大学工程力学平面弯曲2.pptx
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1、1 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章平平 面面 弯弯 曲曲7.1梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩7.2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力7.4梁的强度梁的强度7.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度2 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组纵纵向向对对称称面面:梁梁的的横横截截面面通通常常具具有有纵纵向向对对称称轴轴,所所有有纵纵向向对对称称轴轴组组成成的的平平面面,称称为为梁梁的的纵纵向向对对称称面面(symmetric plane)。主主轴轴平平面面:如如果果梁梁的的横横截截面面没没有有对对称称轴轴,但但是
2、是都都有有通通过过横截面形心的形心主轴,所有相同的形心主轴组成的平面,横截面形心的形心主轴,所有相同的形心主轴组成的平面,第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力称称为为梁梁的的主主轴轴平平面面(plane including principal axes)。由由于于对对称称轴轴一一定定是是主主轴轴,所所以以对对称称面面也也一一定定是是主主轴轴平面平面。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念3 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平平面面弯弯曲曲:所所有有外外力力(包包括括外外力力偶偶)都都作作用用梁梁的的同同一一主主轴轴平平
3、面面内内时时,梁梁的的轴轴线线将将弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线,这这一一曲曲线线位位于于外外力作用平面内。这种弯曲称为力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲(plane bending)。一一般般情情形形下下,平平面面弯弯曲曲时时,梁梁的的横横截截面面上上一一般般将将有有两两个个内力分量,就是内力分量,就是剪力剪力和和弯矩弯矩。如如果果梁梁的的横横截截面面上上只只有有弯弯矩矩这这一一个个内内力力分分量量,这这种种平平面面弯弯曲曲称称为为纯纯弯弯曲曲(pure banding)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截
4、面上的应力4 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组平平面面弯弯曲曲:所所有有外外力力(包包括括外外力力偶偶)都都作作用用梁梁的的同同一一主主轴轴平平面面内内时时,梁梁的的轴轴线线将将弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线,这这一一曲曲线线位位于于外外力作用平面内。这种弯曲称为力作用平面内。这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲(plane bending)。一一般般情情形形下下,平平面面弯弯曲曲时时,梁梁的的横横截截面面上上一一般般将将有有两两个个内力分量,就是内力分量,就是剪力剪力和和弯矩弯矩。梁梁在在横横向向力力作作用用下下,其其横横截截面面上上一一般般将将同同时时产产生生剪剪力力和和弯
5、弯矩矩,这这称称为为横横力力弯弯曲曲(transverse bending)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力5 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组试判断下列杆件中哪些是纯弯曲,哪些是横力弯曲?试判断下列杆件中哪些是纯弯曲,哪些是横力弯曲?是纯弯曲;是纯弯曲;是横力弯曲是横力弯曲梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力6 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 梁的中性层与横截
6、面的中性轴梁的中性层与横截面的中性轴梁梁弯弯曲曲后后,一一些些层层发发生生伸伸长长变变形形,另另一一些些则则会会发发生生缩缩短短变变形形,在在伸伸长长层层与与缩缩短短层层的的交交界界处处那那一一层层,既既不不发发生生伸伸长长变变形形,也也不不发发生生缩缩短短变变形形,称称为为梁梁的的中中性性层层或或中中性性面面(neutral surface)。中中性性层层与与梁梁的的横横截截面面的的交交线线,称称为为截截面面的的中中性性轴轴(neutral axis)。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力7 水 利 土
7、木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组中中性性层层与与中中性性轴轴梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力8 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 分分析析梁梁横横截截面面上上的的正正应应力力,就就是是要要确确定定梁梁横横截截面面上上各各点点的的正正应应力力与与弯弯矩矩、横横截截面面的的形形状状和和尺尺寸寸之之间间的的关关系系。可可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。应力分布应力分布应力公式应力公式变变 形形应变分布应变分布平
8、面假定平面假定物性关系物性关系静力静力 方程方程确定横截面上正应力的确定横截面上正应力的方法与过程方法与过程纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力9 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力10 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组实验现象纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力11 水 利 土 木 工 程 学 院 工
