻域，在该去心邻域内（或）.
推论 若在点的某去心邻域内，（或），且，则（或）.
性质4（夹逼准则）若在点的某去心邻域内，有
，，
则.
2、无穷小量与无穷大量
1）无穷小量
定义1.9 在自变量的某一变化过程中（当或时），极限为零的函数称为无穷小量（简称无穷小），即
若，则称当（或）时，是无穷小量.
注：（1）无穷小量（除0以外）是极限为0的变量，而不是很小的数.
（2）常量0是无穷小量，而无穷小量不是0.
（3）无穷小量是相对于自变量的变化过程而言的.
性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量.
性质2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.
推论 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.
性质3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量.
定理1.4 的充分必要条件是，其中是无穷小量（时）.
2）无穷大量
定义1.10 在自变量的某一变化过程中（当或时），绝对值无限增大的函数称为为无穷大量（简称无穷大），即
若，则称当（或）时，是无穷大量.
当或时为无穷大的函数，按照函数极限的定义来说，它的极限是不存在的，但是为了方便叙述函数这一性质时，我们也可以说“函数的极限是无穷大”，并记作：
（或）.
注：（1）无穷大量是一种特殊的无界变量，而不是很大的数；
（2）无穷大量的代数和未必是无穷大量；
（3）无界变量未必是无穷大量；
（4）无穷大量是相对于自变量的变化过程而言的.
3）无穷小量与无穷大量的关系
定理1.5 在自变量的同一变化过程中，若是无穷大量，则是无穷小量；若是非零无穷小量，则是无穷大量.
4）无穷小量的比较
例如，当时，都是无穷小量，而，
两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小量趋于零的“快慢”程度.
定义1.11 设、是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小量，
（1）若，则称是比高阶的无穷小量，记作：；
（2）若，则称是比低阶的无穷小量；
（3）若（为非零常数），则称与是同阶无穷小量；
（4），那么称与是等价无穷小量，记作：.
【例题精讲】
例1 求极限.
解：因为，又
，，
所以由夹逼准则，得.
例2 设函数和，且它们的图形分别如图1.13和1.14所示，求和.
解：从图中可以看出：，.

