纠错编码.docx
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1、第11章 纠错编码本章目录11.1 编码信息传输模型11.2 无差错信息传输原理11.3 纠错编码与译码基本原理11.4 线性分组码11.5 线性循环码11.6 二元线性卷积码本章内容要点(1) 纠错编码传输模型,信道编码定理,香农限以及编码增益;(2) 码的基本参量,基本编码方法,译码模式和纠错码的应用方式;(3) 典型码例,伴随式、标准阵列、比特翻转译码方法;(4) 循环码,BCH码和RS码;(5) 卷积码,维特比译码,Turbo码。11.1 编码信息传输模型信息的表述 在概率意义上,信息是随机事件,消息是其样本,信息量是样本空间的概率度量。 在数据结构上,样本表述为消息码元组成的数据分组
2、。任何信息总可以表述为二元随机序列或随机向量 当的概率分布为均匀分布,则一个具有一个比特信息(信息量单位比特)。 任何二元数据串或向量的一个分量称为一个比特数据(数据个数单位比特)。冗余编码(Coding)与调制(Modulation) 编码(与调制):数据分组到信号的转换, 或 码字(Codeword):与离散信号的一对一数据向量,称为编码码元,简称码元(Code Symbol)。 冗余性:无误差信息传输的基本途径图11.1.1 编码在信息传输、数据传输与信号传输中作用常规通信信号基带传输模型 是等效幅度衰落系数,常为参数的瑞利(Rayleigh)分布随机变量,均值,方差。 是等效叠加噪声值
3、,常为均值、方差的正态或高斯(Gaussian)分布随机变量。 在时间与频谱特性上,为白噪声过程,功率谱密度值为,故称相应信道为AWGN信道(加性白高斯噪声,Additive White Gaussian Noise)。B-AWGN信道及信噪比 信道描述:输入/传输/输出分别为BPSK信号(幅度);,白噪声; 传输符号差错概率:对相干硬判决解调,能量, 信噪比:信号平均功率与噪声平均功率之比,由带宽得到,随机差错与突发差错 传输差错:在传输符号层次上,编码信道抽象为符号的概率转移过程,总有差错。 随机差错(Random Error):符号差错在传输符号序列中均匀分布。通常认为单纯AWGN信道上
4、的差错是随机差错。随机差错的一个必要条件是信道无记忆性或有独立性。 突发差错(Burst Error):符号差错在传输符号序列中有局部高密度分布(如)。瑞利衰落总会导致突发差错。不同突发密度区间的最大长度称为突发长度。无记忆二元对称信道模型BSC(p)(1/2) BSC(Binary Symmetric Channel)是最简单的硬判决随机差错模型,信道输入,输出,干扰 对BPSK调制和相干解调,称为BSC的信道转移概率 BSC图形模型码元符号图11.1.2 BSC图形模型无记忆二元对称信道模型BSC(p)(2/2) BSC代数与概率模型模二()加算术运算规则:, 差错图案(Error Pat
5、tern):,当且仅当传输分组中的第i位符号差错。纠错编码传输特征(1/2) 逻辑上,纠错编码传输的单位是分组或向量或码字,而不是符号或比特。图11.1.4 编码信道的分组传输模型 物理上,对于时间顺序上逐个符号调制与传输,纠错编码传输在物理实现上是逐个符号或波形的传输。 基本分析上,不考虑任何处理延时和信道传输时延。纠错编码传输特征(2/2)记消息比特持续时间,带宽,发送比特能量,有: 总有,且比值称为传输码率。 数据传输时延为。 消息传输总时不变,则传输信号带宽。 消息传输总能量不变,则比特传输能量。 消息传输总时和总能均不变,则有无编码的传输功率不变,即。BSC的常见概率计算对于以及比特
6、的分组:(1) 恰有错概率:(2) 平均错数:信道平均差错率。(3) 错数方差:(4) 差错数越少的图案出现概率越大,分组编码与分组码 分组编码(映射):以某种约束关系而成逻辑整体,并称为码字,为码元。 元分组码(Block Code)或: 个相同约束关系的码字且(符号集),称为码长 元分组码:且为整数,称为消息(位)长,称为校验(位)长。 编码码率(Code Rate,码率):平均每个码元等效传输的消息符号数,例11.1 二元n-重复码 构造方法:每个码字的码元都是同一个码元的次重复。 3-重复码例:在长为3的8个不同二元向量中选择向量集合构成的分组码,并有:, 编码与调制对应:用3-重复码
