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第一章矩阵和行列式 课程名称：工程数学X1_ 任课教师：谭艳春(15812355323).授课班级：通信 1101、1102、1103、11041.1矩阵的概念1.5可逆矩阵及应用举例51.6分块矩阵矩阵和行列式、矩阵的概念 在工程技术和经济工作中有大量与矩形数表有关的问题.例1.1力达公司生产甲，乙，丙三种产品，它们的生产成本由原材 料费用,人工费用和其他费用三项构成.表给出了每种产 品的每项费用的预算（单位:百元）.产品 生产成本甲乙丙1.原材料1030202.人工3453.其它费用122矩阵和行列式如果将上表中主要关心的对象一.数据，按原来次序排列成矩形数表，并加 上括号以表示这些数据是一个整体，就得到矩阵 10 30 20)A=3 4 512 2,定义L1由mxn个数为(i=l,2,，m;j=l,2,，n)排成m行n列的 矩形数表(a a a、“ll L2 l 九“21 a 22.。2口 q、.a m2,mn 7称为mx n矩阵.这mx n个数称为矩阵(1.3)的元素.位于第i行，第j列的元素a 4称为矩阵(L3)的(i,j)元.矩阵和行列式I元素是实数的矩阵称为实矩阵,本课程中的矩阵除特别说明 夕卜,都指实矩阵.通常用黑体大写字母来表示矩阵.I有时为了强调矩阵的行数和列数,mxn矩阵A也可记作A mxn 或(aij)mxn或这里是A的(i j)元.矩阵和行列式X/I二、一些特殊的矩阵I n阶方阵：I行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵,口阶方阵A也可记 作A n.一阶方阵就看作一个数。I上三角阵与下三角阵：I当4=(%)是阶方阵时,从左上角到右下角的直线就称为对 角线.对角线左下侧所有元素都为零的方阵称为上三角阵;对角线右上侧所有元素都为零的方阵称为下三角阵.矩阵和行列式/1 2 0、A=0 0 3 与 B=、0 0 4)分别是上三角阵和下三角阵.1 0 0、2 4 0 0 5,矩阵和行列式I对角矩阵：对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵,简称对角阵。因它完全由对角线元素所决定,故而也可记作（0 02 J4=diag（%，4,，）矩阵和行列式单位阵：对角线元素都为1的对角阵。矩阵和行列式I列矩阵：I只有一列的矩阵称为列矩阵，也称为列向量,因为它与三维 几何空间中的列向量在形式上是一致的.I行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵，也称为行向量。b2B=:4=，JJI零矩阵：元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作。心或矩阵和行列式I三、同型矩阵与矩阵的相等I同型矩阵：如果两个矩阵的行数相同，列数也相同，就称它 们是同型矩阵.矩阵相等：如果两矩阵4=(%)和5=(%)是同型矩阵,且 它们对应的元素相等,即(=12即；2则)，就称矩阵4与3相等,记为 后A=B矩阵和行列式思考：请问什么是上三角阵、下三角阵、同型矩阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵和方阵？矩阵和行列式2矩阵的运算及应用举例本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。矩阵和行列式一、矩阵的加法，减法和数与矩阵的乘法设有两个加X 矩阵4=(%)和屏(%).J J(1)加法：4与吕相加的和，记作4+5,规定为A+B=an+ii 2i+d 112+”120 22+d 2a2n+b2n(册1+勾1 am2+bml amn+bmn)矩阵和行列式(2)减法：4与笈的差，记作A-&规定为4-5=4+(-1)5=(%)aU 12.-ain Kn。22-022&2n-b2n-bmam2 bm2 amn bmn J-11a21 41I只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加，减运算;其运 算归结为对应元素的加，减运算;且运算结果仍是与原矩阵 同型的矩阵.矩阵和行列式I(3)和数与矩阵的乘法：I数X与矩阵4相乘的积，记作X4,规定为.L乙乙XAA=“。222%九,4。