Romanian Mathematical Magazine问题1132的加强与逆向.pdf
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1、R o m a n i a nM a t h e m a t i c a lM a g a z i n e问题1 1 3 2的加强与逆向安徽省南陵县城东实验学校 邹守文 (邮编:2 4 1 3 0 0)摘 要 给出了R o m a n i a nM a t h e m a t i c a lM a g a z i n e问题1 1 3 2的加强,同时给出其逆向不等式,在此基础上得到一个关于c y crbrca2的不等式和一个恒等式c y ca2rbrc=4Rr-4.关键词 不等式;加强;逆向不等式;恒等式 1 引言R o m a n i a n M a t h e m a t i c a l
2、M a g a z i n e问 题1 1 3 2(P r o p o s e db yM a r i nC h i r c i u-R o m a n i a)为:在A B C中,求证1:c y crbrca2r2R+2c y crawa(1)同时给出了S o u m a v aC h a k r a b o r t y-K o l k a t a-I n d i a的一个证明.并给出(1)式的一个加强,同时给出其逆向不等式,在此基础上得到一个关于c y crbrca2的一个不等式,并得到一个恒等式c y ca2rbrc=4Rr-4,作为对(1)式的有效扩充.2 主要结果定理1 在A B C
3、中,有c y crbrca232-5r2R+2c y crawa(2)c y crbrca2-2c y crawaR2r2-1 54(3)定理2 在A B C中,有c y crbrca2R2r2+R2r-1 14(4)c y crbrca21 14-rR(5)3 定理的证明3.1 定理1的证明证明 设A B C的 三 边 长 为a,b,c,由(s-a)ra=(s-b)rb=(s-c)rc=s r,有ra=s rs-a,rb=s rs-b,rc=s rs-c.又由角平分线 公 式,有wa=2b+cb c s(s-a),wb=2c+ac a s(s-b),wc=2a+ba b s(s-c),于是有
4、c y cra=s rs-as rs-bs rs-c=s2r,c y cwa=8a b c s s(s-a)(s-b)(s-c)(b+c)(c+a)(a+b)=8a b c s2r(b+c)(c+a)(a+b),c y crawa=(a+b)(b+c)(c+a)8a b c,又由G e r r e t s e n不等式s21 6R r-5r2,有c y crbrca2-2c y crawa=s2(s2-1 4R r+2r2)+2R r3+r4-4R2r21 6R2r2(1 6R r-5r2)(1 6R r-5r2-1 4R r+2r2)+2R r3+r4-4R2r21 6R2r2=6R2-1
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