图1.13 图1.14
例3 求（1）；（2）.
解：（1）因为，所以；（2）因为，所以.
【课堂练习】
例1 指出下列函数哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？
（1）（） （2）()
（3）() （4）()
解：因为，，，，所以（1）和（2）是无穷大量，（3）和（4）是无穷小量.
【问题思考】
当时，都是无穷小量，而是为什么？
【知识小结】
1、函数极限的性质；
2、无穷小量与无穷大量的概念.
【课后作业】
习题1.2
3.（1）（2）（3）（4）（5）（6）
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.2函数的极限
教学目标
掌握用极限的运算法则求极限，会利用等价无穷小求极限.
教学重点
极限的运算法则
教学难点
利用等价无穷小求极限
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
初等函数的多样性决定了极限计算的灵活性.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
举例详讲
教
学
小
结
知识
小结
1、掌握用极限的运算法则求极限；
2、会利用等价无穷小求极限.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题1.2
4.（1）（3）（5）（7）
6.（1）（2）
教学过程：
一、知识回顾
无穷大量与无穷小量
二、新课导入
初等函数的多样性决定了极限计算的灵活性.
三、新课内容
1、极限的运算
1）极限的运算法则
设极限和都存在，则
（1）函数和的极限等于极限的和：；
（2）函数差的极限等于极限的差：；
（3）函数积的极限等于极限的积；；
（4）常数倍函数的极限等于函数极限的常数倍：（为常数）；
（5）函数商的极限等于极限的商，但要求分母函数的极限不为零：（）；
（6）函数乘方的极限等于函数极限的乘方：（其中为正整数）；
（7）函数开方的极限等于函数极限的开方： （其中为正整数，当为偶数时，）.
注：（1）极限的运算法则中的（1）（2）（3）可推广到有限个函数的情形；
（2）利用该运算法则时要求各函数的极限都要存在.
2）利用极限的运算法则求极限
下面介绍几个基本极限公式：
（1）（为常数）；
（2）；
（3）（由乘方性质可得到，其中为正整数）；
（4）（其中为正整数，且当为偶数时，假设）.
定理1.7 对于多项式函数和有理函数（多项式函数之商），当时，将带入函数式得到的函数值等于函数的极限值，即
（其中为多项式函数）；
（其中都是多项式函数，并且）.
综上所述，我们可以得到这样的结论：当为非负整数，为非零常数时，则有
上面的结论在求极限时可直接运用.
3、利用等价无穷小因子替换求极限.
由定义，那么称与是等阶无穷小量，记作：.
关于等价无穷小量，我们有下面等价代换法则.
定理1.6 若，且存在，则.
证明：
可以证明，当时，常见的等价无穷小量有：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
利用等价代换法则可以简化极限的计算.
【例题精讲】
例1 求极限.
解：
.
例2 求极限.
解：.
例3 求极限.
分析：令，因为在处有定义，所以可用直接代入法求出极限.
解：.
例4 求极限.
分析：令，因为在处无定义，所以不能用直接代入法求极限，但是可用无穷大和无穷小的关系求出极限.
解：，由无穷大与无穷小的关系可知，当时，是无穷大，即.
例5 求极限.
分析：令，因为在处无定义，所以不能用直接代入法求极限，但是我们考虑的是无限趋近于1时的极限，当趋近于1时满足，因此此题可用化简法求出极限.
解：.
例6 求极限.
分析：当时，函数的分子分母的极限都为零，所以不能用直接代入法求极限，但是我们可先将分母有理化后再求极限.
解：.
例8求下列各极限.
（1） （2） （3）
解：（1）.
（2）.
（3）因为，所以由无穷大与无穷小的关系，可知.
例9 .
例10 .
例11 .
【课堂练习】
例1 求极限.
解：
.
例2 求极限.
解：因为当时，是无穷小量，是有界变量，所以.
例3 求极限.
解：因为当时，是无穷小量，是有界变量，所以.
例4 求.
解：.
【问题思考】
求极限.分析：此例不能直接运用极限运算法则，但只要利用等比数列求和公式求出函数之和后，就能求出极限.
【知识小结】
1、掌握用极限的运算法则求极限；
2、会利用等价无穷小求极限.
【课后作业】
习题1.2
4.（1）（3）（5）（7） 6.（1）（2）
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.2函数的极限
教学目标
利用两个重要极限公式求极限
教学重点
两个重要极限公式
教学难点
两个重要极限公式
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
等价无穷小的概念.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
讲练结合
教
学
小
结
知识
小结
1、；2、.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题1.2
5.（1）（3）（5）
教学过程：
一、知识回顾
极限的运算
二、新课导入
等价无穷小的概念
三、新课内容
1、利用两个重要极限公式求极限
（1） （2） （其中是无理数，）
对于以上两个极限公式，只要求大家会利用这两个极限公式求一些极限.
注：在利用重要极限求极限时，关键在于把要求的极限化成重要极限的标准型或它们的变形，这就要抓住重要极限的特征.对于，它表示无穷小量的正弦和它自己的比；对于，它形如，其中无穷小量与无穷大量必须是互为倒数的形式.
两个公式还有相关的另外两种形式：（1），（2）.
【例题精讲】
例1 求极限.
解：.
例2 求极限.
解：.
例3 求极限.
解：.
例4 求极限.
解：
.
【课堂练习】
例1 求极限.
解：.
例2 求极限.
解：.
【问题思考】
已知为常数，且，求的值.
【知识小结】
1、
2、
【课后作业】
习题1.2
5.（1）（3）（5）