2fl4加 4,根2 4amit)矩阵和行列式I运算规律I设A为同型矩阵,九为数,由定义1.2,容易验证矩阵的 加法,数乘矩阵满足以下运算规律：(i)交换律:A+B=5+A;(ii)结合律:(A+B)+C=4+(8+C);(iii)分配律:2(A+B)=AA+2B,(2+jU)A=AA+juA;(iv)(AjU)A=A(juA)=jU(AA).I 另 A+(-A)=O；A+O=A(其中：(1)4称为4的负矩阵，记为A)矩阵和行列式一ex a mpleI例L2设矩阵40C满足等式5(4+0=2(25-0,其中A=,4 1-2、15 1,B=，5 3 1、3 1 3,I求矩阵C.矩阵和行列式I 解由 5(4+02(25。得5A+5C=4B-2C,7C=4B-5A,于是 C=；(4 B 5A)由于A=2、(5,B=1 J 1-33 1、1 3,1 if 20 12C=-(4 B-5A)=-7 7 1-12 44)2 012 厂-552 510、，4 15if 0 7 14)J 0 1 2、7-7-2 1 7 J-l-3 17矩阵和行列式I二、矩阵的乘法定义1.3设矩阵4=(%)是旭刈矩阵/=(%)是矩阵，那么规 定矩阵4与5的乘积是一个mx 矩阵,记为C=45,且它的(ij)元%为PCij=沏%+ai2b2j+%pbpj=1,2，一，根；J=1,2,几/意味着什么?矩阵和行列式X/I上述定义表明:I（1）只有当矩阵4的列数等于矩阵B的行数时,A与B才能 相乘,且乘积矩阵C=45的行数即是A的行数,C的列数即是4 的列数；I（2）C的（iJ）元与为A的第i行元素与3的第/列对应元素的乘 积之和.矩阵和行列式（、（1-12）1例L4设-求矩阵和行列式(2)解:4=2,5=(4,5,6),aABBAAB=个2(4,5,6)二 a，48J25 6、10 12氏4=(4,5,6)2=32 a即使乘积矩阵A8与A4均有意义,但它们不 一定是同型矩阵.因此,应注意矩阵乘法是 不满足交换律的,即并非所有的矩阵A与万都 AB=BA.矩阵和行列式当矩阵4和3都为阶方阵时,乘积4笈与A 4都有意义,且都为阶方阵,那么是否必定有45=54呢？例1.5 设 aJ1 T,b/l 1 求45 和 5 A.I。oj 11 0；(1AB=flBA=U-1Y1 o fooji。厂 I。0、ojoYi oJlo-p-b。b=o1、要分清左乘还是右乘！即矩阵乘法不满足交换律;2、同理也不满足消去率。矩阵和行列式I矩阵乘法满足以下规律（假设运算均是可行的）结合律（4B）C=4（5 C）4（4昨（曲5=4（孙（4为数）；（ii）分配律 A（B+C）=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;（iii）设A为矩阵时，则有风力=4&二4特别当4为阶方阵时，则有（这里为阶单位阵）.矩阵和行列式矩阵的乘法在线性变换中的应用预备知识：首先介绍作为线性代数课程主要内容之一的 线性方程组以及线性变换的概念和它们的矩阵形式.在线性代数课程中将讨论由加个方程,个未知数组成的线性方程组,它的一般形式是+.+%4=4,211+222+，+=b?,amXXl+am2X2+amnXn=bm其中“口2,最为未知数，%是第i个方程中未知数节的系数也称为常数项.如果 这根个常数2,力.不全为零，称方程组（L6）为非齐次线性方程组;如果 公,为，鼠全为零，称方程组为齐次线性方程组.矩阵和行列式X/线性方程组与矩阵有密切的关系.方程组(1.6)(或(16)的未 知数系数所组成的/nx 矩阵。21。22 称为系数矩阵;aml a m2 amn)它的常数项组成mxl列矩阵，称为常数(列)向量,记作生即b=fbA b2 m J矩阵和行列式把写在系数矩阵A的右边，便得到 nzx(+l)矩阵12 ain AT _ 421”22 一。2n 2A=.i i a 0 a b；ml m2 mn m/也记为A=(A,ft)，称彳为方程组(L6)的增广矩阵.非齐次线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的;齐次线性方程组与它的系数矩阵是一一对应的.矩阵和行列式X/I线性变换及其矩阵表示由变量到变量丫1必的一个线性变换|+212+”1313，y2=Q2M1+“22%+12313,y-AxI设另有由变量为，乃到变量Z1，Z2后的线性变换&=酊%+4 2y2，“=41%+22为，z-By3=%+%为，矩阵和行列式I如何求从变量占42内到变量均处处的线性变换呢？I(1)高中做法？I(2)利用线性变换的矩阵形式：z=By=B(Ax)=(BA)x即有 z=(BA)x,这表明矩阵A 4就是由变量“以243到变量z段2处的线性变换 矩阵.