数学建模时间序列方法.pdf
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1、9.2随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性 二、随机时间序列模型的平稳性条件 三、随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验经典计量经济学模型与时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列 模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性1、时间序列模型的基本概念随机时间序列模型(time series modeling)是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型,其一般形式为Xt=F(Xt,1?X_2,,建立具体的时间序列模型,需解决如下三个问题:(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如,取线性方程、一期滞后以及白噪
2、声随机扰动项(出二%),模型将是一个1阶自回归过程AR(1):Xt=(pXji+8t这里,、特指一白噪声。一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=(PlXt-l+P2Xt-2+(PpXt-p+也(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(%=%),则称(*)式为一纯AR(p)过程(pure AR(p)process),记为Xt=(PiXt/+(p2Xt_2+.+q)pXt_p+。(2)如果也不是一个白噪声,通常认为它是一个q 阶的毯动平南(moving average)过程MA(q):m=4。声 t-l%加2 0qSt-q该式给出了 一个纯MA(q)过程(pure MA(p)process)。将纯A
3、R(p)与纯MA(q)结合,得到一个一般的自回归移动平均(autoregressive moving average)过程 ARM A(p,q):Xt=(PlXt-l+(P2Xt-2+(PpXt-p+F _ 0lSt-l-。2京2 0qSt-q该式表明:(1)一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成,即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。(2)如果该序列是平稳的,即它的行为并不会随着时间 的推移而变化,那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。2、时间序列分析模型的适用性 经典回归模型的问题:迄今为止,对一个时间序列
4、xt的变动进行解释或预测,是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的,由于它们以因果关系为基础,且具有一定的模型结构,因 此也常祢为结构式模型(structural model)o 然而,如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因 素,如气候、消费者偏好的变化等,则利用结构式模型来 解释Xt的变动就比较困难或不可能,因为要取得相应的量 化数据,并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时,即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方 程,但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困 难,甚至比预测被解释变量的未来值更困难,这时因果关 系的回归模型及其预测技术就不适用了。在这些情况下,我们采用另
5、一条预测途径:通过时间 序列的历史数据,得出关于其过去行为的有关结论,进而 对时间序列未来行为进行推断。例如,时间序列过去是否有明显的增长趋势,如果增长 趋势在过去的行为中占主导地位,能否认为它也会在未来的行 为里占主导地位呢?或者时间序列显示出循环周期性行为,我们能否利用过去 的这种行为来外推它的未来走向?随机时间序列分析模型,就是要通过序列过去的变 化特征来预测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于:如果经济理论正确地阐释了现实经济结构,则这一结 构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的 形式。例如,对于如下最简单的宏观经济模型:Yt=Ct+It这里,Ct、I
6、 t、Yt分别表示消费、投资与国民收 入。Ct与Yt作为内生变量,它们的运动是由作为外 生变量的投资It的运动及随机扰动项戊的变化决定 的。上述模型可作变形如下:a=-Gi+;+:L+山一/一/一/l-ar2 7 0 1 r 42/1Y=-Y H-1-11-11 1 H-NtI 4 r1 4 4 I 4 f1 4 t Il-a1 l-a1 l-a1 l-a1 l-a1两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分 可看成一个综合性的随机扰动项,其特征依赖于 投资项I t的行为。如果L是一个白噪声,则消费序列Ct就成为一 个1阶自回归过程AR(1),而收入序列Yt就成为一 个(1,1)阶的自回归移动平均
7、过程ARMA(1,1)。二、随机时间序列模型的平稳性条件1、AR(p)模型的平稳性条件自回归移动平均模型(ARMA)是随机时间序列分析模 型的普遍形式,自回归模型(AR)和移动平均模型(MA)是它的特殊情况。关于这几类模型的研究,是时间序列分析的重点内容:主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。随机时间序列模型的平稳性,可通过它所生成的随机时间 序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的,就说该AR(p)模型是平稳的,否则,就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p)Xt=(PlXt-l+P2Xt-2+.+(PpXt-p+。(*)引入滞
