步进与变化应力下加速寿命试验的残差及其分析-机械设计制造及自动化专业毕业设计-毕业论文.doc

上海电力学院

本科毕业设计（英文翻译）

英文原文： Residuals and Their Analyses for Accelerated Life
Tests With Step and Varying Stress
院　　系：　 能源与环境工程学院　 　
专业年级：　 机械设计制造及其自动化
学生姓名：　 学号：　

2012 年　5月　12日

步进与变化应力下加速寿命试验的残差及其分析
Wayne B. Nelson, Fellow, IEEE
摘要：用残差分析来评估一个回归模型，找出独特的数据点，并揭示其他变量的效果。加速寿命试验数据的合适的残差需要步进和变应力的测试来得到。本文定义了新的合适残差，并给出了对产生这些数据有助于理解的图形和数值分析。工程师将有利于应用这些技术更准确的测试结果评估。
关键词：加速测试，残差分析，模型拟合，步进和变应力。

缩写1
cdf（cumulative distribution function）累积分布函数
LR （likelihood ratio） 似然比

注释
样本i残差的估计
样本i的单元化残差
没有分位点的特定分数
整体累积分布函数在恒定应力水平S下的无故障时间t
的估计值
在变应力模式下的整体累积分布函数
i 步进模式下的步数
I 一个单位失效时的步数
对数残差的估计
n 测试样本的总数（样本大小）
p 反幂关系的功率参量
R 线性增加的升温速率
加速应力变量
步进模式下的步数i的应力等级
反幂关系的应力参量
变应力模式下时间的函数
步进应力模式下的样本i
两个同时的变应力变量
失效时间
样品失效和审查次数
应力变量的变换
分位数的标准正态分布
威布尔分布尺度参数，特征寿命
恒定应力下的威布尔分布尺度参数
恒定应力下的威布尔分布尺度参数值
被厚误差干扰的威布尔分布尺度参数
威布尔形状参数
威布尔形状参数估计值
另一个威布尔估计值
样本i的威布尔形状参数值
的估计值
线性化寿命－应力关系的系数
极值分布尺度参数
绝缘应用程序中步骤的共同保持时间
步数i的保持时间
变应力模式下失效累积时间
样本i的真正失效累积
极值分布的位置参数
对数正态分布参数
对数正态关于应力x的函数
对数正态分布参数sigma
样本i的对数正态值
的估计值
标准正态累积分布函数
步数i启动时间
步数i结束时间
恒定应力S下分位点F的寿命分布
的估计值
一、简介
目的：残差被广泛用于评估回归模型。加速寿命试验模型的评估尤为重要，因为这个关系考虑到加速应力而被用于推断产品生命周期，且分布经常到较低的尾部推断。本文介绍的步进和变应力加速寿命试验合适的残差，说明了他们从电缆绝缘步进应力测试数据的分析。这些残差，也可以使用适合每个受不同变应力以现场数据评估模型关于时间的量变曲线。在该领域正确建模的数据问题在汽车和其他应用中很常见。
概述：本节简要介绍残差分析的前期工作。第二节从电缆绝缘层的步进压力测试数据来说明；这些数据被用来展示定义和分析适当的余量。第三节提供了步变应力下加速寿命试验模型和残差的定义，它也提供了合适绝缘数据模型的估计值，以及相应的残差。第四节描述了这些残差的图形和数值分析。第五节描述了残差的延伸和对其他模型的分析，多个加速应力，非加速变量，和其他形式的寿命数据（间隔，左截断）。
前期工作：残差早已被用来评估回归模型（关系和分布）、数据、自变量对因变量的影响。所有基本回归文章，如Neter和其他人，定义观测残差，并提供图形和分析方法来分析它们。尼尔森将来自于恒定应力测试的审查寿命数据延伸到回归模型的拟合残差定义，并提供评估模型和数据的分析。尼尔森，和米克·埃斯科瓦尔提出审查恒定应力测试中的残差分析的各种应用。相反，在一些加速试验，比如步进应力试验，加速变量随时间变化。对于时变应力测试，本文定义了适合的残差，并描述其图形和数值分析。
恒定应力残差：尼尔森定义了恒定应力测试的对数残差，并介绍了利用的阿伦尼乌斯对数正态分布模型（将在第五节描述）的分析，再加上其他模型。这样的对数残差还能在阿伦尼乌斯图绘图时看出。1.一个数据点的残差是图形拟合中位数和阿伦尼乌斯关系之间的垂直距离。失效的样本产生观测残差，没有失效的产生残差右删失。对于对数正态分布，这样的对数残差是从一个正态分布产生多重设限的样本和标准差。这样的观察和审查对数残差可能是正面或负面的（分别高于或低于回归关系）。

