2023年湖南省娄底市中考数学试卷解析.pdf

2023年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在各个选项和应题号 填涂在答题卡上相应题下的方框里）1.（3分）2023的倒数是（）A.2023 B.-20232.（3分）下列运算正确的是（）A.小?二不C.（。+2）（-2）=片-2C _ 1 D.一 2023.2023B.q2+3q=4q2D.(-2ab)3=-8制323.（3分）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育 体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到 4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为（）A.443X105 B.4.43X107 C.4.43X108 D.0.443XI084.（3分）一个小组7名同学的身高（单位：c m）分别为：175,160,158,155,168,151,170.这组数据的中位数是（）A.151 B.155 C.158 D.1605.（3分）不等式组-x+3 5的解集在数轴上表示正确的是（）2x-20；。-6加（am+b）（加为任意实数）；若点（-3,/）和点（3,/）在该图象上，贝1以2；C.D.11.（3分）从个不同元素中取出加（mWn）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同第2页（共30页）元素中取出加个元素的组合数，用符号C：表示，c：=n(n-l)(n-2)(n-m+1)(2加，n、根为正整数）；例如：r2=5 4,.2X1 J?=8X7X6,3X2X1m(m-1)1则吗+魔=(IA.6 B.4 C.5D.610812.（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数学九章一书中，给出了这样的一/2 2 2个结论：三边分别为d6、c的力-C的面积为Swc=引&2b 2-（丁廿;M）2,乙、2Z3C的边4、b、。所对的角分别是N4csin4下列结论中正确的是（）22-2 2A.cosC=+匕c2ab2-2 2C.cosC=a+b c2ac二、填空题（本大题共6小题，每小题3分,NB、NC,则 Sabc=-absinC=ac sinB2 22 2B.cosC=-a+b-c2ab2-2 2D.cosC=i-2bc满分18分)13.（3分）函数的自变量x的取值范围是.14.（3分）若机是方程/-2x-1=0的根，贝！j加2+_二.2 m15.（3分）如图，点在矩形的边CD上，将ZQE沿力折叠，点。恰好落在边3c上的点尸处，若3C=10,sinN/必二匡，则。=516.（3分）如图，在45。中，ZC=3,45=4,3C边上的高40=2,将45C绕着3C所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为第3页（共30页）17.（3分）如图，抛物线=2+区+。与1轴相交于点力（1,0）、点3（3,0）,与轴相18.（3分）若干个同学参加课后社团一一舞蹈活动，一次排练中，先到的个同学均匀排 成一个以。点为圆心，为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学,先到的同学都沿各自所在半径往后移。米，再左右调整位置，使这（+2）个同学之间的 距离与原来个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等.这（+2）个 同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 米（请用关于a的代数式表示），才能使得这（+3）个同学之间的距离与原来个同学 之间的距离相等.三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19.（6 分）计算：（it-2023）O+|1-V3I+V8-tan60.20.（6分）先化简，再求值：（_工_-，_）其中x满足一 一 3x-4=0.x+1 x-l J.1四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）第4页（共30页）21.（8分）某区教育局为了 了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图.（1）参与本次测试的学生人数为，m=；（2）请补全条形统计图；（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成 绩能达到良好及以上等级）的学生人数.科学知识测试成绩条形统计图 科学知识测试成绩扇形统计图22.（8分）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区 某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索 道，他们分别在两山顶上取力、5两点，并过点5架设一水平线型轨道（如图所示），使得N45C=a,从点3出发按CZ）方向前进20米到达点,即BE=20米，测得N4助=0,已知sina=tan|3=3,求/、3两点间的距离.251C B E D五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23.（9分）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙 种树苗3棵共需H元.