21-数列的极限.pptx
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1、第第第第2 2 2 2章章章章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续2在微积分中在微积分中,微积分中其他的一些重要概念如微分、积微积分中其他的一些重要概念如微分、积分、级数等等都是建立在极限概念的基础分、级数等等都是建立在极限概念的基础上的上的.因此因此,有关极限的概念、理论与方法有关极限的概念、理论与方法,自然成为微积分学的理论基石自然成为微积分学的理论基石,本章将讨论本章将讨论数列极限与函数极限的定义、性质及基本数列极限与函数极限的定义、性质及基本计算方法计算方法,并在此基础上讨论函数的连续性并在此基础上讨论函数的连续性.极限是一个重要的概念极限是一个重要的概念,3数列的概念数列的概念
2、收敛数列的性质收敛数列的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 数列极限的概念数列极限的概念极限概念的引入极限概念的引入2.1 数列的极限数列的极限第第2 2章章 极限与连续极限与连续4一、极限概念的引入一、极限概念的引入极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到从有限到 即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇 中中“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二第二天取其剩下
3、的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完这样永远也取不完.2.1 数列的极限数列的极限写道写道:极限概念是由于求某些实际问题的精确解极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的答而产生的.无限无限,5刘徽刘徽(公元公元3世纪世纪)利用圆内接正多边形来推利用圆内接正多边形来推意思是意思是:设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接从圆内接正正6边形开始边形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出正求出正12边形、边形、等等正多边形的等等正多边形的正正24边形边形.边数越多边数越多,圆内接正多边形越与圆接近圆内
4、接正多边形越与圆接近,最最后与圆周重合后与圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有则正多边形周长与圆周长就没有误差了误差了.“割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不以至不可割可割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”算圆面积的方法算圆面积的方法-就是极限思想在几就是极限思想在几何学上的应用何学上的应用.割圆术割圆术,边长边长,2.1 数列的极限数列的极限6正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 边形的面积边形的面积An2.1 数列的极限数列的极限7如如按照自然数的顺序排列的一列数按照自然数的顺序排列的一列数简记为简记为通项通项(gen
5、eral term),或者或者一般项一般项.二、数列二、数列(sequence of number)的概念的概念或记为或记为其中其中xn称为数列称为数列xn的的2.1 数列的极限数列的极限8可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取数列的几何表示法数列的几何表示法:数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数:整标函数整标函数或或下标函数下标函数 数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.2.1 数列的极限数列的极限9三、数列极限三、数列极限的概念的概念即即问题问题当当 n 无限增大无限增大时时,如果是如果是,当当n无限增大无限增大时时,xn无限接近无限接
6、近于于1.如何确定如何确定?定性的描述定性的描述xn是否是否无限接近无限接近于于某一确定的数值某一确定的数值?2.1 数列的极限数列的极限10 如何用精确的、定量化的数学语言刻画它如何用精确的、定量化的数学语言刻画它.可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.当当n无限增大无限增大时时,xn无限接近无限接近于于1.定量的描述定量的描述2.1 数列的极限数列的极限11 用希腊字母用希腊字母来刻画来刻画xn与与1的接近程度的接近程度.2.1 数列的极限数列的极限12定义定义2.1 如果对于任意给
7、定的正数如果对于任意给定的正数总存在正整数总存在正整数N,使得对于使得对于 时的一切时的一切不等式不等式成立成立.或称数列或称数列xn收敛收敛于于a(converge to a).记为记为或或那末就称常数那末就称常数a是数列是数列xn的的 极限极限(limit),如果数列如果数列xn没有极限没有极限,就说数列就说数列xn发散发散(diverge).么小么小),(不论它多不论它多2.1 数列的极限数列的极限13注注xn有没有极限有没有极限,一般地说一般地说,但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项.定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号
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