不可压缩Oldroyd-B系统的粘性消失极限.pdf
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1、五邑大学学报(自然科学版)JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY (Natural Science Edition)第 37 卷 第 4 期 2023 年 11 月 Vol.37 No.4 Nov.2023 文章编号:1006-7302(2023)04-0001-06 不可压缩 Oldroyd-B 系统的粘性消失极限 郭冬仪,黄金锐(五邑大学 数学与计算科学学院,广东 江门 529020)摘要:本文研究了带有阻尼项的一般不可压缩 Oldroyd-B 系统的三维 Cauchy 问题,并给出了粘性消失极限(单侧粘性)强解的收敛速度.关键词:Oldroyd-B 系统;不可压缩;强解;粘
2、性消失极限;收敛速度 中图分类号:O175.1 文献标志码:A Convergence Rates of Strong Solutions for a General Incompressible Oldroyd-B System with Vanishing Viscosity GUO Dong-yi,HUANG Jin-rui(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)AbstractAbstract:In this manuscript,the three d
3、imensional Cauchy problem for a general incompressible Oldroyd-B system with damping mechanism is studied,and the convergence rates of strong solutions with vanishing viscosity are established.Key words:Key words:Oldroyd-B system;Incompressible;Strong solutions;Vanishing viscosity;Convergence rates
4、1 模型与预备知识 本文研究在三维情形下粘弹性流体一般不可压缩 Oldroyd-B 系统的 Cauchy 问题:,div,(,),div0,ttuuupuuQuuu (1)其中,,33123(,):Tuuuu表示流体的速度场,,3()是应力张量的切向部分和非牛顿流部分,,p是流体的正压力函数,,12Tuuu 是流体的应变张量,,(,)Qu给定的双线性项如下:,(,)()Qubuu,其中T,12uu 表示流体的涡度张量,是速度梯度的反称部分,并且 1,1b.参数,收稿日期:2023-05-31 基金项目:国家自然科学基金面上项目(11971357);广东省自然科学基金面上项目(2023A1515
5、01010213)作者简介:郭冬仪(1998),女,广东揭阳人,在读硕士生,研究方向为偏微分方程的理论及其应用;黄金锐,教授,博士,博士生导师,通信作者,研究方向为 Navier-Stokes 方程、Landau-Lifshitz方程、向列型液晶的数学模型等非线性偏微分方程等.五邑大学学报(自然科学版)2023 年 2 和满足,0,0 .在不丧失一般性的前提下,假设,1.近 年 来,Oldroyd-B 系 统 的 数 学 分 析 引 起 了 人 们 的 广 泛 关 注.Elgindi 和 Rousset1在10,10000(,)(,)HBu 小初值条件下证明了速度方程中0且无流体耗散(0)的二
6、维正则解的全局存在性,其中00curlu.随后,Elgindi 和 Liu2 在3H范数小初值条件下对三维情形整体适定性进行了研究.而对于张量方程中0且没有耗散时的三维情形,即0,Fang-Zhang-Zi3证明了该系 统在 临界 Besov 空 间中 存在唯 一的 整体 解.对于无阻 尼的 情形,即0,Zhu4在3100|(,)Hu小初值条件下构造加权能量不等式证明了三维整体解的存在性.受先前工作的启发,本文计划研究包含单侧粘性消失极限的数学机制:情形 I:0且0;情形 II:0和0.本文的主要困难是耗散项缺失.为了补充耗散,下文引入如下辅助算子.将 Leray 投影算子应用于式(1)的第一
7、个方程和算子div?应用于式(1)的第二个方程,得到,.divdivdivdivdivdiv(,)2ttuuuuuQuu (2)然后,将11()应用于式(2)的第二个方程,表示为,1,div (3)将式(2)的线性部分和非线性部分组合重写如下,1,2,.2ttuuu (4)其中非线性项表示如下,1,1,12,divdiv(,).uuuQu (5)形式上,用0,0,0,0,(,)up表示当0时,(,)up的极限,则,0,0,0,0,1111(,)(,),uupp 同时,用,0,0,0,0(,)up表示当0时,(,)up的极限,且有,0,0,0,02222(,)(,).uupp 并且,(,)iii
8、i满足:,0,0.,0,112,0,0,0,212,0,0,12div,(,),tiiiiiiiiitiiiiiiiiiiiiiuuuuuuQQuu (6)和,0,0,0,112,01,0,0,2121,0,012,2divdiv(,)tiiiiiiiitiiiiiiiiiiiiuuuuuuQQuu ,.i (7)其中1,2i,ij是 Dirac 函数,对ij有1ij而对于ij有0ij,且,i满足不可压缩条件.第 37 卷 第 4 期 3 郭冬仪等:不可压缩 Oldroyd-B 系统的粘性消失极限 2 主要结果 本文首先介绍文献5中适定性结果.引理 15 假设,331300(,)()()uHL
9、,存在足够小的正常数0,使得3333,000()()HHu,则系统(1)存在唯一强解,3333(,)(0,);()()uCHH,且对于任意0t,满足时间衰减率:2237,3,42411(,)()(1),0,1,2,(,1.)()()kkLLutCtkutCt (8)对于情况 I(或情况 II),0取决于(或)和其他一些已知常数,但与(或)和t无关,而常数1C 可能取决于31,00(,)HLu和(或),但与(或)和t无关.下面介绍本文的主要结果.定理 1 对于情形 I,若2,2112,(0)HC,则关于粘性系数的收敛速度有:221,2,2,211130()()()dtHHHtsssC,(9)23
10、,2,21130()()dtHHtssC,(10)同时,对于情形 II,若2,2222,(0)HC,则关于粘性系数的收敛速度有:22,2,22230()()dtHHtssC,(11)222,2,2,222230()()()d tHHHtsssC,(12)其中常数3C 仅取决于1C 和2C.证明 首先给出系统能量的先验估计:将(0,1,2)kk应用于式(6),然后将式(6)的第一个方程乘,ki和将式(6)的第二个方程乘,ki,通过分部积分和对指数k求和可得 22222,2,2,2,2,21 d2 diiiiiHHHHHt 220,100,kkkkiiiikkuu 20,0,120,kkiiiik
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