9、 程 力 学 课 程 组1、变变形形前前互互相相平平行行的的纵纵向向直直线线、变变形形后后变变成成弧弧线,且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。线,且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变变形形前前垂垂直直于于纵纵向向线线的的横横向向线线,变变形形后后仍仍为为直直线线,且且仍仍与与弯弯曲曲了了的的纵纵向向线线正正交交,但但两两条条横横向向线线间相对转动了一个角度。间相对转动了一个角度。实验现象纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力12 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 用用相相邻邻的的两两个个横横截截面面从从梁梁
10、上上截截取取长长度度为为dx的的微微段段,假假定定梁梁发发生生弯弯曲曲变变形形后后,微微段段的的两两个个横横截截面面仍仍然然保保持持平平面面,但但是是绕绕各各自自的的中中性性轴轴转转过过一一角角度度d。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力13 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组在在横横截截面面上上建建立立Oxy坐坐标标系系,其其中中z轴轴与与中中性性轴轴重重合合(位位置置未未定定),y轴轴沿沿横截面高度方向并与加载方向重合。横截面高度方向并与加载方向重合。微微段段上上到到中中性性面面的的距距离离为为y
11、处处长长度度的改变量为:的改变量为:式式中中的的负负号号表表示示y坐坐标标为为正正的的线线段段产产生生压缩变形,反之产生伸长变形。压缩变形,反之产生伸长变形。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力14 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组将将线线段段的的长长度度改改变变量量除除以以原原长长dx,即即为线段的正应变。于是得到为线段的正应变。于是得到这这就就是是正正应应变变沿沿横横截截面面高高度度方方向向分分布布的数学表达式。其中的数学表达式。其中 纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7
12、.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力15 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组其其中中 为为中中性性面面弯弯曲曲后后的的曲曲率率半半径径,也也就就是是梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲后后的的曲曲率率半半径径。因因为为 与与y坐坐标标无无关关,所所以以在在上上述述二二式中,式中,为常数。为常数。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力16 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应应用用弹弹性性范范围围内内的的应应力力应应变变关关系的虎克定律系的虎克定律:得得到到正正应应力力沿沿横横截截面
13、面高高度度分分布布的的数数学学表达式表达式式式中中 为为待待定定的的比比例例常常数数,E为为材料的弹性模量材料的弹性模量。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力17 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组这这表表明明,横横截截面面上上的的弯弯曲曲正正应应力力,沿沿横横截截面面的的高高度度方方向向从从中中性性轴轴为为零开始呈线性分布。零开始呈线性分布。这这一一表表达达式式虽虽然然给给出出了了横横截截面面上上的的应应力力分分布布,但但仍仍然然不不能能用用于于计计算算横横截截面面上上各各点点的的正正应应力力。这这
14、是是因因为为尚尚有有两两个个问问题题没没有有解解决决:一一是是中中性性轴轴的的位位置置没没有有确确定定,y坐坐标标无无法法计计算;二是中性面的曲率半径算;二是中性面的曲率半径 没有确定。没有确定。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力18 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应用静力方程应用静力方程确定待定常数确定待定常数 xzyCdAyzdA于是,应用积分的方法,于是,应用积分的方法,负负号号表表示示坐坐标标y为为正正值值的的微微面面积积dA上上的的力力对对z轴轴之之矩矩为为负负值值;Mz为为作作用用在
15、在加加载平面内的弯矩。载平面内的弯矩。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力19 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应用静力方程应用静力方程确定待定常数确定待定常数 xzyCdAyzdA纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力20 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组应用静力方程应用静力方程确定待定常数确定待定常数 xzyCdAyzdA将正应力表达式代入静力方程将正应力表达式代入静力方程 Sz=0结论:结论:中性轴一
16、定通过截面的形心。中性轴一定通过截面的形心。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力21 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 工工程程上上最最感感兴兴趣趣的的是是横横截截面面上上的的最最大大正正应应力力,也也就就是是横横截截面面上上到到中中性性轴轴最最远远处处点点上上的的正正应应力力。这这些些点点的的y坐坐标标值最大,即值最大,即y=ymax。将。将y=ymax代入正应力公式得到代入正应力公式得到 其中其中WZ称为弯曲截面系数,单位是称为弯曲截面系数,单位是mm3或或m3。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7
17、 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力22 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组yzbhzyd纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力23 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组zydD纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力24 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组这这是是梁梁弯弯曲曲时时的的另另一一个个重重要要公公式式梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲后后曲曲率率的数学表
