小升初数学典型应用题.pdf

小升初数学典型应用题、工 I 1 I I i.T i TT;F1 ii i，1、归一问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11、行船问题12、列车问题13、时钟问题14、盈亏问题15、工程问题16、正反比例诃题17、按比例分配18、百分数问题19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题 21、方阵可题22、商品利润问3rM款利率问题24、溶液浓度问题25、构图布数问题26、幻颉做27、抽屉原则问题28、公约公倍问题29、最值问题30、列方言问题.、1归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量分数=1份数量 1份数量x所占份数=所求几份的数量 另一总量+（总量分数）=所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?解 例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?解 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次？解2归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的 问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总 工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量X份数=总量 总量91份数量=份数 总量9另一份数=另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量 例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8 米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解 例2小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几 天可以读完红岩？解 例3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？解【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和 差问题。【数量关系】大数=（和+差）+2 小数=（和一差）2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用 公式。例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?解 例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。解 例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙 两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解 例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比 乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？解和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各 是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和+（几倍+1）=较小的数 总和一较小的数=较大的数 较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。例2东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库 各存粮多少吨？解 例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙 站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？解 例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是 多少？解5差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各 是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差彳（几倍1）=较小 的数 较小的数义几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?解 例2爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？解 例3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利 多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？解例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦 的3倍？解6倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个 量是另一人量的若干倍，解题时先求出这 个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量+一个数量=倍数 另一个数量义倍数=另一总【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍 比关系求出要求的数。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?解 例2今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县 48000名师生共植树多少棵？解例3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入nin元照这样 计算，全乡800亩巢扇共收入多少兀？全县16000亩巢园共收入多少兀？解7相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用 题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间=总路程:（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）X相遇时间例1南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从 南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小 时两船相遇？例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘 每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第 二次相遇需多长时间？例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13 千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。8追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出 发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要 快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物 体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间=追及路程+（快速一慢速）追及路程=（快速一慢速）X追及时间 例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地 点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是 每秒多少米。例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小 时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度 开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌 人？例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往 里站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距 例g兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥 到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹 相遇。问他们家离学校有多远？例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了 1千米时，发现手表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准 时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟 到学校。求孙亮跑步的速度。口 J戏!【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第 三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数=距离！棵距+1 环形植树棵数=距离：棵距 方形植树棵数=距离：棵距一4 三角形植树棵数=距离：棵距一3 面积植树棵数=面积：（棵距X行距）例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少 棵垂柳？例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共 能栽多少棵白杨树？例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽 分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有 一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人 的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发 生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系 尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差:（几倍-1）=较小的数例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢？例2母亲今年37岁女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水 速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是 水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度 是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度+逆水速度）4-2=船速（顺水速度一逆水速度）92=水速顺水速=船速义2 逆水速=逆水速+水速X 2逆水速=船速X 2 一顺水速=顺水速一水速义2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆 水行这段路程需用几小时？例二甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段 距离需15小时，返回原地需多少时间？O 例3 架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每 小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？12列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身 的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）彳车速 火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）（甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）:（甲车速+乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开 上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？例2 列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米？