（1）求每棵甲、乙树苗的价格；第5页（共30页）(2)本次活动共种植了 200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大 树，并且平均每棵树的价值(含生态价值、经济价值等)均为原来树苗价的100倍，要 想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？24.(9分)如图1,点G为等边48。的重心，点。为3C边的中点，连接G。并延长至 点 O，使得。O=DG,连接 G5,GC,OB,OC.(1)求证：四边形30CG为菱形.(2)如图2,以O点为圆心，OG为半径作。判断直线与。的位置关系，并予以证明.点M为劣弧上一动点(与点3、点。不重合)，连接期并延长交ZC于点,连 接CM并延长交48于点尸，求证：/E+Z厂为定值.六、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)25.(10分)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每 颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生 对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标 准五角星，如图，正五边形Z5CQ石的边A4、。石的延长线相交于点尸，NE4厂的平分线 交尸于点(1)求证：AE2=EFEM；(2)若/尸=1,求力的长；(3)求,正五边形舶。口的值2AAEF第6页(共30页)F26.(10分)如图，抛物线=，+云+。过点/(-1,0)、点5(5,0),交轴于点C.(1)求6,c的值.(2)点尸(比，/)(O xo 5)是抛物线上的动点.当比取何值时，尸6c的面积最大？并求出尸5C面积的最大值；过点尸作尸轴，交BC于点、E,再过点尸作尸尸x轴，交抛物线于点尸，连接尸,问：是否存在点尸，使尸尸为等腰直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存第7页(共30页)2023年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在各个选项和应题号 填涂在答题卡上相应题下的方框里）1.（3分）2023的倒数是（）A.2023 B.-2023 C._一 D.12023 2023【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案.【解答】解：2023的倒数是2023故选:D.【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义.2.（3分）下列运算正确的是（）A.q2q4=q8 B.白2+3=42C.（a+2）（a-2）=/一 2 D.（-2a2b）3=-Sa6b3【分析】根据平方差公式，同底数幕的乘法的法则，合并同类项的方法，幕的乘方的法 则计算即可.【解答】解：/q4=q6,故不符合题意；B、不对同类项不能合并，故不符合题意；C、（a+2）（a-2）=a2-4,故不符合题意；（-2a2b）3=-山喈,故符合题意；故选:D.【点评】本题考查了平方差公式，同底数幕的乘法，合并同类项，幕的乘方，熟练掌握 各法则是解题的关键.3.（3分）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育 体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到 4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为（）A.443X105 B.4.43X107 C.4.43X108 D.0.443XI08【分析】科学记数法的表现形式为。义10的形式，其中1W|q|V10,为整数，确定 的值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相 第8页（共30页）同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数；由此进行求解即可得到答案.【解答】解：4430 75=44300000=4.43 X 107,故选：B,【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.4.（3分）一个小组7名同学的身高（单位：c冽）分别为：175,160,158,155,168,151,170.这组数据的中位数是（）A.151 B.155 C.158 D.160【分析】根据中位数的定义求解可得.【解答】解:把这些数从小到大排列为：151、155、158、160、168、170、175,排在中间的数为160,故中位数为160.故选：D,【点评】本题主要考查中位数，掌握中位数的计算方法是关键.5.（3分）不等式组5的解集在数轴上表示正确的是（）2x-2 0/I L J）AA.-2-1 0 1 2-b_B.-2-1 0 1 2C.-2-1 0 1 2_I AD.-2-1 0 1 2【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.【解答】解：尸+3 -2,解不等式得：xWl,原不等式组的解集为：,该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：J)L-2-1012第9页（共30页）故选：c.