矩阵和行列式 QI 2.矩阵的乘法推出方阵的乘塞I设A是邪介方阵,由矩阵乘法的定义和结合律，上个A相乘是有 意义的，记作邪,即Ak=AA-A _ JV显然A左仍是阶方阵,称为4的(左次隔,规定方阵的幕 满足以下运算规律：(i)4必5+1(ii)(半)5,这里左,/为非负整数.矩阵和行列式I但要注意，当41为同阶方阵时,(A B/=(A B)(A B)(A B)、_JV kAkBk=AA ABB B J J V Vk k因此只有当时,上两式右端相等.所以,一般地(4或屋处/,这是方阵的塞的运算与数的塞的运算不同的 地方.矩阵和行列式I解例1.6设/二也咤（4几,4）,求力.AmA1=AA=Q由此可知,：对角阵的塞仍然是对角阵，且其对角阵元素 就是的对应元素的同一次塞.矩阵和行列式I 3.矩阵多项式的概念及性质I定义：设有”的多项式(p(x)=ancm+am_cm1+.+ac+a4为阶方阵，如果多项式右端的每一项中的”的寨用方阵4 的同次寨替代住的零次塞用4。=替代)，那么上式右端每一 项都是阶方阵,其和还是阶方阵,记此阶方阵为阳),即(p(A)=amAm+am_Am1+.+aA+aQE称为矩阵4的多项式.7=I性质;矩阵多项式，可以象数X的多项式一样相乘或分解因式.矩阵和行列式I 例 1.8 设/=dia g(4，%2,2)(x)=x2-5x+4,求以4).解软=/2_5/+4,42 54+4、X；-5/2+4 2；-54+4,矩阵和行列式结论:（。（4）。（力）二9（。=dia g（4）,。（毛）,9（4）对于对角阵L,上式对任一多项式j（x）都是成立的,因此对角阵 的多项式是很容易计算的.矩阵和行列式I方阵的事的应用I例L9某岛国里每年有30%的农村居民移居城市，有20%的 城市居民移居农村.假设该国总人口数不变,且上述人口迁 移规律也不变，该国现有农村人口 320万，城市人口 80万.问 该国一年后农村与城市人口各是多少?2年后呢？I解设左年后该国农村人口与城市人口分别为4和队（单位:万）,这里正整数aL下面计算与必和必必由题意有矩阵和行列式%=0.7x 32 0+0.2 x 80,%=0.3x 32 0+0.8x 80,设4=9.7 0.2、(0.3 0.8,=A。2/Vi bJ=A2写成矩阵形式,X八(0.7 0.2 V32 0.(0.3 0.8 人bJ，320、80,=A，32 0180,、80)(%八,240、J60,g.70.39.55450.2?(320)一0.8J 80,0.3)，320、(200、=Ak320、。7大80)1200J矩阵和行列式I三、矩阵的转置定义L4设mx 矩阵4=(%),则它的转置矩阵，记为B=AT=(bij),规定I5为 x m矩阵；勺4、AT=2 53 a可见,转置就是把矩阵A的行和列按原来次序互换.矩阵和行列式X/I运算规律I转置也是一种运算，它满足以下运算规律:(i)(A Or=A;(ii)(A+B)T=AT+BT;(iii)OLOGMGl为数)；(iv)(AB)T=BTAT.矩阵和行列式I对称阵：I定义：对于矩阵4如果满足 A=A,则称A为对称矩阵,简称对称阵.I性质：由定义可知，对称阵4=(%)一定是方阵,且=勺”即 I它的元素以对角线为对称轴对应相等.I例如矩阵(1-2 3)-2 0 0矩阵和行列式I例1.12已知A=(0、2 1、3 2),B=-P2)，求方工.解法一直接计算和4丁的乘积,BtAt=(1 1X1 2 3、1-1 2八 0 1 2 JT613、51 017qBtAt=(AB)r=3A-1 013 5、。bT17矩阵和行列式I例1.14设A是对称阵，证明5么5也是对称阵.证：因为由转置的性质得(BTAB)T=BTATB=BTAB,所以5必5是对称阵.矩阵和行列式作业:课本63页习题一1、2(4)、4、6、8、14(2)下次上课时交作业。矩阵和行列式X/I 3矩阵的初等变换与矩阵的等价I 矩阵除可进行 2节中所讨论的运算外，还可以进行变换.本节所讨论的矩阵的初等变换就是矩阵的更广意义上的运算.I 一、定义定义1.5下面三种变换称为矩阵的初等行变换.(i)对调两行(对调ij两行,记为。一弓)；(ii)以非零数左乘第i行(记为xA);(iii)把第i行的4倍加到第/行上去(记为弓+幼).I为方便起见，依次称为第1种，第2种和第3种行初等变换.矩阵和行列式I定义L6I把定义1.5中的，亍“换成”列、即得矩阵的初等列变换，（所 用记号是把“尸换成”c”）；矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换,简 称初等变换.