数学竞赛之平面几何知识点及例题.pdf
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1、第一部分【几个著名定理】1.梅涅劳斯(Mee/ss)定理设AA8C的边AB,BC,CA或其延长线分别交于点P,Q,H,且 有奇数个点在边的延长线上(如图)则P,Q,R三点共线的充要条12.塞瓦定理:设月、。、R分另U是AABC的5。、CA、AB边上的点,且有偶数个点在延长线上,贝必尸、B。、CR三线共点的充要条件是:=1PC QA RBBCQ23.托勒密定理:定理:四边形ABCD中,有:AB CD+AD BC AC BD并当且仅当四边形ABCD内接于圆时,等号成立。34.西姆松定理:尸是AA3C的外接圆。上的 任意一点,PE_LA&PD上BC,PFLCA.垂 足为E、D、F,贝I E、D、尸三
2、点共线.西姆松的逆定理:从一点P向AABC的三边(或延 长线)作垂线,若其垂足L M,N在同一直线上,则点尸在AA5c的外接圆上。4例1.以ABC的底边BC为直径作半圆,分别与AB、AC交于点D和E,分别过D、E作BC的垂线,垂足依次为F、G,线段 DG和EF交于点M,求证:AMBC(IMO-37国家队选拔题)ACB5证法一:设直线AM与BC交于H,连结BE,CD,则知/BC=/BQC=90,直线FME与AC相截,直线GMD与ABH相截,由梅氏定理得:AM HF CE 1 AM HG BD 1 =I,=1MH FC EA MH GB DA两式相除得FH _CF AE BD HG CE BG D
3、A在 RtADBC 与 RtZXEBC 中,有3=BC-FC,B=BCBG喑等代入上式得黑管嘿器ad mXaabe-aacd,有把代入上式得AE BEFH CD BD S DF DM而一前&一法一砺Za/L)C,从而 MH/DF,MDF1BC,则 MHLBC,故 AM1BC6证法二:作高 AH,连 BE,CD,贝石C=N5Z)C=90于是 DF=BD sin/B=BC c os NB-sin NB,EG c os ZC sin ZC匚亡 2 DF DM sin ZB-c os ZB AC c os ZB所以_二_EG MG sin Z C-c os Z C AB c os Z C又 BH=AB
4、-c os ZB.HG=AE c os ZC匚亡2 BH AB-c os ZB AC-c os ZBHG AE-c os Z C AD-c os Z C口口 BH AC DM AB DM ABHG AD MG AC MG AD田 BH GM DA i故-二1HG MD AB对5OG应用梅氏定理逆定理,知H,M,A三点共线 由 AH_LBC,故 AM_LBC7例2.如图,在锐角三角形ABC的5c边上有两点E、F,满足/氏4/=/。尸,作FNLAC(M、N是垂 足),延长AE交三角形A5c的外接圆于。.证明:四边形AMDN与三角形A5C的面积相等.D8证明:ZBAE=ZCAF=a,/EAF=(3则
5、 S amdn=_ AM.AD sin cr+AD AN sin(c r+/7)/、/xiviuiy=;ADAF c os(c r+/?)sin a+AF c os a sin(c r+/?)1 AF=-ADAF sin(2o+尸)=诋 A。5C3AAg c=AFsin(a+/?)+!ACAFsin c rAF二(ABCD+ACBD)47?由托勒密定理可知:ABCD+ACBD=AD-BC成上。,故结论9例3.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆 相交于一点,且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直 线上已知:四条直线AB,B C,CD,DA中,AB交CD于 点E,B C交AD于点F求
6、证:AADE,AABF,ABCE,ACD尸的外接圆相交于一 点,且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。10证明:如图,设四条直线AB、BC、CD、中,AB交CD十点、E,3。交AD于点巴圆3CE与圆COb的另一个交点为GZBGF=ZBGC+ZCGF=ZBEC+A CD AZBGF+ZA=180,即圆43斤过点 G同理圆AED也过点G.圆3CE、圆CD/、&ABF,圆交于同一点G若点G向AB、BC、CD、D4所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P,由西姆松定理可知L、M.N在一条直线上,“、N、P在一条直线上,故、M.N、尸在同一条直线上11例4.若两个三角形的对应顶点的连线交于一点,则对