例3 列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒 22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度 行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎 面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要 多少时间？例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用 了88秒，以同样的速度通过一条长1250米 的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车 身长度各是多少？时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为n/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？14盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次 有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人 数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则 有：参加分配总人数=（盈+亏）+分配差 如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈一小盈）分配差 参加分配总人数=（大亏一小亏）+分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余n个；若 每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8 天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全 长多少米？例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如 果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？15工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间混，的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只 提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、;:在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。、“二件工作，睡【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）,进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的 关系列出算式。工作量=工作效率X工作时间 工作时间=工作量9工作效率 工作时间=总工作量9（甲工作效率+乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成,现在两队合作，需要几天完成？例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做,完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小 时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才 能完成？例4 一人水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗 细的进水管。当打开4人进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开 2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满,至少要打开多少个进水管？16正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这 两种量就叫做成正比例的量工它们的关系叫做正比例关系。正比例应 用题是正比例意义和解比例零知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的 关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识 的综合运用【羲苴关系i判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许 多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1修一条公路，已修的是未修的1/3,再修300米后，已 修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米？例2张哈做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟 可以做几道应用题？例3孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天 看完，如果每天看36页，几天就可以看完？17按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比 分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用 比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直 接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量 的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分 占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作 分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班 有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3：4：50三条边的长各是多少厘米？例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿弓大 儿子分总数的1/2,二儿子分总数的1/3,三儿子分总数的1/9,笄规 定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8：12：21,第一车间比第 二车间少80人，三个车间共多少人？18百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数 是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分 数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分 数有一个专门的记号。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%,两个百 分点就是2九【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的 数量关系.百分数=比较量彳标准量 标准量=比较量彳百分数【解题思路和方法】一般有三种基本类型：(1)求一个数是另一 个数的百分之几；(2)已知一个数，求它的百分之几是多少；(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例1仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下648千克，用 去的与剩下的各占原重量的百分之几？O 例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人 数比女职工少百分之几？例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比 男职工人数多百分之几？例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女 职工各占全厂职工总数的百分之几？19“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿 提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问 题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量=原有草量+草每天 生长量X天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求 出草每天的生长量。例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天 可以把草吃完？例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进 入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如 果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只 有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几 小时可以淘完？20鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡 脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数=（实际脚数一2X鸡兔总数）+（4-2）假设全都是兔，则有 鸡数=（4X鸡兔总数一实际脚数）+（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数=（2X鸡兔总数一鸡与兔脚之差）（4+2）假设全都是兔，则有 鸡数=（4X鸡兔总数+鸡与兔脚之差）（4+2）例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克,求白菜有多少亩？例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与 兔各多少只？例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大 小和尚各多少人？21方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据 已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数一1）X4 每边人数=四周人数+4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数X每边人数 空心方阵：总人数=（外边人数）一（内边人数）内边人数=外边人数一层数X2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，贝 总人数=（每边人数一层数）X层数X4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法 是以等边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情 况确定。例1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22 人，参加体操表演的同学一共有多少人？例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。例3有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人 数是28人，这队学生共多少人？例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向 各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？22商品利润问题【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括 成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】利润=售价一进货价 利润率=（售价一进货价）+进货价X 100%售价=进货价义（1+利润率）亏损=进货价一售价 亏损率=（进货价一售价）9进货价义100%【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复 杂的题目变通后利用公式。例1某商品的平均价格在一月份上调了 10凯 到二月份又下调了 10凯 这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？例2某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52 元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？例3成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？