【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一 元一次不等式组的步骤是解题的关键.6.（3分）将直线y=2x+l向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A.y=2x+5 B.y2x+3 C.y2x-2 D.y2x-3【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可.【解答】解：直线y=2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y=2（x-2）+1,即y=2x-3.故选：D.【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原 则是解答此题的关键.7.（3分）从半，3.1415926,3.F，近,-病，病中随机抽取一个数，此数是无 理数的概率是（）A.2 B.3 C.A D.$7 7 7 7【分析】直接利用概率公式计算得出答案.【解答】解：从华，3.1415926,3。，遍，病，-病，加中随机抽取一个数，抽 到的无理数的有石，我这2种可能，抽到的无理数的概率是2,7故选:A.【点评】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率 计算方法.8.（3分）一个长方体物体的一顶点所在/、B、。三个面的面积比是3：2：1,如果分别按/、B、。面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为尸小Pb、Pc（压强的计算公式为尸=工），贝IF：Pb：Pc=（）SA.2：3：6 B.6：3：2 C.1：2：3 D.3：2：1【分析】根据/、B、。三个面的面积比是3：2：1,设出力、B、C三个面的面积分别是第10页（共30页）3a,2a,a,再根据压强的计算公式为尸=为示尸为=_L,%=工，Pc=L 计算化简S 3a 2a aPa：Pb：尸。即可.【解答】解：设/、B、。三个面的面积分别是3，2a,a,则尸z=_L,为=工，Pc3a 2a_F-,a：.Pa：Pb：Pc=：上=工：-1：1=2：3：A=2：3：6,3a 2a a 3 2 6 6 6故选：A.【点评】本题以物理上的压强为背景，考查了分数比的化简，通分是关键.9.（3分）如图，正六边形Z6CZ）E厂的外接圆。的半径为2,过圆心。的两条直线4、h的夹角为60,则图中的阴影部分的面积为（）A.#e B.岁亨 C.|k-V3 立会一零【分析】连接40,OC,由。是正六边形的外接圆可求得NG9D=60,COD是等边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形con根据三角形面积公式可求屋8必 利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影=S扇形cod-S8即可求解.【解答】解：如图，连接Z。，OC,。是正六边形的外接圆，40 必过点 O,NCOD=360 一=60。,6又 OC=OD,COD是等边三角形，OC=OD=CD=2,直线/1、/2的夹角为60,J ZCOD-ZKOD=ZKOH-ZKOD,即 NCOK=/DOH,第11页（共30页）又 4D0H=ZAOG,：.ZCOK=ZAOG,：ZOCK=ZOAG=60，OC=OA,/OCK=/OAG(ASA),S 扇形com=S 扇形力on，二S 扇形 COM 一 SaOCK=S 扇形NON SOAGS阴影=S扇形COD-S&COD，s扇迎畜力=360 3Sacod=-X2xV3=V3，S 阴影=-1jr-V3-故选：C.【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确S阴影=s扇形COD-SaCOD是解决问题的关键.10.（3分）已知二次函数=螟2+1+。的图象如图所示，给出下列结论:abc 0；（3）a-bm（am+b）（加为任意实数）；若点（-3,/）和点（3,丝）在该图象上，则/”；其中正确的结论是（）第12页（共30页）A.B.C.D.【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可.【解答】解：,二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，.*.6Z0,对称轴为x=-L，-L=-1,2a*b=2a0,故错误；抛物线的对称轴是直线x=-1,x=0时，y=c 0,当 x=-2 时，j0,4a-2Z）+c0,正确；,抛物线开口向下，对称轴为：x=-1,当%=-1时，y有最大值a-b+c,/.当x=m时，函数值不大于a-b+c,a-b+c am2+bm+c.；a-b，m Qam+b）（机为任意实数），错误；点（-3,以）到对称轴的距离为：-1-（-3）=2,（3,以）到对称轴的距离为：3-（-1）=4,抛物线开口向下，正确.故选：D,【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上 点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结 合.11.（3分）从个不同元素中取出加（冽个元素的所有组合的个数，叫做从个不同第13页（共30页）元素中取出加个元素的组合数，用符号c：表示，c：=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m(m-1)1Qn2加，n、根为正整数）；例如：2=3=8X7X%2X1 r 3X2X1则匹+瑶=（）A.6 B.4 C.5 D.6l10 l10 u10分析对于c件C萨用公式C歹n(n-1)(n-2)(n-m+1)m(m-1)1,通分后再逆用公式.