第一章机械运动习题答案.doc

习题（一）
一、选择题

y
a
c
b d
O x
图1-98

1. 一质点在xy平面内运动，其运动方程为，式中a、b、c均为常数。当运动质点的运动方向与x轴成45º角时，它的速率为[ B ]。
A．a； B．； C．2c； D．。
2. 一质点以匀速率在xy平面内运动，如图1-11所示。则经轨道上的a、b、c、d四点时，质点的加速度最大的点是[ B ]。
A．a B．b
C．c D．d
3. 下列说法中正确的是（ D ）
A． 加速度恒定不变时，物体的运动方向也不变；
B．平均速率等于平均速度的大小；
C. 当物体的速度为零时，加速度必定为零；
D．质点作曲线运动时，质点速度大小的变化产生切向加速度，速度方向的变化产生法向加速度。
4. 设木块沿光滑斜面从下端开始往上滑动，然后下滑，则表示木块速度与时间关系的
v v

t t
C D
图1—99
v v

t t
A B
曲线（如图1-99所示）是[ D ]。

二、填空题
v

C B
A

0 t1 t2 t
图1-100

1. 一质点沿x轴运动，其运动方程为（SI）。质点的初速度为 2m/s ，第4秒末的速度为 -6m/s ，第4秒末的加速度为 -2m/s2 。
2. 质点作直线运动，其速度与时间的关系曲线如图1-100所示。图中过A点的一切线AC的斜率表示 t1 时刻加速度 ，割线AB的斜率表示 t1 时刻到t2时刻的平均加速度 ，曲线下的面积表示 从t1时刻到t2时刻质点的位移 。
三、计算题
1. 已知质点的运动方程为，（SI）。试求：
（1）试导出质点的轨道方程，并图示质点的运动轨迹；
（2）计算t=1s和t=2s时质点的位置矢量，并计算1s到2s之间质点的平均速度和位移；
（3）计算质点在第2秒末时的速度和加速度，并说明质点作何种运动？
答：(1)由得 ，代入
即为轨道方程。
（2）位移矢量

由平均速度定义知
（3）
第2秒末速度为：

第2秒末加速度为：
2.一小球沿斜面向上滚动，经过时间t后与出发点的距离为x=3t-t2（SI制），试求：
（1）小球的初速度；
（2）小球的加速度；
（3）小球何时开始下落
解：（1）将运动方程对求导数：=3-2（m/s）
（2）加速度
（3) 3-2=0时，=1.5(s)
8. 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为。求：
（1）经过多少时间它的总加速度恰好与半径成45º角？
（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？
解 已知，即
由初始条件: t =0时，，得质点的瞬时速率

质点的法向加速度的大小为
这样总加速度为：
其中为沿半径指向圆心的单位矢量，为切向单位矢量。
（1）设总加速度与半径夹角为，
则有： ，
当=45º时，有，即要求
3t2 =3，t =1s（另一负根舍去）
所以t =1s时，总加速度与半径成45º角。
（2）由 和初始条件：t =0时，s0=0 ，得：

将t =1s 代入，求出这段时间内的路程：

由角位移与路程的关系
当t =1s时,
习题（二）

θ

图1—101

图2—11
一、选择题
1. 平地上放一质量为m的物体，已知物体与地面之间的滑动摩擦系数为μ。在力的作用下，物体向右运动，如图1—101所示。欲使物体具有最大的加速度，则力与水平方向夹角θ应符合等式[ C ]。
A．； B．； C．； D．。
2. 弹性势能公式成立的零势能参考点是[ C ]。
A．物体在平衡位置；
B．物体在任何位置；
C．物体处在弹簧既未伸长，也未压缩时的位置（即自然位置）；
D．无法确定。
3. 对功的概念有以下几种说法[ C ]。
(1) 保守力做正功时系统内相应的势能增加；
(2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；
(3) 作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做的功的代数和必为零。
在上述说法中：
A．(1)、(2)是正确的； B．(2)、(3)是正确的；
C．只有(2)是正确的； D．只有(3)是正确的。
二、填空题
1. 有一质量为m=0.5kg的质点，在xy平面内运动，其运动方程为，（SI），则在t=0秒至t=3秒这段时间内外力对质点所做的功为 48J ，外力的方向是沿x轴正向，受到冲量的大小为6kgm/s 。
2.一质量m为2kg的物体，所受力为Fx=4+6x，则物体由静止开始运动了4m的过程中，该力对物体所作的功为 或64J ；在x=4m处，物体的速率为 8m/s；在此过程中，该力冲量的大小为 16Ns 。
3. 已知质点的质量m=5kg，运动方程（SI），则质点在0—2秒内受的冲量的大小为 20Ns ，在0—2秒内所做的功为 40J 。

H
R

1-102

图2-13

4. .如图1-102所示，一质量为m的小球沿光滑轨道由静止开始下滑。要使小球沿半径为R的球形轨道运动一周而不脱离轨道，小球最低应从H为 5R/2 高处滑下。如小球由H=2R处滑下，则它能沿环行轨道上升到离地面的高度h= 5R/3 处。
三、计算题
6. 质量m=2kg的物体受到变力（SI）的作用而运动，t=0时物体位于原点并静止。试求前10秒内此力的功和t=10秒时物体的动能。
解：由牛顿第二定律知：
又因为
所以有
两边积分有
可得
当