7、应边 所在的直线交点必共线。(笛沙格定理)0M已知:若AiBiCi与AAzB2c2的对应顶点连线AiA2 BiB2C1C2相交于一点0,则对应边B1C1与B2c2的交点K、CiAi 与C2A2的交点L、AiBi与A2B2的交点M共线。12证明:观察三角形CiBiO,可以看出,K、B2 C2分别在CiBi、BQ、OCi或其延长线上,且B2、K、C2三点共线,根据梅涅劳斯定理可得:咨型,吆=iKB】B20 C2 G同理:观察三角形OBiAi,根据梅涅劳斯定理可得:AXL BB?0A2-=1LB】B20 A2A1观察三角形OA1C1,根据梅涅劳斯定理可得:0G 二 1MA,A20 C2G-以上三式相
8、乘得:工匹里丝=iKB】LAX MCX可以看到,在三角形BiAiCi中,L、K、M分别在AiBi、BiCi、CiAi或其延长线上,根据梅氏定理的逆定理,可判 断L、K、M共线。第二部分【三角形五心研究】一些重要结论:一、外心:(1)O为三角形外心的充要条件:ZBOC=2ZA,ZBOA=2ZC,NA0C=2NB(钝角三角形中为:ZBOC=360-2ZA,角A为钝角,如下右图);或 OA=OB=OC;(2)外心与顶点的连线与其中一边的夹角与该边所对的角互余(如上 左图),即NOBC+NA=9014二、重心三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心;重心将每条中线都分成定比2:1;中线长度公式AD=-S
9、ac?+2AB?-BC?2重心的性质:G为的重心,则 ga2+gb?+gc2=;(AB2+BC2+CA2)15二、垂心三角形三条高的交点,称为三角形的垂心。由三角形的垂 心造成的四个等(外接)圆三角形,给我们解题提供了极大的便 利。4性质:(1)ZBHC=180-ZA=ZB+ZC(2)H为垂心,则H,A,B,C四 点中任一点是其余三点为顶点的三角形 的垂心(称为一垂心组,且一垂心组的 四个外接圆的圆心组成另一个垂心组,与原垂心组全等。)“D(3)设ABC的三条高线为AD,BE,CF,其中D,E,F分别为垂足,H为垂心,则对于A,B,C,H,D,E,F有六组四点共圆,有三组相似三角形,且AHHD
10、=BH HE=CH HF16(4)0 是外心,H 是垂心,贝ljNBAO=NHAC,ZABO=ZHBC(5)H关于三边的对称点在AABC的外接圆上,关于三边中点的对称点在ABC的外接圆上(6)三角形任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的2倍。(7)设A5C的垂心为H,外接圆 半径为R,nt l HA HB HC贝-=-=-=27?|c os A|c osB|c osC|17四、内心三角形内切圆的圆心,简称为内心(三角平分线的交 点)。性质:(1)张角公式NBIC=90+1NA;(2)设/为ABC的内心,射线A/交A5C外接圆于 4,则有A 换言之,点4必是A/C之外心(内心的等量关系之逆
11、同样有用).18(3)设/为5c 的内心,BC=a,AC=8,AB=c,NA的平分线交BC于K,交A5C的外接圆于点D,则 AI AD _ DI _b+cKI DI DK aD(4)ADEF为切点三角形,贝lj AD=AF=p-Q,BD=BF=pd,CE=CF=p-c19五、旁心1 1(1)ZBIaC=90-ZA,ZBIbC=ZBIcC=ZA(2)设AIa的连线交ABC的外接圆于D,贝 UDIa=DB=DC20例1.过等腰ABC底边5C上一点尸引尸”C4 交于M;引产N氏4交AC于N.作点尸 关于MN的对称点P.试证:P点在ABC外 接圆上.21分析:由已知可得 NP=NP=NC,故点M是AP
12、BP的外心,点N 是PPC的外心。有NBPP=,zbmp=-zbac,2 21 1/PPC=ZPNC=-ZBACo 2 2/BPC=/BP,P+/PPC=/BAC.点与A,B,C共圆、即P在ABC外接圆上.由于PP平分NBPC 显然还有PRPC=B尸:尸C22例2.如图,设圆O是A5C的内切圆,BC,CA,AB上的切点各是D,E,F,射线DO交EF 于A同样可得B C试证:直线AA BB CC共点。23证明:连结A,B,AC,易知B、D、0、F及C、D、0、E分别四点共圆。得:ZA,0F=Z5,ZAf0E=ZC,AF ON 0A1 AE由_sin ZA1 OF sin ZOFA1 sin ZO
