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整式的乘除与因式分解全章复习与巩固

要点一、幂的运算
1. 同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2. 幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3. 积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4 .同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
　　同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5. 零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
　　要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁
要点二、整式的乘法和除法

1. 单项式乘以单项式
　　单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2. 单项式乘以多项式
　　单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
　　即(都是单项式).

3. 多项式乘以多项式
　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
　　即.
　　要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.

4. 单项式相除
　　把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
要点三、乘法公式

1. 平方差公式：
　　两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
　　要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
　　平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

2. 完全平方公式：；
　　两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
　　要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍
要点四、因式分解

　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
　　因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
　　要点诠释：
　　落实好方法的综合运用：
　　首先提取公因式，然后考虑用公式；
　　两项平方或立方，三项完全或十字；
　　四项以上想分组，分组分得要合适；
　　几种方法反复试，最后须是连乘式；
　　因式分解要彻底，一次一次又一次
类型一、幂的运算

1、计算下列各题：
　　（1）　　 （2）
　　（3）　 （4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
　　【答案与解析】
　　解：（1）．
　 　 　（2）
　　　　　　 ．
　　　　（3）
　　　　　　 ．
　　　　（4）
　　　　　　 ．
　　【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别
　　【变式】当，＝4时，求代数式的值．
【答案】
　　解：
类型二、整式的乘除法运算

　　2、解下列不等式．
　　（1）
　　（2）3、已知，
【答案与解析】
　　解：（1），
　　 　　　　，
　　　　　　　．
　　　　（2），

　　　　　　　．
　　【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解求的值．

　　【变式】（1）已知，求的值．
　　（2）已知，，求的值．
　　（3）已知，，求的值

【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．
　　【答案与解析】
　　解：由已知，得，
　　　　即，，，
　　　　解得，，．
　　　　所以．
　　【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值
类型三、乘法公式

　　4、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？

　　【答案与解析】
　　解：∵
　　　　　，
　　 　　 是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．
　　【总结升华】
　　要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．

【变式】解下列方程(组)：

　　【答案】
　　解：原方程组化简得，解得
　5、已知，，求： (1)；(2)
【思路点拨】在公式　中能找到　的关系.
　　【答案与解析】
　　解：（1）　

　　　　　 　∵，，
　　　　 　　∴
　　　　（2）　

　　　　　　∵，，
　　　　　　∴.
　　【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路
类型四、因式分解
　　6、分解因式：
　　（1）；
　　（2）．

　　【答案与解析】
　　解：（1）．
　 　　 （2）

　　 　　　　．
　　【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否
【变式】分解因式：（1）
　　（2）
　　（3）
　　【答案】
　　解：（1）原式
　　 　 （2）原式＝

　　　　（3）原式＝

巩固练习
　　一.选择题
　　1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ 　）．
　　A．　 　　B．
　　C．　　　　 D．

　　2．下列计算正确的是(　 )．
　　A. 　　　　　　　　　 B.
　　C. 　　　　　　 D.

　　3. 若是完全平方式，则的值是（　 ）
　　A. —10　　　 B. 10　　　 C. 5　　　 D. 10或—10

　　4. 将＋分解因式，正确的是（　　）
　　A．　　　　 B．
　　C．　　　 　D．

　　5. 下列计算正确的是（ 　）
　　A. 　　　　　　 　B.
　　C. 　 　　D.

　　6. 若是的因式，则为（　 ）
　　A. －15　　　 B. －2　　　 C. 8　　　　 D. 2

　　7. 因式分解的结果是（　 ）
　　A．　　　 B． 　　 C． 　　 D．

　　8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（　　）
　　①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
　　A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个

　　二.填空题
　　9．化简＝______．
　　10．如果是一个完全平方式，那么＝______．
　　11．若，化简＝________．
　　12. 若，＝__________.
　　13. 把分解因式后是___________.
　　14. 的值是________．
　　15. 当，时，代数式的值是________.
　　16.下列运算中，结果正确的是___________
　　①，②， ③，④，⑤，
　　⑥，⑦，
　　⑧ ，⑨ 　

　　三.解答题
　　17.分解因式：
　　（1）；
　　（2）；
　　（3）.
　　18. 解不等式，并求出符合条件的最小整数解．
　　19．已知：，，试用表示下列各式：
　　（1）；(2)；(3)．
　　20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；
　　(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？

一.选择题
　　1. 【答案】A；
　　　 【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.
　　2. 【答案】B；
　　3. 【答案】D；
　　　 【解析】
　　4. 【答案】C；
　　　 【解析】＋＝＝．
　　5. 【答案】B；
　　　 【解析】；；.
　　6. 【答案】D；
　　　 【解析】.
　　7. 【答案】A
　　　 【解析】＝.
　　8. 【答案】D；
　　　 【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.
　　二.填空题
　　9. 【答案】.
　　10. 【答案】±3；
　　 　 【解析】.
　　11. 【答案】1；
　　 　 【解析】.
　　12. 【答案】0；
　　 　 【解析】.
　　13. 【答案】；
　　 　 【解析】.
　　14. 【答案】－2；
　　 　 【解析】.
　　15. 【答案】19；
　　 　 【解析】.
　　16. 【答案】③⑤⑥⑨；
　　 　 【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，
　　　　　　　　要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.
　　三.解答题
　　17. 【解析】
　　解：（1）＝；
　　 　 （2）；
　　 　 （3）.
　　18. 【解析】
　　解：

　　　　 符合条件的最小整数解为0，所以.
　　19. 【解析】
　　解：（1）；
　　　　（2）；
　　　　（3）．
　　20．【解析】
　　解：设为原来的价格
　　 　（1）由题意得：
　　 　（2）由题意得：
　　 　（3）由题意得：.
　　 　所以前两种调价方案一样