【解答】解:C厂n(n-1)(n-2)(n-m+1)m(m-1)1 r4,59X8 X7X 6,9X8 X 7X6X5 56 9 X8X7X 6,9X8 X 7X6X5 9 4X3X2X1 5X4X3X2X1 5X4X3X 2X1 5X4X3X 2X12x9X8X7X6X5=10X9X8X7X6=5,5X4X3X 2X 1 5X4X3X 2X 1 0 1 口,故选：C.【点评】本题考查了新定义组合数公式的正用和逆用以及通分技巧，关键是通分成一个 分数.12.（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数学九章一书中，给出了这样的一 2 2 2个结论：三边分别为。、b、。的Z6C的面积为S的=刃&2b 2_（k）2,乙 245。的边4、b、。所对的角分别是N4/B、工csinA 下列结论中正确的是(22-2 2A.cosC=i-2ab2-2 2C.cosC=&+b c2ac2-2 2B.cosC=-i-2ab2吊 2D.cosC=-.-2bcI 2 2 2【分析】由=a2b2_(&+.-c)2,S abc=-absinC,可得出/2 2 2 2 2 2司a2b2_（电 女-c）2=ysinC,即2b2_（a c）2=M桁,等式2 2 2两边同时平方后可得出。2后-（三也二J）2=Q2ysin2G移项、合并同类项后，可22 2 2 2 2 2得出 01P（1-sin2C）=-。）2,即 c b2（1-sin2C）=（a-c）2,2 2两边再开方同时除以即可得出结论.第14页（共30页）2 2 2【解答】解：*.*Saabc=-）I a 2 b 2-（,a-，：）2 J SABC=absmC,I 2 2 2 I 2 2 2，引 a2b2 一（a.c）2=XzfesinC,即 J 残 2 b 2 _-c）2=MsinC,2八2 2：.a2b2-（a+b-c）2=2sin2C,22人2 2：.a2b2-a2b2siC=（&+匕c）2,22 2 2c b1（1-sin2C）=（&-。-）2,22-2 2：.a2b2c o s2C=（&+匕 f）2,22-2 2abc o sC=-,22-2 2.cosC=a+b-c2ab故选:A.【点评】本题考查了二次根式的化简以及三角形的面积，利用三角形的面积公式结合2 2 2sin2C+cos2C=1,找出 cosC=是解题的关键.2 ab二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13.（3分）函数y=/x+1的自变量x的取值范围是%三-1.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案.【解答】解：由题意得：x+120,解得：-2-L故答案为：xN-1.【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负 数是解题的关键.14.（3分）若加是方程，一 2x-1=0的根，则加2+=L=6.2 m【分析】把m代入f-2%-1=0得至!J m2-2m-1=0,即m2-l=2m,把m2-l=2m代 入变形后的式子计算即可.【解答】解：,加是方程7-2x-1=0的根，m2-2m-1=0,即 m2-l=2m,第15页（共30页）=(m-A)2+22 1=(ZLZ1)2+2 m=22+26.故答案为：6.【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知 数的值是一元二次方程的解.也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有 明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式加2-1=2用的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值.15.（3分）如图，点在矩形48S 的边上，将沿/折叠，点。恰好落在边 3C 上的点尸处，若 3C=10,sinZAFB=f 则 DE=5.【分析】由矩形的性质得NB=NC=NQ=90,4D=6C=10,由折叠得力尸=40=10,FE=DE,则胆:AFsmZAFB=,所以力3=鱼4尸=8,BF=7af2-ab2=6,则 CDAB=8,CF=BC-BF=4,由勾股定理得42+(8-。)2=。2,求得 小=5,于是得到 问题的答案.【解答】解：:四边形是矩形，50=10,，/B=NC=ND=90,4D=BC=T0,由折叠得力尸=力。=10,FE=DE,匣1=sinZAFB=,AF 5.,.=-4F=Ax10=8,5 5BFVaF2-AB2=7102-82=6J CD=AB=8,第16页（共30页）：CF=BC-BF=U)-6=4,9CF2+CE2=FE2,FE=DE,CE=8-DE,/.42+(8-DE)2=de2,解得DE=5,故答案为：5.【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角 三角形等知识，证明4尸=4。=5。=10并且求出45的长是解题的关键.16.(3分)如图，在45。中，4C=3,AB=4,5C边上的高40=2,将48。绕着5c 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 14n.【分析】所得几何体为圆锥的组合图形，表面积为底面半径为2,母线长为3和4的两个 圆锥的侧面积之和.【解答】解：所得到的几何体的表面积为nX2X3+nX2X4=14TT.