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.3函数的连续性
教学目标
理解连续的概念，会判断间断点的类型.
教学重点
连续的概念
教学难点
间断点的类型
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
在许多实际问题中，变量的变化都是连续的，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，如水的连续流动、身高的连续增长、气温的变化等，这些不间断的现象反映在函数中，就是函数的连续性.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
讲练结合
教
学
小
结
知识
小结
1、 连续的概念；
2、 间断点的类型.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题1.3
1. 2.（1）（2）
教学过程：
一、知识回顾
两个重要的极限公式（1） （2） （其中是无理数，）.
二、新课导入
在许多实际问题中，变量的变化都是连续的，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，如水的连续流动、身高的连续增长、气温的变化等，这些不间断的现象反映在函数中，就是函数的连续性.
三、新课内容
1、函数连续的定义
定义1.13 设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续.
定义1.14 设函数在点的某左半邻域（或右半邻域）内有定义（含在内），若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续.
由函数在一点处连续的定义和极限存在的充要条件，有下面的定理：
定理1.8 函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续，即.
若函数在开区间内的每一点都连续，，则称在开区间内连续.若函数在开区间内连续，且在点处右连续，在点处左连续，则称在闭区间上连续.
2、函数的间断点
根据函数在点处连续的定义可知，若函数在点处连续，则必须同时满足下面三个条件：
1）函数在点处有定义；
2）极限存在；
3）极限等于.
当三个条件中有任何一个不成立时，我们就说函数在点处就不连续，此时点称为函数的间断点或不连续点.
设函数在点处间断，我们通常根据在点处的左极限和右极限将间断点分为两大类:
1）若和都存在，则称点为的第一类间断点，它包括可去间断点和跳跃间断点.
（1）可去间断点：和存在且相等（即存在），但不等于或在点处无定义；
注：不论在点处有无定义，但是只要补充定义，就可使在点处连续，“可去”的意义就在于此.
（2）跳跃间断点：在点处左右极限存在，但不相等.
2）若和至少有一个不存在，称点为的第二类间断点，它包括无穷间断点和振荡间断点.
（1）无穷间断点：在点处无定义，且和至少有一个是无穷大；
（2）振荡间断点：在点处无定义，且当时，的值在两个常数间变动无限多次.
【例题精讲】
例1 讨论函数在点处的连续性.
解：因为，，，即
，
所以函数在处连续.
例2 讨论函数在处的连续性.
解：因为，但，即，所以点是的可去间断点.
若改变在处的定义，令，即，也就是，则此时点就是的连续点.
例3 讨论函数在点处的连续性.
解：因为，，所以点是的跳跃间断点.
例4 讨论函数在处的连续性.
解：因为在处无定义，且
，，
所以点是的无穷间断点.
例5 讨论函数在处的连续性.
解：因为在处无定义，且当时，的值在和之间变动无限多次，所以点是的振荡间断点.
例6 讨论函数在处的连续性.
解：因为在处无定义，且
，，
所以点是的无穷间断点.
例7 讨论函数在处的连续性.
解：因为在处无定义，且当时，的值在和之间变动无限多次，所以点是的振荡间断点.
【课堂练习】
例1 讨论函数在处的连续性.
解：因为，但在处无定义，所以是的可去间断点.
若补充在处的定义，令,即，则此时点就是的连续点.
例2 讨论函数在点处的连续性.
解：因为，，所以点是的跳跃间断点.
【问题思考】
设函数，问常数为何值时，函数在内连续.
【知识小结】
1、连续的概念；
2、间断点的类型.
【课后作业】
习题1.3
1. 2.（1）（2）
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第1章 1.3函数的连续性
教学目标
理解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质.
教学重点
闭区间上连续函数的性质
教学难点
闭区间上连续函数的性质
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
数形结合
教
学
小
结
知识
小结
1、初等函数的连续性；
2、闭区间上连续函数的性质.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题1.3
2. 3. 4. 6.
教学过程：
一、知识回顾
1、连续性的概念;
2、间断点的类型.
二、新课导入
基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.
三、新课内容
1、初等函数的连续性
基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.因此，求初等函数的连续区间，就是求其定义区间.
根据初等函数连续性的结论，提供了一个求初等函数极限的简捷方法，即若是初等函数，且是定义区间内的点，则.
关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性.
2、闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质的证明涉及到的知识面很广，在此，我们只给出结论而不予以证明.
定理1.12（最大值和最小值定理）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上必有最大值和最小值.