8、后算子(lag operator)L:LXt=Xt_pPXt=Xt.2,.,LPXt=Xt.p(*)式变换为(1押/一(p2L2-._PpLp)Xt=st记(L)=(l-(pL-(p2L2-.-q)pLp),则称多项式方程(z)=(Ip/-(p2z2-.-(ppzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。可以证明,如果该特征方程的所有根在单位圆外(根的模大于1),贝!JAR(p)模型是平稳的。例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)X,=阳t+J方程两边平方再求数学期望,得到Xt的方差E(X;)=(p2E(X;_)+E(e;)
9、+2E(X,t)由于Xt仅与曾相关,因此,E(Xt_R)=O。如果该模型稳 定,则有E(Xt2)=E(Xt/2),从而上式可变换为:在稳定条件下,该方差是一非负的常数,从而有 l(pllo而AR(1)的特征方程(z)=1-舔=0的根为 Z=l/(pAR(1)稳定,即kplvl,意味着特征根大于1。例9.2.2 AR(2)模型的平稳性。对AR(2)模型Xt=.XT+(p2Xt_2+t方程两边同乘以xt,再取期望得:Xo=91/1+02/2+(X 片)又由于E(XG=(pE(X.CE(X.2t)+E)=.于是2Xo=91/1+02/2+1同样地,由原式还可得到71=0%+Y1=(P1/1+。2九于
10、是方差为二 _(1一。2届(1+(p2)(1-(px。2)(1+。1 一。2)由平稳性的定义,该方差必须是一不变的正数,于是有(pl+(p2 l,(p2-(pll,I(p2 ll这就是AR(2)的平稳性条件,或称为平稳域。它是一顶点 分别为(-2,-1),(2,-1),(0,1)的三角形。图9.2.1 AR(2)模型的平稳域AR(2)模型Xt=/Xi+(p2Xt_2+t对应的特征方程(p2 z2=0的两个根Z2满足:z1z2=-l/(p2,Z1+Z2=-(Pi/(p2解出6,我 1 Z1+Z292=-5=-由AR(2)的平稳性,l(p2l=l/|Z11|z2l1,有+。2=-=)0Zi Z2于
11、是1z2 llo由r2 一 6 vl可推出同样的结果。对高阶自回模型AR(p)来说,多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根,但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性:(l)AR(p)模型稳定的必要条件是:(Pl+(P2+.+(Ppl(2)由于R(=1,2,p)可正可负,AR(p)模 型稳定的充分条件是:|(p1|+|(p2|+.+|(pp|l2、MA(q)模型的平稳性对于移动平均模型MR(q):Xt=t-0lt-l-加2 0qt-q其中、是一个白噪声,于是E(XJ=E4矶之)q矶%)=o7o=var(Xj=(l+.+)或.=cov(X,Xi)=(/+d+)或小=cov(X,
12、X,)=(-%+叫位当滞后期大于q时,Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。3、ARMA(p,q)模型的平稳性由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合:Xt=(PlXt-l+(P2Xt-2+(PpXt-p+15-1 一优加2 0qt-q而MA(q)模型总是平稳的,因此ARMA(p,q)模型的平 稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时,则该ARMA(p,q)模型是平稳 的,否则,不是平稳的。最后(1)一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机 过程或模型;(2)一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方 法将它变换为平稳的,对
13、差分后平稳的时间序列也可找出对 应的平稳随机过程或模型。因此,如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分,将 它变为平稳的,然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的 组成模型,则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移 动平均(autoregressive integrated moving average)时 而用歹记为ARI MA(p,d,q)。例如,一个ARI MA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前 先得差分一次,然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模 型的。当然,一个ARI MA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过 程;一个ARI MA(0,0,q)表示一
14、个纯MA(q)平稳过程。三、随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别,就是对于一 个平稳的随机时间序列,找出生成它的合适的随 机过程或模型,即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关里数(autocorrelation function,ACF)及偏自相关函 数(partial autocorrelation function,PACF)。1、AR(p)过程(1)自相关函数ACF1阶自回归模型ARX 尸(pXtj+8t的k阶滞后自协方差为:九二(乂心(密 i+=(pkyQ k=1,2,.因此,AR(1)模型的自相关函数为
15、Pk=八0=9k k=1,2,.由AR(1)的稳定性知1(plvL因此,kfoo时,呈指数形 衰减,直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆(infinite memory)。注意,cpvO时,呈振荡衰减状。2阶自回归模型AR(2)Xt=(PXt_+P2 Xt_2+8t该模型的方差%以及滞后1期与2期的自协方差力,丫2分别为/0=91/1+02/2+0Xi=9%+02%/2=91/1+。2九类似地,可写出一般的k期滞后自协方差:九二E(Xt(9-2Xt2-I-2 t)二。1九i+。2一2(K=2,3,.)于是,AR(2)的k阶自相关函数为:Pk 9Pk-+。2夕左一2(K=2,3,.)