故答案为：14 n.【点评】本题考查圆锥的计算；得到几何体的形状是解决本题的突破点；需掌握圆锥侧 面积的计算公式.17.(3分)如图，抛物线y=Qv2+bx+c与轴相交于点4(1,0)、点、B(3,0),与y轴相 交于点C,点。在抛物线上，当CQx轴时，CD=4.第17页(共30页)【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长.【解答】解：抛物线=。/+袅+。与x轴相交于点力（1,0）、点6（3,0）,该抛物线的对称轴为直线x=检=2，2 抛物线与y轴相交于点。，点。在抛物线上，CQx轴，点。的横坐标为：2X2-0=4,ACZ）=4-0=4,故答案为：4【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关 键是明确题意，利用数形结合的思想解答.18.（3分）若干个同学参加课后社团一一舞蹈活动，一次排练中，先到的个同学均匀排 成一个以。点为圆心，为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这（+2）个同学之间的 距离与原来个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等.这（+2）个 同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移兔米 2（请用关于。的代数式表示），才能使得这（几+3）个同学之间的距离与原来个同学之【分析】首先根据题意用代数式表示出个同学时和（川+2）个同学时每个同学之间的距离，根据距离相等，计算出小心a之间的关系.再设向后移x米，表示出（+3）个同 第18页（共30页）学时每两个学生之间的距离，根据这个距离与个同学时距离相等可以表示出X，最后把 其中的，代换成即可.【解答】解：原来个同学之间的距离为：空工，n（+2）个同学之间的距离为：2兀（r+a）,n+2由题意可知：2兀r=2兀（r+a）,整理得，2尸na，即三 n n+2 n 2设又有一个同学要加入队伍时，每人须向后移x米，这（/3）个同学之间的距离为：2兀（r+a+）,n+3由题意得：2兀（r+a+x）=2兀r,整理的，工=2二一 n+3 n n r a-=-,n 2-a=3X/a=?.n 2 2故答案为：A.2【点评】本题考查列代数式，以及代数式之间的运算问题.根据题意准确列出代数式并 进行运算是解题的关键.三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19.（6 分）计算：（2023）O+|1-V3I+V8-tan600.【分析】利用零指数幕，绝对值的性质，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值 进行计算即可.【解答】解：原式-1+2a/2-V3=2V2-【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.20.（6分）先化简，再求值：（-2）其中x满足,一 3尤-4=0.x+1 x-1 x2_1【分析】先化简题目中的式子，然后根据,一 3、-4=0即可求得/一3尤=4,直接代入 可以解答本题.【解答解：（/_-工）x+l X-l x2-l=x（x-l）_ 2（x+1）.1（x+1）（x-l）（x+1）（x-l）x2-i2=x-（x+1）（x-1）（x+1）（x-l）=x2-3%-2,第19页（共30页）Vx2-3x-4=0,.*.x2-3x=4,原式=4-2=2.【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21.（8分）某区教育局为了 了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽 取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等 级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图.（1）参与本次测试的学生人数为 150,m=30；（2）请补全条形统计图；（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成 绩能达到良好及以上等级）的学生人数.科学知识测.绩条形统计图 科学知识测辘绩扇形统计图不合格【分析】（1）从两个统计图可知，样本中学生测试成绩为“良好”的有60人，占调查人数的40%,由频率=期整即可求出调查人数，进而求出成绩为“优秀”的学生所占的百 忌数分比，确定根的值；（2）求出样本中成绩为“合格”的学生人数即可补全条形统计图；（3）求出样本中学生测试成绩达到良好及以上等级的人数所占的百分比，估计总体中学生测试成绩达到良好及以上等级的人数所占的百分比，进而求出相应的学生人数即可.【解答】解：（1）604-40%=150（人），454-150X100%=30%,即加=30,故答案为：150,30；第20页（共30页）（2）样本中成绩为“合格”的学生人数为150-45-60-5=40（人），补全条形统计图如下：科学知识测试成绩条形统计图（3）5000X11=3500（人），150答：全区该年级5000名学生中对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等 级）的学生人数大约有3500人.【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确 解答的前提，掌握频率=图壑是解决问题的关键.总数22.