初中数学二次函数不同表达式的解答思路分析.pdf

解题技巧与方法 数学学习与研究 初中数学二次函数不同表达式的解答思路分析初初初初初中中中中中数数数数数学学学学学二二二二二次次次次次函函函函函数数数数数不不不不不同同同同同表表表表表达达达达达式式式式式的的的的的解解解解解答答答答答思思思思思路路路路路分分分分分析析析析析张锦霞（福建省沙县区第三中学，福建 三明）【摘要】二次函数既是初中数学的重要内容，也是学习的难点之一作为基本要素之一，二次函数的解析式是打开函数世界的一把关键“钥匙”，因此，解析式的求解是学习的关键与重点常见的二次函数解析式形式有一般式、顶点式、交点式，学生只有掌握所有表达式对应的解题思路和方法，才能够提高解题效率，达到解题的目的文章主要对三种不同的二次函数表达式问题进行分析，通过例题得到一些解题的通法，以便同学们学习和思考【关键词】初中数学；二次函数；表达式；解题技巧二次函数是初中数学很重要的一部分内容，了解二次函数首先应从解析式开始用不同的形式表达函数解析式是最基本的学习要求，如何应用已知条件求解二次函数的不同解析式也是需要熟练掌握的学习内容二次函数的解析式问题属于基础性问题，只有掌握其解题思路才能更高效地解题，在此基础上才能解决其他层次的二次函数难题一、一般式形如 的表达式被称为二次函数的一般表达式，是三种不同表达形式中最基础、最常见的一种形式待定系数法是解答二次函数一般式的常见方法，即找到三组已知的点坐标，将对应的，代入解析式中，通过解三元一次方程组求出具体，的值解答二次函数一般形式解析式的具体步骤为：根据已知条件找到函数上具体的三个点坐标，假设函数解析式为；将坐标中，值代入假设的解析式中，得到三元一次方程组；运算求得，的值，即可得知二次函数的具体解析式例 若抛物线 （）经过点（，），（，），求抛物线的解析式剖析 问题给出已知的三个点坐标，将具体的，值分别代入解析式中得到三元一次方程组，求解得到，的大小，即可得知抛物线的具体表达式解析 将三个点代入 中，可得，解三元一次方程组，可得，故抛物线解析式为 变式 如图，二次函数（）的图像与 轴交于，两点，与 轴交于点，则二次函数的解析式为图 剖析 问题中没有给出明确的坐标，首先，需要结合图形找出函数经过的三个点的坐标，其次，将这些坐标代入解析式 中，解三元一次方程组即可求得函数的一般形式解析式解析由图 可知，二次函数经过（，），（，），（，）三点，将其代入解析式 中，可得，解题技巧与方法 数学学习与研究 解方程组可知，故抛物线解析式为 二、顶点式形如 （）（）的解析式被称为二次函数的顶点式，也是初中数学常见的一种二次函数表达形式求解该解析式需要明确顶点坐标和其他点坐标，将其代入假设的顶点形式解析式中，求得，的大小，即可得知具体的函数解析式求解二次函数顶点式问题的具体步骤为：假设二次函数解析式为（）；根据所给条件和已知图像，将相关点坐标代入假设的解析式中得到方程组；运算求出，的大小，即可得知具体的顶点式表达式例 已知二次函数的最大值是，图像的顶点在直线 上，并且图像经过点（，），求此二次函数的解析式剖析 首先根据已知条件判断函数的顶点坐标，由已知函数有最大值，可得知函数图像开口向下，故结合直线 和最大值可求出具体顶点坐标，将顶点坐标和（，）代入假设的解析式中，运算求得，大小，可得二次函数的顶点式表达式解析假设二次函数解析式为 （）（）二次函数有最大值，函数图像开口向下，顶点的纵坐标为 图像的顶点在直线 上，且，函数顶点坐标为（，）将（，），（，）代入解析式中，可得，故二次函数解析式为 （），即 变式 如图 所示，点，在函数图像上，已知 是边长为 的等腰直角三角形，求该二次函数的解析式图 剖析 假设函数解析式为顶点式，结合三角形的结构特点和已知对称轴求出顶点坐标，将，的具体坐标值代入假设的解析式中，求得，的大小，即可得知具体二次函数解析式解析 如图 所示，二次函数的对称轴为，故假设函数解析式为 （）（）是边长为 的等腰直角三角形，此时点（，），（，），代入解析式中，可得，故二次函数解析式为（），即 变式 如图 所示，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形，点 的坐标是（，），点 的坐标是（，），以点 为顶点的抛物线经过 轴上的点，求函数解析式图 剖析 已知二次函数的顶点是点，故根据平行四边形的性质特点可求出点 的坐标，假设顶点形式的函数解析式，将点 坐标代入解析式中，即可得到答案解析 四边形 是平行四边形，点 的坐标是（，），点 的坐标是（，）假设函数解析式为 （），函数经过点（，），（，），故二次函数解析式为 （），即 三、交点式形如（）（）的解析式被称为二次函 解题技巧与方法 数学学习与研究 数的交点表达式，其中，对应函数与 轴的交点的横坐标作为常见的一种二次函数解析式，求解时需要知道交点坐标和其他任意一点坐标，即可对解析式进行求解求解二次函数的交点形式解析式，具体解题步骤为：假设二次函数解析式为交点形式；根据所给条件找出图像与 轴相交的两点坐标和其他一点坐标；将坐标值代入假设的解析式中，求出，的值，即可求得具体解析式例 已知二次函数经过点（，），（，），（，），试求二次函数解析式剖析 首先对二次函数解析式进行假设，由于已知其与 轴相交的具体交点坐标，故，的值可求得，其次将（，）代入解析式中求出 的值，即可求得函数解析式解析假设二次函数解析式为 （）（）（）（，），（，）在二次函数上，将（，）代入解析式（）（）中，可得（）（），解得，二次函数解析式为（）（），即 变式 已知一元二次方程 的两个实数根，且，若，分别是抛物线（）与 轴的两个交点，的横坐标（如图），且抛物线与 轴交于点（，），求抛物线的具体解析式图 剖析 因为抛物线与 轴相交的两点横坐标对应方程的两个实数根，所以首先假设抛物线解析式为交点形式，解方程求出两个交点横坐标，代入解析式中求得，的值，其次根据点（，）求出 的值，即可得知抛物线的具体解析式解析假设二次函数解析式为 （）（）（），是方程 的两个实数根，（）（），（）（）（）（）经过点（，），（）（），解得，抛物线解析式为（）（），即 变式 已知抛物线 与 轴的两个交点为（，），（，），且 ，求此抛物线的解析式剖析 已知抛物线与 轴有两个交点，首先根据给出的交点坐标之间的关系分析对应坐标值，然后将坐标代入解析式中，展开解析式并化简得到最终解析式解析 由，可得，代入，可知，解得，故，（，），（，）函数（）（）经过（，），（，），函数解析式为（）（），即此抛物线解析式为 上述例题的分析分别展示了二次函数解析式求解的不同思路，每一种表达形式需要的已知点坐标各不相同，在学习过程中，同学们需要结合其他知识点求坐标具体值，这是必须掌握和学习的重点内容因此，熟练掌握基本知识点并明确假设的函数解析式表达形式，是求解函数解析式问题的基础与关键【参考文献】何光源 浅谈求二次函数的解析表达式甘肃联合大学学报（自然科学版），（）：李大平 课堂随笔：灵活运用二次函数的表达式求二次函数的解析式 新课程学习（上），（）：李代莉 浅谈巧设二次函数的表达式 中学数学教学参考，（）：