18、达式。其中的数学表达式。其中EIz称为梁的称为梁的弯曲刚度弯曲刚度或或抗弯刚度抗弯刚度。这这一一结结果果表表明明,梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲后后的的曲曲率率与与弯弯矩矩成成正正比比,与弯曲刚度成反比。与弯曲刚度成反比。纯弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力25 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组理理论论与与实实验验结结果果都都表表明明,由由于于切切应应力力的的存存在在,梁梁的的横横截截面面在在受受力力之之后后不不再再保保持持平平面面,而而是是要要发发生生翘翘曲曲。对对于于细细长梁,这种翘曲对正应力影响很小
19、,通常可忽略不计。长梁,这种翘曲对正应力影响很小,通常可忽略不计。以以上上有有关关纯纯弯弯曲曲的的正正应应力力的的公公式式,对对于于横横力力弯弯曲曲,也也就就是是横横截截面面上上除除了了弯弯矩矩之之外外、还还有有剪剪力力的的情情形形,如如果果是是细细长杆,也是近似适用的,即长杆,也是近似适用的,即横力弯曲时梁横截面上的正应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力26 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 关于正应力的正负号关于正应力的正负号xyz+横力弯曲时梁横截面上的正应力 MyxyzMz+确确定定正正应应力力正正负负比比较较简
20、简单单的的方方法法是是首首先先确确定定横横截截面面上上弯弯矩矩的的实实际际方方向向,确确定定中中性性轴轴的的位位置置;如如果果所所要要求求应应力的那一点在受拉区则产生拉应力,否则产生压应力。力的那一点在受拉区则产生拉应力,否则产生压应力。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力27 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 关于最大正应力关于最大正应力横力弯曲时梁横截面上的正应力弯弯矩矩最最大大的的横横截截面面上上的的最最大大正正应应力力不不一一定定就就是是梁梁内内的最大正应力。的最大正应力。应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产
21、生应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产生最大正应力的那些截面,这些截面称为最大正应力的那些截面,这些截面称为危险截面危险截面;然后比;然后比较所有危险截面上的最大正应力,其中最大者才是梁内横较所有危险截面上的最大正应力,其中最大者才是梁内横截面上的截面上的最大正应力最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏,最。保证梁安全工作而不发生破坏,最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力28 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 关于最大拉
22、应力和最大压应力关于最大拉应力和最大压应力平平面面弯弯曲曲时时,如如果果梁梁的的横横截截面面具具有有一一对对相相互互垂垂直直的的对对称称轴轴,则则中中性性轴轴与与一一对对称称轴轴一一致致,此此时时最最大大拉拉应应力力与与最最大大压应力绝对值相等压应力绝对值相等。横力弯曲时梁横截面上的正应力如如果果横横截截面面只只有有一一根根对对称称轴轴,且且加加载载方方向向与与对对称称轴轴一一致致,则则中中性性轴轴过过截截面面形形心心并并垂垂直直对对称称轴轴。这这时时,横横截截面面上上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等,要分别计算最大拉应力与最大压应力绝对值不相等,要分别计算。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲
23、7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力29 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组试试计计算算图图示示简简支支木木梁梁横横放放与与竖竖放放时时的的最最大大正正应应力力,其中其中h=200mm,b=100mm。竖放横放【例例7-13】【解】200100200100第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力30 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组已已知知FP32kN,l=2m,横横截截面面形形心心坐坐标标yC=96.4mm,对对于于z轴轴的的惯惯性性矩矩Iz=1.02 108 mm4。求求:梁梁内最大正应力
24、。内最大正应力。FRAFRB1确定弯矩最大截面以及最大弯矩值确定弯矩最大截面以及最大弯矩值FRAFRB16 kN【例例7-14】【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力31 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组FRAFRB2计算最大拉应力和最大压应力计算最大拉应力和最大压应力 中性轴中性轴【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力32 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力两个基本假设
25、:1、横截面上的切应力方向与剪力平行;、横截面上的切应力方向与剪力平行;2、切应力沿截面宽度均匀分布。、切应力沿截面宽度均匀分布。zyFS矩形截面梁的切应力33 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力FS图图M图图第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力34 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.3 7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力35 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组矩形截面梁的切应力FS 横截面上的剪力;横
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