（8分）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区 某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索 道，他们分别在两山顶上取力、5两点，并过点5架设一水平线型轨道（如图所示），使得N45C=a,从点3出发按CZ）方向前进20米到达点,即BE=20米，测得N4助【分析】过点/作/尸，CZ）于点尸，根据sina的值设力尸=24x米，48=25x米，根据勾 股定理求出5厂的长，再根据匕珅的值即可求出x的值，从而求出力、3两点间的距离.【解答】解：过点/作4FUCZ）于点尸，A ZAFB=90，在 中，sinCL 二AF _24AB 25第21页（共30页）设力尸=24x米，/5=25x米,则由勾股定理得BF=VAB2-AF2=7(25x)2-(24x)2=7x米，在RtAFE中，tan B二告卬iSrg=20米,.24x c-二 q,7x+20 J解得x=20,/5=25x=500米.答：/、3两点间的距离为500米.【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数值的定义是 解题的关键.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23.（9分）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙 种树苗3棵共需H元.（1）求每棵甲、乙树苗的价格；（2）本次活动共种植了 200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大 树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要 想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？【分析】（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为p元/棵，根据“购买甲种 树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需H元”，可 列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设种植乙种树苗根棵，则种植甲种树苗（200-m）棵，根据要获得不低于5万元 的价值，可列出关于根的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.【解答】解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为歹元/棵，第22页（共30页）根据题意得：俨+2y=12,lx+3y=ll解得：fx=2.ly=3答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵；(2)设种植乙种树苗加棵，则种植甲种树苗(200-m)棵,根据题意得：2X100(200-m)+3X 100m50000,解得:mlOO,：.m的最小值为100.答：乙种树苗种植数量不得少于100棵.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是:(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出 一元一次不等式.24.(9分)如图1,点G为等边48C的重心，点。为5C边的中点，连接G。并延长至 点使得。O=DG,连接 G5,GC,OB,OC.(1)求证：四边形30CG为菱形.(2)如图2,以O点为圆心，OG为半径作。判断直线43与。O的位置关系，并予以证明.点M为劣弧上一动点(与点3、点。不重合)，连接四并延长交力。于点E,连 接CM并延长交48于点尸，求证：4E+Z厂为定值.【分析】(1)由等边三角形的性质得出GOL5C,且。即可得证；(2)直线48与。O的位置关系是相切，先由等边三角形的性质得出N/6G=NG5O=30,再结合菱形的性质即可得证；先求出NBMC,再说明AEC之/C4(44),从而得出力尸=。,结合4E+CE=/C第23页(共30页)可得力+4F=Z+CE=/C,即AE+AF为定值.【解答】（1）证明：ABC是等边三角形，G是重心，点。为5c边的中点，连接点力、G、D,其所在直线是3C的垂直平分线，GOBC,lBD=DC,:DO=DG,GO与BC互相垂直且平分，四边形50CG是菱形；（2）解：直线与。的位置关系是相切，证明：等边45C中，ZABC=60,3G为NZ6C的角平分线，：/ABG=/GBO=30,四边形5OCG是菱形，:./CBO=/GBC=30,V ZABO ZABG+ZGBC+ZCBO=90,：.ABOB,即 45 与。相切；证明：.N5GC与NAMG对应的弦为6C,ZBMC=ZBGC=1SO-60=120,：.ZMBC=1SO-120-ZMCB=60-ZMCB,V ZACB=60,ZACF=60-ZMCB,：.NACF=/MBC,V ZBCE=ZA=60,BC=AC,：.ABECAFCA（ASA）,：.AF=CE,9AE+CE=AC,：.AE+AF=AE+CE=4 C,即/+/尸为定值.【点评】本题考查切线的判定和性质，与圆有关的性质概念，菱形的判定和性质，等边 三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题关键.六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25.