高考数学一轮复习29函数模型及其应用课时作业理新人教B版1.doc

第9讲　函数模型及其应用

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27

A．一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析　根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案　A
2．(2015·合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是 (　　)

解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
答案　A
3．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 (　　)
A. B．
C. D．－1
解析　设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x＞0，因此x＝－1，故选D.
答案　D
4．(2014·北京东城期末)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 (　　)
A．10 B．11
C．13 D．21
解析　设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝＝x＋＋1.5，由均值不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A.
答案　A
5.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 (　　)

A．10元 B．20元
C．30元 D．元
解析　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，
t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
答案　A
二、填空题
6.(2014·辽宁六校联考)A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，经过________小时，AB间的距离最短．

解析　设经过x h，A，B相距为y km，
则y＝(0≤x≤)，求得函数的最小值时x的值为.
答案　
7．(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24，所以再经过16 min.
答案　16
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

解析　设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.
答案　20
三、解答题
9.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解　设该店月利润余额为L元，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20＜P≤26时，Lmax＝元，此时P＝元．
故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n年后脱贫，
依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．
10．(2014·郑州模拟)已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)．
(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
解　(1)若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，
当θ＝5时，2t＋＝，令2t＝x≥1，则x＋＝，
即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，
此时t＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立．
亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立．
令＝x，则0＜x≤1，∴m≥2(x－x2)，
由于x－x2≤，∴m≥.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

11．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是 (　　)
A. B．
C．2 D．
解析　由题目可知加密密钥y＝kx3是一个幂函数型，由已知可得，当x＝4时，y＝2，即2＝k×43，解得k＝＝.故y＝x3，显然令y＝，则＝x3，即x3＝，解得x＝.
答案　A
12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为 (　　)

A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
解析　由三角形相似得＝.得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案　A
13．(2014·岳阳模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤ 20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．
解析　当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝(x∈N＋)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案　y＝(x∈N＋)　16
14.某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．

(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；
(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．
解　(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，
设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，
当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，
将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.
∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为
y＝－(x－3)2＋4.
(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4
得ah2＝－1，所以a＝－.
由题意，得方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．
令f(x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4，
则f(5)＝－(3－h)2＋4≥0，且f(6)＝－(4－h)2＋4≤0.解得1≤h≤.
达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，]．