13、EA1 sin ZAOE,A!F sin ZA1 OF sin B AC r H_AE sin ZAfOE sin C ABAWAB F=AC E,又NAFE=NAEF故 Saaba-sin ZAFE AB F2=-sin ZAEF ACE=SAAca52由此式可知直线AA必平分BC边,即AA必过ABC的重心同理BB CC必过ABC的重心,故结论成立。24例3,设ABC的三条高线为AD,BE,CF,自A,B,C 分别作 AKLEF 于 K,BLLDF 于 L,CNLED于N,证明:直线AK,BL,CN相 交于一点。25证明:设ABC的垂心为H,由AKLEF,CF1AB,知 ZFAK=ZEFH,
14、注意到A,F,H,E四点共圆,知NFAK=NEAH,知A0与AK重合。同理B0 与BL重合,CO与CN重合,故AK,BL,CN 三线共点于AABC的外心O.ABDC26例 4.如图,在ABC 中,AB=4,AC=6,BC=5,ZA的平分线AD交ABC的外接圆于K,A8C的外心,内心分别是O,I,求证:OILAK。A27证明:连结KO并延长交圆0于E,连结AE,FK贝 lNKAE=90,=2OK因为I是ABC的内心,由内心性质可知AK AB+AC-=-=2IK BC于是 OI/AE,从而NOIK=NKAE=90,故 OILAK28例5.如图,设点M是ABC的边BC的中点,I是其内 心,AH是BC
15、边上的高,E为直线IM与AH的 交点,求证:AE等于内切圆半径r。29证明:设点P为内切圆与边BC的切点,连IP,设BC=”,CA=b,AB=c,贝MC=-a,PC=叱,2 2a2+b2-c2HC=AC c osC=-2a由 ALMP s AEMH,后 EH HM MC-HC a-2HC b+c-二-二-二-二-IP PM MC-PC c-b a立 c c Z 1 x r tr r AH a+b+c又 AH a=2 5AA5c=r(a+Z?+c)BP-=-aFH h+c再由 J=,及AE=AH-EH,r a士 AE AH EH a+b+c b+c.有一=-=-=1raa故 AE=r30例6.设
16、圆。是ABC的BC边外侧的旁切圆,D,E,F分别是圆。与BC,CA,AB所在直线的切点,若 0D与EF相交于K,求证:AK平分BC。31证明:过K作BC的平行线分别交AB,AC于N,M。连0E,OF,OM,ON由K,O,E,M四点共圆;O,K,F,N四点共圆,有NOME=ZOKE=ZONF,而 OE=OF,且NOEM=NOFN=90。故 RtAOEMZ RtAOFN,从而 OM=ON在等腰AOMN中,OK为底边MN上的高,从而NK=KM,即K为MN的中点,而BC/MN,故AK平分BCA例7.在AABC中,NA=60,ABAC,点0是外心,两条高BE,CF交于H点,点M,N分别在线段BH,HF上
17、,且满足BM=CN,求MH+NH的值。0H33解:如图在 5石上取BK=CH,连结OB、0C、0K由外心的性质 ZBOC=2-ZA=120 由垂心的性质 ZBHC=180 -ZA=120.ZBOC=ZBHC:.B、C、H、。四点共圆。Z OBH=Z OCH又OB=OC,BK=CH NBOK=NCOH Z BOK=Z COH,OK=OH ZKOH=ZBOC=120,Z OKH观察OKH有:KH OH sin 120 -sin 30 贝IKH=孤OH又BM=CN,BK=CHKM=NH:.MH+NH=MH+KM=KH=G 0H故MH+NHOH34第三部分【圆的研究】【圆幕定理】已知:如图,圆。的两条
18、弦A3、相交于一点尸.求证:PA PB=PC PD.L35故从一定点P引直线与定圆。交于两点A、B,(A B 可能重合为一个点),(记OP=d)则PA PB等于点P对于。的寨:屋一产 0,尸在圆外尸的累=0,尸在圆上0,尸在圆内所以上面的几个定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理 及切线长定理)也统称圆塞定理.36【根轴的性质】定义:【根轴】对已知两圆有等事的点的轨迹,是一条垂直 于连心线的直线。这条直线称为两圆的根轴或等幕线。37性质1:两圆相交,其根轴就是两圆公共弦所在直线。已知:两圆O与O1相交于点4、与,求证:直线A6上的点到两圆的幕相等.证明 点A、6对于两个圆的幕都等于0,故点A、
19、6对两个圆等幕.设尸为线段上任意一点.过尸取圆O的弦8及圆5的弦EF,由相 交弦定理,有PC PD=PA PB=PE PF,/、即点P对于圆O及圆Oi的幕相等.设P为6A(或A5)延长线上任一点,过 nH 叱口.oP作圆O的任一割线PMN,及圆Oi的割线PMNi,由切割线定理,有)1PM PN=PA P B=PMiPNi,故点P对于圆O及圆Oi的幕相等.所以,直线A6上的点到两圆的幕相等.注意:直线称为两圆的根轴.(根轴:到两圆等赛的点的轨迹)38性质2:两圆相切,其根轴就是两圆公切线所在直线。性质3:三个圆,其两两的根轴或相交于一点,或互相平行。性质4:两圆相离,则两圆的四条公切线的中点在根