7、和BPSK调制传输1个比特消息数据的对应关系为,例11.2 四元重复码 构造:四元2-重复码是一个 , 码率:四元2-重复码的每个码元平均传输的消息比特数为比特,一个码字传输的消息比特数为比特。 直接调制:由于比特,所以四元码的逐个符号调制是四元调制,如QPSK。例11.3 二元等比码 构造:5元组中恒定有3个分量为1;二元等比码有; 常用于传输10进制数字符号,码率为 由于不是整数值,所以不存在整数值的消息位长和冗余位长。11.2 无差错信息传输原理信道容量 信道容量:信道上符号信息传输的最大速率(计量单位为比特/符号)。BSC(p) :AWGN样点信道:B-AWGN符号信道:AWGN波形信
8、道: (比特/秒)信道容量特征 是通过调整信源符号的概率分布达到。 是AWGN信道在信道输入幅度值呈高斯分布条件下获得的,仅作为任意信道的信道容量的理论上限。 符号信道容量与时间波形信道容量的关系为,“比特/秒()”参量不同物理概念、相同“比特/秒()计量单位”参量除信道容量外,还有: 发信率(或信源速率):单位时间内信源发送出的表示信息的消息比特数。 传输率(或信道速率):单位时间内信道传输的二元符号(比特)数。 传信率(或信息速率)(Information Rate):单位时间内信道传输的信息量。 “比特/秒()”参量间关系 一个信道应有。 不考虑同步以及帧开销时,。 信道容量计算并不区分
9、比特差错是消息比特差错还是冗余比特差错,所以为互信息量,为折算等价BSC信道容量。 无损失信息传输:数据传输的差错特性(1/2)信息本身的传输减损只能通过对表示信息的消息数据的差错统计特性间接描述。(1)信道误码率(传输误码率):传输中等效的二元符号的差错数与等效的总发送二元符号数的比值。对均匀信源和BPSK,。(2)信息误码率(消息比特误码率):传输中的差错消息比特数与总发送消息比特数的比值。与具体编码译码方式有关,在译码门限之上有。无纠错编码时,。数据传输的差错特性(2/2)(3)信息减损率:传输中减损的信息量与总发送信息量的比值。由总传输时间和,例11.4 信息减损率与传信率的计算与分析
10、(1/3)消息比特为等概分布,。表11.2.1 不同误码率时信息传输的信息减损率与传信率0.50.310-1510-210-210-410-600.11870.53100.71360.95240.99850.99998510.88130.46900.2860.048()011.8753.1071.3695.2499.8599.9985()08.90339.82553.52071.43074.88874.99888信息减损率与传信率的计算与分析(2/3)(1)极低误码率时,信息减损率逼近误码率,例如。(2)极高误码率时,信息减损率逼近100%,例如。信息减损率与传信率的计算与分析(3/3)(3)
11、传信率并不能由所确定的消息比特差错比例直接获得。只表明100个消息比特传输中平均有5个消息比特差错,对无冗余的,传信率并非等于。(4)统计意义上可大于,但传信意义上总小于等于,大于实际表明一半以上的信息传输减损。例11.5 n-重复码的差错概率计算与分析择多判决准则译码的消息比特差错概率(1)并有,传信率。(2)虽然可有,但总有,。n-重复码不能获得意义上的有效信息传输。无损失信息传输的可能与不可能 不可能实现由传输符号能量而使并进而。 不可能由不恰当的编码获得有效的无信息损失传输,且。 无损失信息传输可能性?香农(Shannon)信道编码定理!最小差错概率译码(1/2)记表示接收向量,译码输
