垂径定理在解圆内三角形问题中的应用.pdf
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1、例题精讲垂径定理在解圆内三角形问题中的应用冒奕敏(江苏省南通市崇川区北城中学 2 2 6 0 0 0)【摘要】垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理是初中数学几何中解圆与三角形问题中经常运用到的一条定理,既考查了学生的抽象思维,也考查了学生的数形结合能力,要求学生能够在圆的半径、弦心距、弦的一半中选择正确的线段,构造出直角三角形,然后结合勾股定理,求出所需的线段长度.本文列举三道例题,介绍垂径定理在解圆与三角形结合的线段长问题中几种常见的考查方式,并给出分析思路和解题过程,希望可以帮助学生们对垂径定理的应用有更深的了解,对抽象思维和数形结合方法有更全面的认识.【关键词】圆;三角
2、形;垂径定理在运用垂径定理计算圆与三角形的问题中,计算或证明圆心到弦的垂线段、弓高、半径或弦长时,通常需作出圆心到弦的垂线段,垂足就是弦的中点,再利用半径、弦心距和弦长的一半,构造出直角三角形,结合勾股定理进行求解.例1 已知圆O的半径长为2 6,圆内有A B和C D两条弦,A BC D,且A B的长为4 8,C D的长为2 0,求弦A B与弦C D之间的距离为多少?解题思路 本题要求计算的是两弦之间的距离,证明圆心到弦的垂线段、弓高、半径或弦长时,首先要根据题目已知条件和所求问题,作出正确的辅助线,通常作圆心到弦的垂线段,以半径、弦的一半、弦心距为三边构造一个直角三角形,再利用勾股定理即可进
3、行求解.注意,本题需要考虑弦A B、C D在圆心的同侧还是异侧.解 因为弦A B与C D相对于圆心的位置有两种可能,所以需要分类讨论.第一种情况,当两弦在圆心的同侧时,如图1所示.过点O作O EC D于点E,交A B于点F,因为A BC D,所以E FA B,图1 图2则线段E F的长等于弦A B与C D之间的距离.C D=2 0,所以D E=12C D=1 0,由题目可知O D=2 6,在R t O E D中,由勾股定理有O E=O D2-D E2=2 4,同理B F=12A B=2 4,在R t O F B中,由勾股定理有O F=O B2-B F2=1 0,所以E F=O E-O F=1
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