矩阵A经若干次初等行变换成为B,也记为 AB；经若干次初等列变换成为B,也记为a.3；经若干次初等变换成为/记为4-B矩阵和行列式I矩阵等价的定义I设矩阵4经若干次初等变换成为厚就称矩阵4与3等价，记上面的定义表明:矩阵的初等变换是矩阵的一种特殊运算;矩阵之间的等价关系也完全不同于矩阵的相等关系.I矩阵等价的性质I(i)自反性：A4;(ii)对称性:若45则(iii)传递性:若BC,贝必C矩阵和行列式-3I例L15设笈=1132 5对8作初等行变换.6 15 J24、(2-3B=1 2、3 6(5-3(1 2I。qj o 215)(3 65、415矩阵和行列式I二、矩阵在初等行变换下的行阶梯形和行最简形从例L15看到,矩阵经初等行变换后，好多元素会成为0 或1,看上去矩阵会变得“简单”一些.那么，一个矩阵在初 等行变换下能变成怎样简单的矩阵呢?有何标准呢？矩阵和行列式I定义L8I(1)称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯矩阵：(i)如果存在零行(元素全是0的行),则零行都在非零行的下边;(ii)非零行的非零首元(第一个不是0的元素)的下边全是0.I(2)称满足下列两个条件的矩阵为行最简形矩阵：(i)它是行阶梯矩阵；(ii)非零行的非零首元为1,且它所在的列的其它元素均为0矩阵和行列式I例L16下列四个3x4矩阵中,哪些是行阶梯矩阵？哪些是行 最简形矩阵？9 10 1、(1)4=001 1ko 0 0 07,110 1、(2)A2=0 1 1 110 0 0 0)(3)A3=0 1 0 1 k0 1 1 1?rl 1 0 P(4)A4=0 0 1 1k0 0 0 0?U o o 1、矩阵和行列式X/I定理1.1I(1)任一矩阵都可通过若干次初等行变换成为行阶梯矩阵；(2)任一行阶梯矩阵都可通过若干次初等行变换成为行最简形 矩阵.通过初等行变换化矩阵为行阶梯形和行最简形是矩阵最 常用的基本运算,它的最重要,也是最直接的应用就是求解线 性方程组,在第二章中将会深入详细地讨论这个问题,下面先 给出一个简单的例子.一矩阵和行列式I例L17求解线性方程组2x-3y=-4矩阵修对应的非齐次线性方程组为x=L y=2,在上例中,当增广矩阵化为行最简形矩阵时,原方程组的 解已经可以直接写出来了.矩阵和行列式I例L18把矩阵4化为行最简形矩阵,2-1-1 1 2、11-2 14 A=4-62-2 4Q697 力矩阵和行列式解：A=2143丫2T3心2?q3?1 16 6 q0 001 ZoX 3 2口一Gq0001-2291253010011-27-2-25-31-10001102、44.力12-3440-30元01X222311-36406-37丫2T371 AX 2 2 r3+5r2 q3eq0000 0406-37矩阵和行列式I 1、前例中及后面都用到把几个初等变换写在一起的省略写 法.这里要注意各个初等变换的次序从上到下一般不能颠倒.这是由于后一次初等变换是作用在前一次初等变换结果上 的缘故.I 2、此外还要注意初等变换4与弓+4的区别;记号4+S.也 不写作S+小矩阵和行列式思考:1、请问什么是矩阵的第1种、第2种和第3种初等行变换?2、矩阵等价是否就意味着矩阵相等？3、什么是行阶梯矩阵和行最简行矩阵?工仔丁矩阵和行列式4行歹（1式设A是阶方阵,它有标个元素;构成矩形数表,是一个 整体,也即4的性质与这彦个元素都有关.本节中,我们将把 4对应于一个数一A的行列式,记为detA或,这个数将反 映A的一些重要特性.阶方阵4的行列式detA（或）也称为 阶行列式.矩阵和行列式一、二阶和三阶行列式（规定一阶矩幽的行列式|二.）二阶、三阶行列式的定义设）（a 回为二阶方阵，则它的二阶行列式A=d）a b det A=ad-be.c d可以看出，二阶行列式有两项，每一项均取自不同行，不同列的两 个元素的乘积；对角线元素的乘积冠正号，另一项冠负号.矩阵和行列式I设A二(%)为三阶方阵，则规定它的三阶行列式det A=乙A。11。22。33+12。23。31+。13。21。32一。11。2332 1（对角线法则）画线法记忆+矩阵和行列式I例L2 0求下列矩阵的行列式：,。