（10分）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每 第24页（共30页）颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生 对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标 准五角星，如图，正五边形45CQE的边A4、的延长线相交于点尸，NE4厂的平分线 交尸于点（1）求证：AE2=EFEM；（2）若/尸=1,求力的长；求S正五边形ABCDE的值AAEF【分析】（1）根据正五边形的性质可得/加=/4。=108。，从而利用平角定义可得 ZFAE=ZAEF=72,进而利用三角形内角和定理可得N尸=36,然后利用角平分线 的定义可得乙项=NM4=36,从而可得NF=NK4E,进而可证4及52巫/,最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；（2）设4E=x,利用（1）的结论可得：/F=/FAM=36,从而可得尸在利 用（1）的结论可得：ZFAE=ZAEF=72,从而可得4=尸=1,然后利用三角形的 外角性质可得尸=72,从而可得力进而可得力M=4E=4F=x,再利用线段的和差关系可得石=1-x,最后利用（1）的结论可得：AE2=EFEM,从而可得7=1（1 一%）,进行计算即可解 答；（3）连接5,CE,根据正五边形的性质可得45=Z=DE=CZ）=3C,NBAE=NAED=NEDC=NABC=NBCD=108：从而可得）（?,再利用等腰三角形的性 质可得N4BE=/4EB=36,ZDEC=ZDCE=36，从而可得NEBC=NECB=72,然后利用（1）的结论可得：/FAE=/FEA=72：从而可证利用力可证4之4第25页（共30页）EBC,再利用（2）的结论可得：胆=运二L,从而可得胆=1二L,进而可得也里AF 2 AF 2%皿=返二L,最后设Z6E的面积为（病-1）匕则/尸的面积为2匕从而可得Z5E2的面积的面积=（V5-1）k,，环 的面积=BCE的面积=2左，进而可求出五边形的面积=2效亏左，再进行计算即可解答.【解答】（1）证明：,五边形48SE是正五边形，：NB4E=N4ED=108,：.ZE4E=180-ZBAE=72,ZAEF=1SO-ZAED=72,A ZF=180-ZFAE-ZAEF=36,：AM 平分 NFAE,：.ZFAM=ZMAE=ZFAE=36,2J ZF=/MAE,：ZAEM=NAEF,：.AAEMAFEA,A AE=EM?ef EA?:.ae2=ef*em；（2）解：设/=x,由（1）可得：ZF=ZFAM=36,：.FM=AM,由（1）可得：ZFAE=ZAEF=12,：.FA=FE=,V ZAME=ZF+ZE4M=72,ZAME=ZAEF=72,；AM=AE,：AM=AE=AF=x,：.ME=EF-FM=1-x,由（1）可得：AE?=EFEM,.*.x2=1*（1-%）,第26页（共30页）解得：X=返或工=土叵（舍去）,2 2：AE=，后 T,2 _：.AE的长为近二1；2（3）连接5,CE,五边形ABCDE是正五边形，:AB=AE=DE=CD=BC,NBAE=/AED=NEDC=/4BC=/BCD=U）8,：.AABEADCE（S）,：AB=AE,ED=DC,ZBAE=ZCDE=10S,：NABE=NAEB=36,/DEC=/DCE=36,：.ZEBC=ZABC-ZABE=72,ZECB=ZBCD-ZDCE=72,由（1）可得：NFAE=/FEA=72,：NFAE=NEBC,ZFEA=ZECB,：.AFAEAEBC（力&4）,由（2）得：ae=VL,AF 2 AB=V5-1 -,AF 2.saabe=75-1；AAEF 2 设45石的面积为（返-1）k,则/石尸的面积为2万，的面积的面积=（遥-1）匕 4环 的面积的面积=2匕：五边形4BCDE的面积=ZU6的面积的面积+Z5C的面积=2、而匕第27页（共30页）.S正五边形ABCDE=2V5k=,AAEF 2k.正五边形ABCDE的值为AAEF【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的 已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.26.(10分)如图，抛物线y=/+l+c过点力(-1,0)、点5(5,0),交y轴于点C.(1)求6,c的值.(2)点尸Go,川)(O xo=/+法+。过点/(-1,0)、点3(5,0),第28页(共30页).二抛物线的表达式为：y=(x+1)(%-5)=x2-4%-5,:b=-4,c=-5；(2)由(1)得，抛物线的解析式为：y=x2-4x-5,令x=0,则=-5；：.C(0,-5)直线 6C 的表达式为：y=x-5,P(xo，2-4x0-5),x0过点尸作x轴的垂线，交线段3C于点。，:Sapbc=LoBPD=Lx5 乂(xo-5-Y2+4xo+5)2 2 0=-x 2+_?502 0 2=-(xo-2.5)2+125,2 8,当月=2.5时，S的值取最大，最大值为及；8存在，理由如下：由题意可知，PELPF,若尸尸是等腰直角三角形，则尸=尸尸,第29页(共30页),尸产X轴,:.F(4-xo，丫2-4xo-5),x0.PF=|2xo-4|,|2xo-4|=-v j+5xo,解得xo=-1（舍）或xo=4或比=工-短或xo=工+Y（舍），2 2 2 2 _工当尸尸是等腰直角三角形时，点尸的坐标为（4,-5）,（Z-VH,1-WH）.2 2 2 2【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