16、其中:P1=P1/(1 呻2),Po=1如果AR 稳定,则由(pi+(p2l知I Pk I衰减趋于零,呈拖尾 状。至于衰减的形式,要看AR特征根的实虚性,若为实根,则呈单调或振荡型衰减,若为虚根,则呈正弦波型衰减。一般地,p阶自回归模型AR(p)Xt=WlXt_+(P2t-2+甲pXjp+tk期滞后协方差为:Yk=E(XkX-i+(p2Xt_2+9pXj+j)=。2 九一2+0php从而有自相关函数:Pk=91X4-1+(PiPk-2+WpPkp可见,无论k有多大,Pk的计算均与其1至M阶滞后 的自相关函数有关,因此呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的,则I pk I递减且趋于零。事实上,自相关函
17、数pk=5Pdk2+*pPkp是一p阶差分方程,其通解为Pkfcli=l其中:I/4是AR(p)特征方程(z)=0的特征根,由AR(p)平稳的条件知,1p,4与Xjk间的 偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时,pk*=Corr(Xt,Xt_k)=0即Pk*在P以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则:若Xt的偏自相关函数在p以后截尾,即kp时,Pk*=O,而 它的自相关函数P1是拖尾的,则此序列是自回归AR(p)序 列。需指出的是,在实际识别时,由于样本偏自相关函数几*是总 体偏自相关函数Pk*的一个估计,由于样本的随机 性,当kp时,0*不会全为。,而是在。的上下波 动。但可以
18、证明,当kp时,以*服从如下渐近正态 分布:%*N(O,l/n)式中n表示样本容量。因此,如果计算的几匆茜足I rk lY=我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截 尾。2、MA(q)过程对MA过程Xt=j可容易地写出它的自协方差系数:九二(1+/)近八=-既r2=二0于是,MA(1)过程的自相关函数为:0 Pl (1+l时,pk0,即4与Xt.k不相关,MA自 相关函数是截尾的。MA(1)过程可以等价地写成又关于无穷序列人,Xi,的线性组合的形式:8t=Xt+3Xt_1+02Xt_2+或 X t=X-k x-2+J(*(*)是一个AR(oo)过程,它的偏自相关函数非截1尾但却 趋于零
19、,因此MA的偏自相关函数是非截尾但却趋于零 的。注思:(*)式只有当101Vl时才有意义,否则意味着距Xt越远的X 值,对Xt的影响越大,显然不符合常理。因此,我们把191 qI相应的自相关函数为f 1 当上=04二2=(-+昨也)/(1+4+彳)Ik q可见,当kq时,工与X/不相关,即存在截尾现象,因此,当kq时,pk=0是MA(q)的一个特征。于是:可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0 来判断MA(q)模型的阶。与MA(1)相仿,可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是 非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则:若随机序列的自相关函数截 尾,即自q以后,Pk=。(kq);而它的偏自
20、相关函数是拖 尾的,则此序列是滑动平均MA(q)序列。同样需要注意的是:在实际识别时,由于样本自相关 函数也是总体自相关函数Pk的一个估计,由于样本的随机 性,当kq时,见不会全为。,而是在0的上下波动。但可以 证明,当kq时,以服从如下渐近正态分布:“N(O,l/n)式中n表示样本容量。2因此,如果计算的1满足:=我们就有95.5%的把握判断原时间序列在q之后截尾。3、ARMA(p,q)过程ARMA(p,q)的自相关函数,可以看作MA(q)的自相关函数 和AR(p)的自相关函数的混合物。当片0时,它具有截尾性质;当q=0时,它具有拖尾性质;当p、q都不为0时,它具有拖尾性质从识别上看,通常:
21、ARMA(p,q)过程的偏自相关函数(PACF)可能在p阶滞 后前有几项明显的尖柱(spikes),但从p阶滞后项开始逐渐 趋向于零;而它的自相关函数(ACF)则是在q阶滞后前有几项明显 的尖柱,从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。表9.2.1 ARMA(p,q)模型的ACF与PACF理论模式模型ACFPACF白噪声Pk=OA=AR(p)衰减趋于零(几何型或振荡型)P阶后截尾:Pk,kPMA(q)q阶后截尾:,pk=0,kq衰减趋于零(几何型或振荡型)ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零(几何型或振荡型)p阶后衰减趋于零(几何型或振荡型)图9.2.2 ARMA(p,q)模型的ACF与P4CF理论模式A
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