图1.16
例如，如图1.16所示，函数在处取得最小值，在处取得最大值.
注：（1）若函数只在开区间上连续，则定理1.12的结论就不一定成立.
例如，函数在连续，但它在既无最大值也无最小值.
（2）若函数在闭区间上有间断点（即不连续），则定理1.12的结论也不一定成立.
由定理可以得到下面的推论：
推论 若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上有界.
定理1.13（介值定理）设函数在闭区间上连续，且，则对于与之间的任何数，至少存在一点，使得.
即闭区间上的连续函数，当从变化到时，要经过与之间的一切数值.
推论1 在闭区间上的连续函数必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.
推论2（零点存在定理）设函数在闭区间上连续，且,则至少存在一点，使得.
证明：由可知，与异号，零是介于与之间的一个数，由介值定理可知，在内至少有一点，使得.
推论2中的显然就是方程的一个根，这在解方程时可以帮助我们确定方程根的大体位置或判定方程在某一范围内是否有解.
【例题精讲】
例1 如图所示，函数在闭区间上既无最大值也无最小值.

例2 证明:方程至少有一个实根介于1和2之间.
证明：令，则在上连续.又,，即，由零点存在定理可知，至少有一个实根，使，即，所以方程至少有一个实根介于1和2之间.
【课堂练习】
例1 试证：方程至少有一个实根介于1和2之间.
证明：令，则在上连续.又,
，即，由零点存在定理可知，至少有一个实根，使，即，所以方程至少有一个实根介于1和2之间.
【问题思考】
请问初等函数仅在其定义区间内连续，但在其定义域内一定连续吗？
【知识小结】
1、初等函数的连续性；
2、闭区间上连续函数的性质.
【课后作业】
习题1.3
2. 3. 4. 6.
四、板书设计
课题
一、

二、

三、

课堂练习
例1

例2

重点：

难点：

《计算机应用数学》教案
授课对象
系 别

课时安排
2
年级班次

章节题目
第2章 2.1 导数的概念
教学目标
理解导数的概念，会用导数的概念求导函数.
教学重点
导数的概念
教学难点
导数的概念
教学方法
讲授法
教学用具
黑板、粉笔、多媒体
新
课
导
入
微分学是高等数学的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分，而导数和微分的概念是建立在极限概念的基础上的，其基本任务是解决函数的变化率问题及函数的增量问题.
重
点
与
难
点
讲
解
方
法
讲练结合
教
学
小
结
知识
小结
1、导数的概念；
2、会用导数的定义求导函数.
教后
札记

改进
措施

课
后
作
业
习题2.1
1.（1）
2.
教学过程：
一、知识回顾
极限知识
二、新课导入
微分学是高等数学的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分，而导数和微分的概念是建立在极限概念的基础上的，其基本任务是解决函数的变化率问题及函数的增量问题.
三、新课内容
1、导数的引入——切线问题

图2.1
设曲线是函数的图形，如图2.1所示，求在给定点处的切线的斜率.过点及点引割线，则的斜率为

当沿着曲线C趋向于时，割线的极限位置是直线，这正是曲线在点处的切线.因此，切线的斜率为
.
通过上面的考察看到，函数增量与自变量增量之比表示函数的平均变化率，若当自变量增量趋于零，增量之比的极限存在，则这个极限就是函数曲线过定点的切线斜率.当函数是路程函数时，这个极限就是瞬时速度.下面我们把“增量之比的极限”抽象出来作为导数的定义.
2、导数的概念：函数在点处的导数
定义2.1 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有增量 （）时，相应的函数值有增量，若当时，的极限存在，即
（2.1）
存在，则称此极限值为函数在处的导数，并称函数在处可导，记作：或或或，即
.
若不存在，则称函数在点处不可导；若（导数不存在），为方便起见，也称函数在点处的导数为无穷大.
称为在区间上的平均变化率，导数也称为在处的瞬时变化率（简称变化率）.
由定义2.1可知，前面两个引例中瞬时速度，切线斜率.
3、导函数的概念：函数在区间内的导数
定义2.2 若函数在区间内