由动能定理：

习题（三）
一、选择题
1．有两个半径相同、质量相同的细圆环，A环质量分布均匀，B环的质量分布不均匀。设它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和JB，则应有[ C ]。
A．JA>IB； B．JA< IB； C．JA= IB； D．不能确定。
2. 一力矩M作用于飞轮上，使该轮得到角加速度。如撤去这一力矩，此轮的角加速度为，则该轮的转动惯量为[ C ]。
A．； B． ； C． ； D．。
3. 一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时速率应为[ B ]。
A．； B．； C．； D．。
4. 一质量为m0 ，长为l 的棒能绕通过O点的水平轴自由转动。一质量为m，速率为v0的子弹从水平方向飞来，击中棒的中点且留在棒内，如图1-104所示。则棒中点的速度为[ B ]。
O
v0

图1-104

A．； B．；
C．； D．。
5. 下列有关角动量的说法正确的是[ D ]。
A．质点系的总动量为零，总角动量一定为零；
B．一质点作直线运动，质点的角动量一定为零；
C．一质点作直线运动，质点的角动量一定不变；
D．一质点作匀速直线运动，质点的角动量一定不变。
二、填空题
1. 半径为0.2m，质量为1kg的匀质圆盘，可绕过圆心且垂直于盘的轴转动。现有一变力F=0.1t（SI）沿切线方向作用在圆盘边缘上，如果圆盘最初处于静止状态，那么它在第3秒末的角加速度为 3rad/s2 ，角速度为 4.5 rad/s 。
2. 一球体绕通过球心的竖直轴旋转，转动惯量。从某一时刻开始，有一个力作用在球体上，使球按规律旋转，则从力开始作用到球体停止转动的时间为 1s，在这段时间内作用在球上的外力矩的大小为 0.1Nm 。
3. 某人站在匀速旋转的圆台中央，两手各握一个哑铃，双臂向两侧平伸与平台一起旋转。当他把哑铃收到胸前时，人、哑铃和平台组成的系统转动角速度应变 大 ；转动惯量 变大 。
4. 如图1-105，一匀质细杆AB,长为l,质量为m. A端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆q 时,杆的角速度为 .
5. 如图1-106所示一长为L的轻质细杆,两端分别固定质量为m和2m的小球 (可作质点看待),此系统在竖直平面内可绕过中点O且与杆垂直的水平光滑轴(O轴)转动, 开始时杆与水平成60°角,处于静止状态.无初转速地释放后,杆球这一刚体系统绕O轴转动,系统绕O轴的转动惯量J= 3mL2/4 .释放后,当杆转到水平位置时,刚体受到的合外力矩M= mgL/2 ; 角加速度b= 2g/(3L) . .
○
2m
○
m
O
·
╮
60°
图3-106

A
B
q

图1-105

三、计算题
3. 一根均匀铁丝，质量为m，长度为L，在其中点O处弯成º，放在xy平面内，如图1-107所示。求铁丝对x轴、y轴与z轴的转动惯量。

y

O
x
120º
图1-107

解：质量元
由转动惯量定义
积分得转动惯量：
同理：

6. 在图1-108中，物体的质量m1和m2，定滑轮的质量mA和mB ，半径RA和RB均为已知，且m1>m2 。设绳子长度不变，且绳子和滑轮间不打滑，滑轮可视为圆盘，试求m1和m2的加速度。
答：

RB RA

图1-108
m2
m1
分别以，两个滑轮为研究对象，
对于：
对于：
对于：
对于：

联立以上方程组求解得：
8. 长为l，质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态，现有一质量为m的橡皮泥沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞为完全非弹性碰撞），使棒向上摆到处，如图1-110所示，求橡皮泥的初速度。

θ

v0

图1-110

答：完全非弹性碰撞过程，碰后橡上皮泥与棒一起运动，
由角动量守恒可得
碰后根据机械能守恒
可解得：

x
A

O T t

-A
图1-113
习题（五）
一、选择题
1. 某质点按余弦规律振动，它的x～t曲线如图1-113所示，那么该质点的振动初相位为[ B ]。
A． 0； B．；
C．； D．。
2. 摆球质量为m，摆长为l的单摆，当其作简谐振动时，从正向最大位移处运动到正向角位移一半处，所需的最短时间是[ A ]。
A．； B．； C．； D．。
v(m/s)
t(s)
－vm
－vm/2
O
图1-114
3. 两个同方向、同频率、等振幅的简谐振动合成后振幅仍为A，则这两个分振动的相位差为[ C ]。
A．60˚ ； B．90˚； C．120˚； D．180˚。
4. 用余弦函数描述一简谐振子的振动,若其速度－时间(v－t)关系曲线如图1-114所示,则振动的初相位为[ A ]
A p / 6 ；B p / 3.；
C p / 2.； D 2p / 3.
二、填空题
1 一物体作简谐振动，周期为T，则：（1）物体由平衡位置运动到最大位移的时间为 T /4 ；（2）物体由平衡位置运动到最大位移的一半处时间为 T /12 ；（3）物体由最大位移的一半处运动到最大位移处时间为 T /6 。
2. 一质量为0.1kg的物体以振幅为0.01m作简谐振动，最大加速度为，则振动的周期为 πs ，通过平衡位置时的动能为；当物体的位移为 8.16×10-4m时，其动能为势能的一半。
3. 有一个和轻弹簧相连的小球沿x轴作振幅为A的简谐振动，其表达式用余弦函数表示，若t=0的状态为已知，写出相应初相位值：初运动状态为x0=-A时，初相位为；初运动状态为过平衡位置向正向运动时，初相位为；初运动状态为x0=时，初位相为；初运动状态为x0=时，初位相为。
v(m/s)