/A=2-2-1;A2=42 3 4 I 17解按三阶行列式的对角线法则,得2 3、5 68 9；1 2-4d=2 2-1=1x(-2)x4+2x3x(-4)+2x(-1)x22 3 41d t el2=47(4)x(2)x 2 1x(1)x 3 2 x 2 x 4=62 35 6=1x5x9+4x8x3+2x6x78 9一3x 5x 71x 6x 82 x 4 x 9=0矩阵和行列式二、排列及其逆序数为了把二阶与三阶行列式的定义推广到阶行列式上去,先介绍排列及逆序数.排列：我们把数字集合S=1,2,3上的一个长为3的有序 组称为S的一个3.排歹!1.于是S的3.排列数为3!=6.一般地，数字集合S片1,2,廨的一个长为的有序组 称为此的一个排列,简称排列.S 的排列个数为加，特别，称排列12为S的自然排列.矩阵和行列式I逆序数 设 PW2 Pn(114)是用的一个排列.任取它的一对勒力和0/aj),I当QV马则称它们构成顺序对；I若科科则称它们构成逆序对.I排列(1.14)的逆序对总数称为排列(1.14)的逆序数.I显然,S”上的一个排列是自然排列,当且仅当其逆序数为0.I逆序数为偶数的排列称为偶排列,否则称为奇排列.可以证 明国的排列中I 偶排列个数二奇排列个数二y矩阵和行列式I三、阶行列式的定义利用排列及逆序数的概念,重新考察三阶行列式的定义(1.13)式，可以发现：(1)每一项当元素的行足标是自然排列时，列足标恰好也是 一个排列,这是用排列的语言描述每项是不同行，不同列元 素乘积的事实；(2)某项冠正，负号的规则是:当该行的行足标是自然排列时,若列足标是偶排列,则该项冠正号,否则冠负号.矩阵和行列式I定义1.9设阶方阵(an/2a21 a22 a2n2 ann)det A=1 A 1=Z(-1)aiPl a2P2,P1P2P是排列a nPn称为A的阶行列式，其中和式是对集合S二1,2，/的所有排列作和,虎排列加2八的逆序数由定义可知，阶行列式共有加项；(2)其中里个为正项，里个为负项;2 2(3)每项均是A的n个不同行,不同列元素的乘积，并且该项的符号，当行足标是自然排列时，若列足标是偶排列则冠正号，否则冠 负号.(4)若方阵A有零行或零列，则det A=O.矩阵和行列式例1.2 2证明下三角阵的行列式an 00CL”0det 4=”anl an2 ann解：显然只需计算det A中的非零项.任取det A中的一个非零项（川，2P2。叩.=1必22矩阵和行列式结论(1)上三角阵的行列式有相同的结果:4 n0ai222&a2nn二1122 ann00ann(2)对角阵/=diag(4&A 4)的行列式4o00040044矩阵和行列式例L2 3证明det.凡）（未标明的元素均是0）n(n-l)=(-1)-4 4 4矩阵和行列式I四、行列式的性质和计算当心4时，用定义计算阶行列式将是十分复杂甚至是 不可能的.下面将讨论行列式的性质,并用这些性质来简化 行列式的计算。I性质1 IA，I=IA I,即转置矩阵的行列式与原矩阵的行列式相闻(a b(a cydet=ad-be=det.5,由性质2,IBI=-L4 I;另一方面,B=A,于是LBHAI,故 14 1=0.矩阵和行列式性质3 4 e 丛则MIAI.此性质说明经过一次第2种初等行变换（3牡 行列式是原来的左倍；或者，若行列式某行各 元素有公因子太则可以把左提到行列式符号 外面，性质3当k=0时也是成立的.推论 若矩阵A中有两行成比例，则=0.矩阵和行列式性质4设f a”ainain+ain,ann)“12 ainai2 a.inan2 ann质说明行列;式中某一行（列）的.I元素均是两数之I 川和时，该行列式就III I可按此行（列）拆成1,1 I两个行列式之和.I矩阵和行列式性质5设4 叱%民则=，即第3种 初等行变换不改变行列式的值.对矩阵B利用性质4及性质3之推论即可 得到性质5例L2 5求detA,其中*3 1-5、2-113A-1 1 0 23 3-5 1 7矩阵和行列式-45A=2-1-33 1-1 11 03-53 J-%12 01-51 3-4r2 f 0 4 6q+5 彳 0 110 18-2 3-5 1 1182=2 弓+200-2 4 03-4-5-12 31-1 23-3 13 4 51-1 2-2 3 418-2 3-2 41 3-4-5 1 3-4 5弓+2%=2q18巳0 1-10 0 10 0-528。