，店定 品乙的 商，店 种价乙 某定求 4润，例利元甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%,甲店按30%的 按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6/介。23存款利率问题【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利 率、存期这三人因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率 是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所 生利息占本金的百分数。【数量关系】年（月）利率=利息！本金:存款年（月）数X100%利息=本金X存款年（月）数X年（月）利率,本利和=本金+利息=本金X 11+年（月）利率X存款年（月）数【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通 后再利用公式。例1李大强存入银行1200元，月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。例2银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期I到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，选的收益多？多多少元？24溶液浓度问题【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液 浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其 它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶 解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所 占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质：溶液X 100%【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。例1爷爷有16%的糖水50克，(1)要把它 稀释成10%的糖水，需加水多少克？(2)若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克?例2要把30%的糖水与15%的糖水混合！成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖 各多少克？25构图布数问题【含义】这是一种数学游戏，也是现实生 活中常用的数学问题。所谓“构图”，就 是设计出一种图形；所谓“布数”，就是 把一定的数字填入图中。“构图布数”问 题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】通常多从三角形、正形和五角星等图形方面考虑。按方形、一 _ 人照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例1十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。例2九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。例3九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。例4把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法？请设计 一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和 都等于12。26幻方问题【含义】把nXn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的 和都相等，这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和=45：3=15 五级幻方的幻和=325+5=65【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及 每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定 正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。例1把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数填入 九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个 数的和相等。27抽屉原则问题【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2 只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果 都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉 中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n+1个物体(也叫元素2 放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元 素)。,抽屉原则可以推广为：如果有ni个抽屉，有kXm+r(0rCm)个元 素那么至少有一个抽屉中要放(k+1)个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽履个数的k倍多一些，那么至少有一 个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。【解题思路和方法】(1)改造抽屉，指出元素；(2)把元素放入(或取出)抽屉；(3)说明理由，得出结论。例1育才小学有367个2000年出生的学生，那么其中至少有几个学生 的生日是同一天的？例2据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些 数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个,白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问 他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？28公约公倍问题【含义】需要用公约数、公倍数来解答的 应用题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】先确定题目中要用最 大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用 的是“短除法”。例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正 方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？例2甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周 要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时 间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树,若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋 子总数在150到200之间，求棋子总数。29最值问题【含义】科学的发展观认为，国民经济的 发展既要讲求效率，又要节约能源，要少 花钱多办事，办好事，以最小的代价取得 最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】按照题目的要求，求 出最大值或最小值。例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面 需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤 三块饼，最少需要多少分钟？例2在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之 间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2 号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个 煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场 里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花 费最少？30列方程问题【含义】把应用题中的未知数用字母X代替，根据等量关系列出含有未知数的等式一 一方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】可以概括为“审、设、歹IJ、解、验、答六字法。(1)审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是 件么。(2)设：把应用题中的未知数设为X。(3)歹心根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。(4)解；求出所列方程的解。(5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。(6)答：回答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在X后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名 称，求出的X值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例1甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多 少人？例2鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？例3仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运 125袋，乙汽车每次运多少袋？在一些应用题中，有时会出现两个或两人以上并列的未知数，我们可 以根据数据特点，设法消去一个或两个未知数，只保留其中的一个未 知数，在求得这个未知数后，再求出其它的未知数。这种解题思路和 方法就是消去法。例1学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办 公桌和1把椅子共用去750元。求每张办公桌和每把椅子各多少元？数负整数无限循环小数有限小薮小数;纯循环户无限小数无限不循环小数混循环基本性质类分数1约分合同分分类真分数;假分数 途分数数公倍数因数:质数 合数分解质因数的倍数一公倍数一最小公倍数%2整数：个位上是0,2,4,6,被3或9整除：各个数位的和能被3除整朝或9整除被5整除：个位上是5或0被11整除：奇位数上的数字和与偶、嗓位上的数字和的差能被11整除度&17,If,第3137,4143)47,53k W 83则运算顺序一先乘除后加减，先运算定律伪口法交换律，结合彳乘法交换律，结合律，分配律运算性质一关键是去括号后的符号的变化。算运算规律简算与巧算积不变的规律 商不变的规律 L改变运算顺序法 改变运算数字法,其他方法用字母表示运算定律用字母表示霆用字母表示计算理用含字母的式子表示 数量关系简易方程方程，方程的解，解方程解简易方程 列方程解文字题刎方程解决问题探索规律E数的排列规律颜色交替规律运算中的规律时间变化规律线段 _直线一两条直线的位置关唱形战熟的1 认J 识形 与7 测射线一角长方形厂（正方形）按边分三角形Y梯形,等边三角形与Y等腰三角形一般三角形 T锐角三角形按角分j直角三角形 等腰梯形钝角三角形V直角梯形量1 平行四立法般梯形图 形 的长方体立体图形,圆柱体，图形送洒与 测 量球体e正方测量形、长方形以及梯形面积 正方体、长方体的表面积国方体、长方体的体积长X宽+宽X高+棱长总和：4 X（底+高+长）体积：底X高X长边长X12表面积：棱长X棱长X 6体积：棱长X棱长X棱长:底义J边之和X+2向长：（长+宽）面积：底义高周长：边长X12面积：边长义边长形 可移-平移1平移距离!匕 用移次数7a 旋转方向 变旋转,旋转角度换 旋转次数轴对称图 形方向与位置图形与根置与路线图 位数对置A 0统统计图 计图统计酊条形统计图 折线统计图 扇形统计图一定可 能却能 荏不可能可建岐小平均数问题行程问题 和差倍问题解决问题【实际是“移多未使“之相等”的过程。(2)平均数是由“总数量”除以 与“总数量”相对应的“总份数”而得来的。LAt Mr HF?占k+b 1一、八2 _I9 型小人却 3平均数=总数量+总分数总数量=平均数X总分数 总份数=总数量+平均数A平均数=基数+每个数与基数差的和+数的个数(T)遇时间=距离+速目背而行：向背距离=速度和X时间口可向而行：相遇时间=距离差+速度差(4)在环形跑道上同向而行，第一次相 S,快者比慢者多跑一圈的路程，背向而行,省一次相遇，两者的路程和等于一圈的战 呈1,若规定 6*2=6+66=72,2*3=2+22+222=2461*4+1+11+111+111=1234求(1)4*3；(2)9*5.N.衣小一秤运舁付与L 其意义是ab=2ab,计 算(9A7)；(5 A3)的值3,从0,4,5,6,四张数字节 片中任选三张，排成能同 时被2,3,5,整除的三位数。这样的三位数一共有多少 个？