20、轴上。39【相交两圆的性质】性质1:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。性质2:相交两圆的公共弦所在直线平分外公切线线段。性质3:过相交两圆的两个交点分别作割线,交两圆于四点,同一圆上的两点的弦互相平行。性质4:相交两圆的内接三角形(以一交点为顶点,过另一 交点的割线为对边的三角形)相似。40例1.(坳汨定理)设三角形的 为心外心与内心的距离为d,省数学竞赛)卜接圆半径为几内切圆半径 贝1屋=尺2一2尺八(1992年江苏41分析改写此式,得:/-*=2笈,左边为圆塞定理的表达 式,故可改为过/的任一直线与圆交得两段的积,右边则为。的直径与内切圆半径的积,故应添 出此二者,并构造相似三角形来证 E
21、一明,证明:如图,0、/分别为/A5C/的外心与内心.连4/并延长交。0/于点。,由4平分/历LC,故。为 1 I弧5C的中点.连。并延长交。0 j;-c于E,则DE为与BC垂直的的,、L/直径.由圆幕定理知,D产-心=(尺+4)便-d尸7A/0.(作直线01 与。交于两点,即可以证明)但DB=DI(可连 出,证明ZDBI=ZDIB得),故只要证 2Rr=IA DB,即证2R:DB=IA:r即可.而这个比例式可由/AF/s/ebD证得.故得正屋=2尺八 即证.42例2.设点尸是。外一点,PAB,尸CD是两条割线,AD9交于点。,延长80,AC交于点R,求证:PQ2=P的恭+Q的塞;PR2=P的
22、幕+R的赛RDB43证明:延长PQ至N,使得P0QN=30QC于是P,N,B,C四点共圆所以 ZPNC=ZPBC=ZPDA,于是Q,N,D,C四点共圆所以PQ PN=PCPD-得PQ2=PC PD-BQ QC=P的幕+0的幕 又在PR上找一点M,连结CM,满足/PAC=/CMR=/CDB,于是P,A,C,M四点共圆;M,C,D,R四点共圆,RMRP=RCRA;PM PR=PC PD两式相加得:刊?2=尸的事+R的幕.44【两个典型模型工。的内接四边形ABCD中,AB,DC 延长后交于点E,AD,BC延长后交于点F,AC,BD交 于点P(不与0重合),证明:OPLEF,并讨论四边形 ABCD是圆
23、外切四边形的情形。证明:设圆0的半径为R,则PE2-PF2=(E的累+P的幕)-(F的幕+P的哥尸E的哥-F的募=(OE2-R2)-(OF2-R2)=OE2-OF2,故 OPLEFA AE45例4.如图,已知两个半径不相等的。Oi与。2相交于V、N两点,且。0、。2分别与。内切于S、T两点。求证:的充分必要条件是S、N、T三点共线。(97年高中数学联赛试题)S46证明:连OS,OT,ST,作公切线SP,TP相交于P,则得PS=PT,由此即知自点P向。Oi与。O2所作切线长相等,故点P在这两圆。Oi与。2的根轴上,且有PS?=PM PN连OP交ST于点Q,贝lj OP1ST,KPQ PO=PS2
24、=PN PM,故O,Q,N,M四点共圆。由此即有 OMLMNo OQQN/、ON在直线ST上/o S、N、T三点共线 M z1Z(1、丫47例5.四边形ABC。内接于圆,其边A5与OC延长交于点 P,AD,BC延长交于点。,由。作该圆的两条切线QE、QF,切点分别为E、F,求证:尸、E、F三点共线.(1997 年中国数学奥林匹克)48证明连尸。,作。QOC交尸。于点 贝叱Q-CD4=NC5P,于是、C、由 圆塞定理:P027=PCPD=PMPQ,QO2-r2=QCQB=QMQP,两式相减,得 PO2-QO2=PQ(PM-QM)=(PM+QM)(PM-QM)=PM2-QM2,:.OMLPQ.:.
25、0、F、M、Q、七五点共圆.连形,若尸石交。于/i,交60FM 于点B,贝I对于。0,有PFtPE=PCPD,对于。尸m,pf2pe=pcpd.B、P四点共圆.APFvPE=PFrPE,即/i与B重合于二圆的公共点?即P、F、石三点共线.第四部分【从调和点列到完全四边形到Apollon ius圆到极线极点】调和点列:设两点C,D内分与外分同一线段AB成同一比例,即Ar AD=一,则称点c,D调和分割线段AB,或称A,B,C,DCB DB为调和点列。若从直线外一点P引射线PA,PB,PC,PD,则称该线束为调和 线束,且PA与PB共甄,或PC与PD共趣。定理2调和点列常见形式:(0为CD中点)2
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