+5今20010112=-4 08-60 0 00-2 0例L2 6设,住22 5A-2 2(2 22 2)2 2,求 det A5 22 5，解注意到A的各列元素之和相等，因此把 第2,3,4行都加到第1行,则第1行元素就等 于各列元素之和.5 22 52 22222521 1 15 2 22 5 22 2 5112 A=2211 11 11 1二n11110 3 0 0 二110 0 3 00 0 0 3二 11x3x3x3=297例L2 7证明行列式2 aA=b22 Cd2(+l)2(4+2)2(b+1)2(b+2)2(c+1)2(c+2)2(d+l)2(d+2)2(4+3)2S+3)2(c+3)2(d+3产=0证a22a+52b+52c+52d+5c4c3Ac3c2 c2-clb22 Cd22a+1 2a+32b+1 2b+32c+l 2c+32d+1 2d+3a2 2a+1 2 2c4-c3 b2 2b+l 2 2C3-C2 c2 2c+l 2 2d2 2d+l 2 2矩阵和行列式一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简 便,于是,我们自然地考虑把高阶行列式表示成低阶行列式的 问题.下面介绍的行列式的另一重要性质,即行列式按行（列）展 开的法则就解决了这一问题.为此,先引入余子式和代数余子 式的概念.矩阵和行列式I余子式：I在阶方阵4=(%)中划去(订)元所在的第i行和第7列的所有 元素后,留下的阶方阵的行列式称为矩阵4的。)元的余 子式,记作拉步I代数余子式：记 A-(-1)W羽称为矩阵4的元的代数余子式1 2 3、例如，矩阵4=4 5 6的(2,1)元的余子式17 8 9J和代数余子式分别是2 3以1=Q 0=6,4 =(-1)2+1M2 1=-M21=6;o y(3,1)元的 余子式和代数余子式分别是4 5 小此3=7 Q=-3,%=(T)Mn=M13=3-/o矩阵和行列式I行列式按行（列）展开法则性质6设邪介方阵all%2 ainA-a21。22 a2nan2 a,nn/则成立按第i行展开公式：和按第7列展开公式：detA=4 VA u+密&+A+万，=1,2，F面利用性质6重新计算例L2 542 det A 二-1-36 4=-1 1-2 3 183 1-1 11 03-582=4-2 4-5-4 33 621411-2 3 183-2 2-1 1 1-2 3 18-125=4 0-354 0 3021-125=-4-354=4 3010000582-2 4定义L10设4=(%)为(22)阶方阵,称阶方阵A*=fAiA241 4142 Az2AnnJ为4的伴随阵,其中A.是4的(4)元的代数余子式.例求方阵 p 4-nA=1 0 3 的伴随阵A*.2 5-4)解 15,A1210,A135,人21=11，人22=1 10，人23二一7,41=12,42=-1，&3=4,所以(A AiA*=A12“32aq pis1011 12、-10-107 4)5矩阵和行列式例 设A为阶方阵,A*是A的伴随阵，试证AA=AA=AE.证 注意到4*的第i列各元素分别是A的第i行对应元的代数余 子式,由行列式性质6及其推论，有an、rAi 4i 4?A A*=21 出2 2九 412 42 Ai2 1 1 CL o,d J nl n2 nn/I An 4“AnnJ(A IAI=IA IE.推论行列式某一行（列）元素与 另一行（列）元素的对应元 的代数余子式乘积之和等 于零，即当旧时，4双+%2七2+八+%，h=0A)矩阵和行列式I五、方阵取行列式由方阵4来确定它的行列式detA,可视为方阵4的一种运算 或映射.那么,方阵在转置,数乘,相乘运算后,会有以下运算 规律(4万均为方阵)：(i)detAr=detA(ii)det(Z4)=2wdetA(iii)det(A B)=detA detBl 推广(1)IA BI=IBA I.(2)若Ai，A2，A，As为同阶方阵，则det(A7A2A A s)=(detA7)det(A2)A det(A s).矩阵和行列式5可逆矩阵及应用举例一、可逆矩阵的基本概念对于个未知数，个方程的线性方程组A x部,如果对于 系数矩阵4存在阶方阵尻使则用5左乘方程两边,就有这就引出逆矩阵的概念.定义LU对于阶方阵4如果存在一个阶方阵尻使AB=BA=En则称矩阵A是可逆的,并把方阵5称为A的逆矩阵或逆阵.矩阵和行列式逆阵的唯一性：如果矩阵A是可逆的，那么4的逆阵是唯一的.证明：设5。都是A的逆阵，则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,所以4的逆阵是唯一的.将4的逆阵记作即有A1A=AA1=E.矩阵和行列式I对于逆矩阵的定义，应当注意的是：(1)可逆矩阵一定是方阵，并且其逆阵为同阶方阵；(2)矩阵4与5的地位是对称的.所以，由定义知国也是可逆 阵,并且A与5互为逆阵,即同时4=8。