数列的极限96840.pptx

蚌埠学院 高等数学29 三月 20241 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支微分学和积分学。第一章 蚌埠学院 高等数学29 三月 202421.割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术中利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用。一一、问题的提出问题的提出 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽蚌埠学院 高等数学29 三月 20243正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积 说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416。蚌埠学院 高等数学29 三月 20244二、数列的极限二、数列的极限 1.数列：数列就是由数组成的序列。缩写为 ，称为通项。nxnO.例如无限接近无限接近0 无限接近无限接近0 1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：蚌埠学院 高等数学29 三月 20245例如,趋势不定收 敛发 散蚌埠学院 高等数学29 三月 20246注：2）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取1）数列是以自然数为定义域的函数蚌埠学院 高等数学29 三月 202472.数列极限的定义从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的属性收敛性。正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积抛开具体含义，抽象得到数学模型数列极限。蚌埠学院 高等数学29 三月 20248图形演示播放播放蚌埠学院 高等数学29 三月 20249问题问题 当n时,xn某确定数值？若是,如何确定？问题问题 “无限接近”意味什么？如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:蚌埠学院 高等数学29 三月 202410发散：如果数列没有极限，就说数列是发散的。定性定义：设xn为一数列,若存在常数a,对任给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得当n N 时，不等式|xn-a|都成立,那么就称 a是数列xn 的极限,或者称数列xn 收敛于a,记为 或 。注：b)的任意性，N的存在性，N依赖。a)不等式|xn-a|0,使得对一切xn,恒有|xn|M成立,则称数列xn有界;否则,称为无界。注：数轴上对应于有界数列的点xn都落在-M,M上.例如:数列xn=n/(n+1)有界；数列 xn=2n 无界。蚌埠学院 高等数学29 三月 202420定理定理2 收敛的数列必定有界.证证注注1 有界性是数列收敛的必要条件.注注2 无界数列必定发散.注注3 有界数列不一定收敛.蚌埠学院 高等数学29 三月 202421定理3证3.收敛数列的保号性.蚌埠学院 高等数学29 三月 2024224.收敛数列与其子数列的关系.蚌埠学院 高等数学29 三月 202423注：若 有两个子列收敛于不同的极限，则 发散。如：。定理4由定义由定义,蚌埠学院 高等数学29 三月 202424四、内容小结四、内容小结数列极限：极限思想，精确定义，几何意义收敛数列的性质：有界性，唯一性，保号性蚌埠学院 高等数学29 三月 202425五、思考判断题五、思考判断题下列定义是否可作为数列极限的定义1、对任意的2、对任意的否否作业：作业：P30.2、3（1、2）