12、出码字为,则码字译码差错概率最小当且仅当后验概率最大运用贝叶斯准则得最大后验概率译码准则称为发送收到的似然值。如果为常数,得最大似然(ML)译码准则最小差错概率译码(2/2)离散信道上,与的差异由两向量间不同分量的个数(汉明距离)确定。对于BSC有,至此最大似然译码准则简化为汉明距离意义上的最小距离(MD)译码准则,即定理11.2.1(香农信道编码定理)对q元信道,若容量为(比特/符号),则存在一种的分组码,在时,按最大似然译码的。反之,若,则不存在任何条件下的分组码可使。 。 。 可有且()。 不是构造性定理,至少不能依此衡量不同码的极限(或)性能。通信的极限目标、基本资源与评估指标 通信的
13、极限目标是消息比特差错概率趋于0。 通信的基本开销或基本资源是时间,频率和能量。 通信的基本评估指标是信息比特谱效率和香农限(Shannon Limit)两个极限参量信息比特谱效率 信息传输的信息比特谱效率是单位时间单位带宽上传输的信息比特数,即 (比特/秒.赫兹) 值越小,系统的开销或代价越大或耗用通信资源的效率越低。 信息传输效率而非消息或数据传输效率的归一化衡量参量。香农限香农限是传输一个信息比特所需的最小(功率)信噪比。记传输一个符号比特的能量为,则传输一个消息比特的等效能量为,显然消耗100的能量并不表示无差错传输了100个信息比特,于是记为无差错传输一个信息比特的能量,那么信息比特
14、谱效率与香农限的关系 由得信息比特信噪比与信息比特谱效率的关系为 狭义香农限:任何系统传输一个信息比特所需信噪比的最小值,能量带宽效率平面 由参量对界定的二维平面可达区域不可达区域0.693系统A系统B系统C234562345101图11.2.1 编码信息传输系统的能量带宽效率平面BSC-相干BPSK信道的香农限当码率时的香农限为,B-AWGN-BPSK理想软判决信道的香农限(1/2)其中。B-AWGN信道与之间的数值关系,见表11.2.2。B-AWGN-BPSK理想软判决信道的香农限(2/2)表11.2.2 B-AWGN的0.010.050.100.150.200.250.300.350.4
15、00.45-1.55-1.44-1.29-1.13-0.96-0.79-0.62-0.43-0.24-0.030.500.550.600.650.700.750.800.850.900.950.190.420.680.961.281.632.052.543.214.18例11.6 n-重复码的效率分析(1/5)分析条件:信源均匀分布,B-AWGN-BPSK传输。 能量开销分析:有无编码的平均消息比特能量相等, 和 和分析: 无编码和:例11.6 n-重复码的效率分析(2/5) 有编码和:例11.6 n-重复码的效率分析(3/5) 计算实例:表11.2.3 BPSK传输n-重复码的差错特性差错特
16、性无编码3-重复码5-重复码0.1(-10dB)0.100(-10dB)0.033(-14.77 dB)0.020(-16.99 dB)0.3260.3480.3540.0850.0680.0621.176(0.71dB)1.471(1.67dB)1.613(2.08dB)例11.6 n-重复码的效率分析(4/5)表11.2.3 BPSK传输n-重复码的差错特性(续)8(9dB)8.00(9.03dB)2.67(4.26dB)1.60(2.04dB)0.0000320.00110.0370.0000320.00000360.00047880.9994760.99992970.99402918.
17、0042(9.033dB)8.0006(9.031dB)8.0481(9.057 dB)例11.6 n-重复码的效率分析(5/5)(1) 传输比特能量可小于香农限,但等价总大于香农限。例如-10dB(2) 不恰当的编码反会导致性能恶化。例如5-重复码性能劣于无编码性能,3-重复码性能优于无编码性能,(3) 纠错码需在信噪比大于译码阈值时显现性能改善特性。不同的纠错码存在不同的译码门限值。(4) 单纯增加重复码码长不能改善性能。例11.7 Turbo码和低密度校验码LDPC码由C. Berrou等人于1993年提出的一种8状态码率码长为5000的Turbo码在采用8至10次迭代译码的条件下,可以
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