I定理1.2(1)方阵4可逆的充分必要条件是A的行列式当4可逆时，a=J A*IAI其中4*是A的伴随矩阵.矩阵和行列式I证：(1)必要性：I若4可逆，即有4T使AA-E,于是 det(A A-1)=det(E)=l.由矩阵取行列式的性质(iii),得l=det(A A_1)=detA detA_1,所以detA M.矩阵和行列式I充分性:由之前的计算结果，可知44*=4*A=diag(IA I,IA I,A,IA I)=IA I.当00时，有A/JXA4*7/JZ4*A=E.则由定义知4是可逆的，且A1=A*,IAI矩阵和行列式I（非）奇异阵：I对于方阵4若称4为非奇异阵,否则称4为奇异阵，可 逆阵就是非奇异阵.I推论 如果同阶方阵4,5满足A展七贝必可逆，且A二氏I上述结论对一阶方阵也是成立的.事实上，对于一阶方幽,当今0时,aa例判别矩阵4是否可逆?A=0解 2 1A=0-11 1矩阵4不可逆.1 1、-1 5.13)1-5=6 5+1+10=0.3求可逆矩阵的逆阵运算满足运行规律：(i)若A可逆，则A-1可逆，且(A-i)t=4;(ii)若A可逆，则站也可逆，且1A(iii)若人B为同阶可逆方阵，则48也可逆,且(48)1=514一1;(iv)若A可逆，则A7也可逆，且 心工(47尸；1(V)若A可逆，贝IAI矩阵和行列式I二、逆矩阵的求法如前所述,当4是可逆阵时，线性方程组A r斗有解mA因此就需要计算A的逆矩阵4。I第一种方法：是用公式A-1IAI4*I第二种方法：是用矩阵的初等行变换，具体方法是，设A是阶方阵,把纥写在4的右边,构成x2矩阵,记为(4,),当4可逆 时,(4中)的行最简形为(1),其中阶方阵8即是A的逆阵,即B=A 于是有原理将在第二章中详细介绍.例设二阶矩阵 且 det AwO,求A。(d b解 dct A=ad-bc.A*=、一c a)(a。丫i 1(dd)ad-be-c-by a)此结果可当公式用.例求方阵3-2 2。A=5 4 1-1 OJ的逆矩阵.解法一用公式(3=lwO,A可逆，计算4的代数余子式：4=5人11=1，人12=1，人13=-1，421=-2,A222,A23=l,&产6,&2=7,A33=-2,U-24-12、1。14i Ai)1A*=AnAs42A32=143 43 J 11-2 6、-2 71-2)f-11A-1=-A*=-1IAI112-6、2-7.12)解法二用初等行变换+B-2E=E,B2-4B+4E+B-2E=EB2-3B=-E,B(B-3E)=-E因此B(AE)1=3E-B=3E-A-2E=E-A定理1.3（克拉默法则）设个未知数reA x的个方程的线性方程组+.+%=4,I 21/+22%2 02七z二%，+a/?+%匹=b如果系数矩阵行列式工0,就有唯一解:IAI IAJ IA I 141 2 IAI%IAI其中44=1,2八箱）是把4中第洌用常数向量后（力2人力尸代替后 所得的矩阵.例设平面上二次曲线股炉过三点(1,2),(2,3),(3,5),求此曲线方 程.解 把三个点的坐标代入曲线方程,得线性方程组&+%+2=2,a0+2al+4/=3,&+3%+9a2=5,A=l 2=21旬下111492351231494。15%二冈11123514915131电=闵11112323512c 1 1A y 2-x H2 2x2矩阵和行列式I对于线性方程若常数向量办=0,即办i=2=a斗片0,得齐 次线性方程A x=0(1.21)显然x=0,即与二%2A 产0是它的解，这个解称为方程(L21)的零解;若D是方程(L21)的解,则称它是非零解.齐次方程 一定有零解，但不一定有非零解.把克拉默法则用于方程(1.21),有推论如果齐次线性方程组(L21)的系数矩阵的行列式 detA M,则它只有零解.矩阵和行列式I四、矩阵方程含有未知矩阵的等式称为矩阵方程.在应用问题中，经常需要求解矩阵方程.，3-2 2、9 1、2A=5 4 1,B=,c=2例 设A X5=C,求未知矩阵X,b-1 oj(4 3 J分别用A T左乘,衣1右乘等式A X夕二C的两端，得A(AXB)B-A lCB 1,(A XCBB-A lCB 即 X=A1CB 1A-1，-1 2-1 2J T-6、-72/1113-P4-4 2)矩阵和行列式 2241A(3 n01-4 253-20、=61-2 318 7 J例1.39设A=(2 0、-1 2,BA=A+B,求矩阵氏解由 BA=A+B 得 B(A-E)=A(1.2 2)由于A-E=0、-1 b其行列式A-故A-可逆，用(A-尸 右乘(L2 2)式两边，得B(A-E)(A-E)-1=A(A-E)-1.B=A(A-E)1(2 0Y 1 0。