2 ①

0 π 2π ② t(s)
-2

图1-115

三、计算题
4. 已知两谐振子的v～t曲线如图1-115所示。
它们是同方向同频率的谐振动。求：
（1）这两个谐振动的振动方程；
（2）它们的合振动方程。

答：（1）对振子1：
由图可知：

t=0时 或
∵下一时刻v方向向上，沿x轴正向运动，则初相取
∴
对振子2：t=0时，

（2）
（矢量合成）

5. 两个同方向的简谐振动：

求：
（1）合振动的振动振幅和初位相；
（2）另有一同方向的简谐振动：，问当为何值时，振幅最大？当为何值时，振幅最小？
答：（1）

（2）
时 振幅最大
振幅最小

习题（六）
一、选择题
1. 简谐波在介质中传播的速度大小取决于[ B ]。
A． 波源的频率； B． 介质的性质；
C． 波源的频率和介质的性质； D． 波源的能量。
2. 波速为4m/s的平面简谐波沿x轴的负方向传播。如果这列波使位于原点的质元作的振动，那么位于x=4m处质元的振动方程应为[ D ]。
A．； B．；
C．； D．。
3.一平面谐波在媒质中传播，媒质质元从平衡位置运动到最大位移的过程中，下列说法正确的是 ：[ D ]
A. 它的动能转化为势能。
B. 它的势能转化为动能。
C. 它从相邻的一段质元获得能量，其能量逐渐增大。
D. 它将自己的能量传递给相邻质元，其能量逐渐减小。
4.在弦上有一简谐波,其表达式是
y1=2.0×10-2cos[2p ( t / 0.02－x/ 20) +p / 3] ( SI )
为了在此弦线上形成驻波, 并且在x=0处为一波节,此弦线上还应有一简谐波, 其表达式为:[ C ]
A y2=2.0×10-2cos[2p ( t / 0.02 + x/ 20) +p / 3]
B y2=2.0×10-2cos[2p ( t / 0.02+x/ 20) +2p / 3]
C y2=2.0×10-2cos[2p ( t / 0.02+x/ 20) +4p / 3]
D y2=2.0×10-2cos[2p ( t / 0.02+x/ 20)－p / 3]
(以上均为SI制)
二、填空题
1. 图1-116为一传播速度u=10m/s的平面简谐波在t=0时的波形图，则在t=1.5s时，A处质点的振动速度的大小为 0.314m/s ，A处质点的振动速度方向为 沿y正方向 ，A处质点的振动加速度的大小为 0 。

y(m)
u
0.1 A
O
5 10 15 20 x(m)
-0.1
图1-116

y（cm）
4.0
2.0
0 2 5 8 11 t(s)
-4.0
图1-117

2. 一平面简谐波沿x轴负方向以u=2m/s的速度传播。原点的振动曲线如图1-117所示，则这列平面简谐波的波动方程为，在x=4m处质点的振动方程为t。
3. 写出沿x轴正方向传播的平面简谐波的波动方程，分别阐述下述情况下波动方程的意义：如果x给定，波动方程表示距波源x处质点在t时刻的位移；如果t 给定，波动方程表示 在t时刻，各处质点的位移情况 ；如果x、t都在变化，波动方程表示 不同质点在不同时刻的位移 。
4. 一细线作驻波式振动，其方程为（SI），则两列分波的振幅为 0.25cm，传播速度为 120cm/s ，驻波相邻两波节之间的距离为 3cm 。
三、计算题
1.某平面简谐波在t=0时的波形图和原点（x=0处）的振动曲线分别如图1-118（a）和图1-118（b）所示，求此平面波的波动方程。
y(cm) y(cm)
t=0 x=0
2 2
O 2 4 6 x(cm) O 1 2 3 t(s)
-2 -2
（a） （b）
图1-118

解：
方向的确定：由12-13（b）图知，时刻，振动方向向下，结合12-13（a）图得
即
令波动方程为：

由a图：时
令

令，
则有

3.已知两相干波源S1和S2 ，频率均为，波速均为u=10m/s，振幅均为5cm。波源S1和S2的初相位分别为，，波源的位置如图1-119所示。求两列波传到P点时的振动方程和P点合振动的振动方程。

S1
r1
3m
S2 P
r2=4m
图1-119

答：