大学数学高数微积分二次型课堂讲义.pptx

主要内容 问题的提出问题的提出第一节 二次型及其矩阵表示二次型的定义及矩阵表示二次型的定义及矩阵表示线性替换线性替换合同矩阵合同矩阵 在解析几何中,为了便于研究二次曲线把方程化为标准形的几何性质,我们可以选择适当的角度，作转轴 ax2+2bxy+cy2=f (1)(反时针方向转轴)一、问题的提出变量的二次齐次多项式的化简问题.(1)式的左边是一个二次多项式,从代数学的观点看,化标准的过程就是通过变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.这样一个问题,在许多理论问题或实际问题中常会遇到.现在我们把这类问题一般化,讨论 n 个二、二次型的定义及矩阵表示f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)=)=a a1111x x1 12 2+a a2222x x2 22 2+a annnnx xn n2 2 +2+2a a1212x x1 1x x2 2+2+2a a1313x x1 1x x3 3+2+2a an n-1,-1,n nx xn n-1-1x xn n (3)(3)称为称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称简称二次1.定义定义1 设设 P P 是一数域，一个系数在数域是一数域，一个系数在数域 P P 中中的的 x x1 1,x x2 2,x xn n 二次齐次多项式二次齐次多项式型.2.二次型的矩阵表示设有二次型f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn .令aij=aji,i j.由于xi xj=xj xi,所以二次型可以写成f(x1,x2,xn)=a11x12+a12x1x2+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+a2nx2xn +an1xnx1+an2xnx2+annxn2把上式的系数排成一个 n n 矩阵它就称为二次型的矩阵.因为 aij=aji,i,j=1,2,n,所以A=AT.我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型二次型的矩阵都是对称矩阵的矩阵都是对称矩阵.令因为所以二次型可表示成f f(x x1 1,x x2 2,x xn n)=)=X XT TAX AX.这即为二次型的矩阵表示形式.应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j时 aij=aji 正是它的 xixj 项的系数的一半，而 aii 是xi2 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此还能得到，若二次型f(x1,x2,xn)=XTAX=XTBX且 AT=A，BT=B，则 A=B.例 1 已知二次型 写出二次型的矩阵 A.解 设 f=XTAX,则 例 2 已知二次型写出二次型的矩阵 A.解 设 f=XTAX,则三、线性替换1.定义定义 2 设设 x x1 1,x x2 2,x xn n ；y y1 1,y y2 2,y yn n 是是 两组文字，系数在数域两组文字，系数在数域 P P 中的一组关系式中的一组关系式称为由称为由 x x1 1,x x2 2,x xn n 到到 y y1 1,y y2 2,y yn n 的一个的一个线性 替换，或简称线性替换替换，或简称线性替换.如果系数行列式如果系数行列式|c cij ij|0,0,那么称线性替换为那么称线性替换为非退化的.例如，前面我们讲过的坐标旋转公式是一个线性替换，且所以它是非退化的.2.线性替换的矩阵形式令于是线性替换(4)可以写成或者X=CYX=CY.3.线性替换的性质性质 线性替换把二次型还是变成二次型线性替换把二次型还是变成二次型.证明设有二次型 f=XTAX，和线性替换X=CY，则f=XTAX=YTCTACY=YT(CTAC)Y.=(CY)TA(CY)又因为(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC，所以 f 还是一个二次型.证毕四、合同矩阵1.概念的引入我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型.现在来讨论替换前后的二次型的矩阵之间的关系.设 f(x1,x2,xn)=XTAX，A=AT，是一个二次型，作非退化线性替换 X=CY.得到一个关于 y1,y2,yn 的二次型 YTBY.现在来看矩阵 B与 A 的关系.f(x1,x2,xn)=XTAX=(CY)TA(CY)=YTCTACY=YT(CTAC)Y=YTBY.又因为矩阵 CTAC 也是对称的(前面已证)，由此即得B=CB=CT TAC AC.这就是前后两个二次型的矩阵的关系.2.定义定义 3 数域数域 P P 上的上的 n n n n 矩阵矩阵 A，B 称为合同的，如果有数域，如果有数域 P P 上可逆的上可逆的 n n n n 矩阵矩阵 C C，使，使 B=CB=CT TAC AC.3.性质合同是矩阵之间的一个关系，合同关系有以下性质：1)1)反身性反身性 A=ETAE；2)2)对称性对称性 若 B=CTAC，则 A=(C-1)TBC-1;3)3)传递性传递性 若 A1=C1TAC1，A2=C2TA1C2,则 A2=(C1C2)TA(C1C2).因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的阵与原二次型的矩阵是合同的.这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具.最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的.从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的.一般地，当线性替换X=CY是非退化时，由上面的关系即得Y=C-1X.这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原二次型的一些性质.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.