T(2 oYi，2 0、J 2,1-1 2人 T 1J1-1 2小 1J五、逆矩阵在加密传输中的应用首先给每个字母指派一个码字，例如字母 abcdef ghijklmnopqrs t u v w x y z 空格码字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 0于是为传输信息GO NORTHEAST把对应的码字写成3x 4矩阵（按列）7 14 20 1）5=15 15 8 19.18 5 207如果直接发送矩阵厚这是不加密的信息，容易被破译，无论军事或 商业上均不可行,因此必须对信息予以加密,使得只有知道密钥的接收 者才能准确，快速破译.为此,可以取定3阶可逆阵A,并且满足=1,令 C=AB贝！JC是3x4矩阵,其元素也均为整数.现发送加密后的信息矩阵C,己方接收者只需用A1进行解密，就得到发送者的信息：B=AXC.例如现取则=-1,且T 11、-1 0 10 1 bT 0-1、4一1=-1-1 21 1-b现发送矩阵1 1Y 7C=AB=-10011511八。141518201 022851920 J接收者收到矩阵。后，用AT解密:r 1B=AC=-1J(7=1500-1V2 2-1 2-71-山514 20 1)15 8 1918 5 30,-7U54743333 40、-15 1913 39?4743333 40、-15 1913 39,矩阵和行列式6分块矩阵分块矩阵的概念例1.40设5阶矩阵2A=34N-1|0 0 1了4 i 0 0 0J2|1 0 0、0 I 0 1 0用一条水平线和一条垂直线依次在行的方向和列的方 向分成两块，将4分成四个小块，每个小块里的元素按原来 次序组成一个小矩阵：矩阵和行列式(2、(4=2 0,e3=03.J 00 0、1 0。J勺22 0A=3-11 0 0、0 1 00 0 1(4 4己=I。0、0,0=4 J 1。0 0、0 074 0 0 0 0(0 4 0 0 0,于是可以把A看成由这4个小块组成的分块矩阵,即写成町胆0)矩阵和行列式分块矩阵：一般地，将矩阵4在行的方向用水平线分成s块,在 列的方向用垂直线分成/块,就得4的一个sx t分块矩阵,简称分 块矩阵，它的每一小块称为子矩阵,或子块.显然将一个矩阵分块的方法很多,其中有两个分块矩阵 应予特别注意,这就是按列分块矩阵和按行分块矩阵.把A的每个列作为一个子块,即在列的方向分为块,就得到4的 按列分块矩阵，记为4二（4,。2八，4）。2 7.%=.=，儿把A的每个行作为一个子块,即在行的方向分为旭块,就得到4的按列分块矩阵，记为 他：）aJ其中解=（41，%2，%n），i=1，2,.，加.矩阵和行列式二、分块矩阵的运算分块矩阵的意义：在于当行数、列数较高时，矩阵的运 算可化为若干子矩阵（子块）的运算,当然分块矩阵要进行运算,必须要有适当的分块.下面讨论分块矩阵的运算.矩阵和行列式1.分块矩阵的加法设A/为同型矩阵,并进行相同的分块法成为sx分块矩阵A=&4、sl),B=(B B、B B 1 St J并且子矩阵&与%二12人2户1,2）也是同型矩阵，那么它 们的和也是分隹矩眸An+Bu Alt+Blt yA+B=:A:A Tn.A:A-TA/du例设方阵A4为q2A-3402 10 0-1 00 04 0010000100J,B=1357(92 0 0)4 0 06 6 58 4 31 02 17计解法一：直接计算q2AB=3402 1 0 oYi0 0 10 3-10 0 1 50 0 0 0 74 0 0 0人 92 0 0、4 0 06 6 58 4 31 02 1?勺2 16 6 5)9 12 4 39 12 2 14 8 0 0J2 16 0 07解法二将44分块A=21 0 0、rl 20 0、2 00 1 03 40 03-10 0 1,B=5 66 54 00 0 07 84 310 40 0 0)I z19 102 1?A=A坦,B=4/21O、B?2)砌 oj按分块矩阵的运算，有AB=A e3O丫/。、八层1 B?2)A”+方为 5?X X 乙X 乙乙 4 叫 O J其中A/u+B21=2 2、0-b2、(5所以4 J+7(96、810)，7=2010、，54+72 J 19AB=6、16、1 2127矩阵和行列式大家知道,对角阵是较简单，性质良好的矩阵.分块矩阵 中也有类似的分块对角阵