二、说明性的数据
一个加速寿命试验的数据是使用变应力来说明合适的残差以及分析。数据是在液态氮(低温)的温度下来自电力电缆绝缘寿命试验。测试的目的是估计绝缘模型的寿命, 特别是1%点的寿命分布在不断设计应力水平为400伏特的。另一个测试目的一是比较这个绝缘材料和另一个的。这些数据出现在尼尔森[7],[8, 496页],但其中包含错误。
应力分布图:寿命试验,表1中每个样本都通过了电压测试步骤。在步骤1至4，每个样本被放在千伏相当的低电压10分钟，于是标准常规的测试和应用中产生一种柔和的老化。在接下来的步骤5 - 10,成群的样本分别在相应的高压下测试△时间, △=15，60，240,或960分钟。图2显示了步进模式下样本的寿命达到了960分钟。这样的步进应力测试能很快得到失效的数量,从而允许去估计模型。相反,恒定应力如果在测试应力过低时测试可能不得不运行很久。当然,短暂的寿命测试来估计从而推算寿命分布有大量统计数据的不确定性,因为这样的估计的方差和总测试时间是大致成反比的。这是统计等效的原则,而天下没有免费的午餐。准确性要求多次测试以及失效发生时的广泛应力水平。这里的绝缘失效发生在一个很窄范围内的应力水平,远离设计应力水平, 从而估计寿命分布有很大的不确定性,如下图所示。

图1 恒定应力测试的残差（被观察的，o被检查过的）

表1 步进应力电压和保持时间

图2 步进应力模式和数据，960分钟以后的样本（◆失效，◇被检查过的）
数据:表II显示数据从21电缆绝缘样本。第一栏显示样本的号码。第二栏显示了样本的绝缘厚度密耳。第三栏显示了试样在步骤5 - 10的保持时间是在几分钟内。第四栏显示累计时间上的测试在一定时间内直到失效或被排除失效(由+表明出)。其中,15个样本失效了。另6个在失效之前被移除,因此是恰当的审查。图2显示的数据是九个样本被测试960分钟的步骤, ◆表示一个失效的样本，◇代表一个被审核过的样本。由于有限的空间在低温实验法的热水瓶测试装置测试组仅有三个样本。例如,样本(1、2、3)先一起测试,然后样本(4、5、6)一起测试等。

表2 步进应力测试数据

残差：在图2,样本残差没有明显的图释，例如那些在图1的。附表二包含“失效累积残差，定义在第三部分,对于每个样本的。这样一个残差被观察或被正确审查的(用+表明)，根据是否样本失效,或者分别正确审查。在第四部分的这些残差分析是用来评估模型和数据。
三、步进应力模型和残差用途
目的：本节简要介绍了模型,对变应力下加速寿命试验的数据, 细节出现在尼尔森[8], [10, Chap. 10]。该模型由变应力影响下的一个恒定应力模型和失效累积(或损害)模型组成。本节给出了适合该模型的绝缘数据,并确定合适的残差。
恒定应力模型:威布尔功率模型作为恒定电压应力的功能是用来描述绝缘样本寿命恒压应力。它的假设是:
1)在任何恒定应力水平(必须积极的),寿命符合威布尔分布。
2)威布尔形状参数不取决于应力,因此是恒定的。
3)威布尔尺度参数是一个功率函数的应力,即，
（1）
在这里,，p是参数特征的结果和测试方法,他们是被估计的。在运行中，电缆绝缘运行在恒压应力下,但因为薄绝缘,等于绝缘电压除以厚度。也被称为电场,通常表示为E。在第四部分阐述了这和其他恒定应力模型可被用于其他用途。如果产品有超过一个的失效模式,每种模式应该是描述一项独立的恒应力模型。
内容：对于这个模型，总体小部分失效而实际上应力水平S是
（2）
寿命分布分位点F在应力水平S下的分布：
（3）
在这里，(3)是一个逆功率函数的应力。为了描述较低点的绝缘寿命分布，我们估计分位点(1st百分位数)在设计应力水平每千分伏。出现的最大似然（ML），适合恒定应力关系图。逐点95％置信区间（S-正规近似）。

图3 95%极限的对数-对数图估计值
失效累积：
到目前失效累积模式为变应力的作用，我们必须先定义失效累积。当施加的应力剖面是时间的函数，相应的失效累积的时间从0到的样本（或累积损伤）被定义为积分
（4）
每个群体单元，可视为有其固有的失效累积为一个特定的失效，即总体有一个在应力剖面下失效的失效累积分布的。例如，尼尔森[8]，[10，508页]给出了一个斜坡应力的应用，是一个选择的升温速率R在哪的应用。为逆功率的关系，和任意角度，失效累积是
（5）
考虑一个步进应力模式在步骤i时应力水平为，应用于时间到时间，并且相应特定寿命，当，并且。对于步骤I带有失效或者已被审查过的时间t，其失效累积（5）被分段评估为
（6）

表3 最大相似性估计值和95%近似置信区间（似然比）

这些方程式出现在Nelson [8], [10, Chap. 10].
寿命分布：对一组经受特定变应力的剖面，失效累积模型进行相应组的累积寿命分布是：
（7）
这里，在式2恒定应力累积分布取代。式（7）引号“”表明没有作为一个简单的代数式出现在表达式中，但是出现在失效累积积分式（4）。这个失效累积模型能胜任一些应用，但是不能胜任其他的；所以它需要在每个应用中进行评估。另外，其他的失效累积模型需要被开发和评估。对于式（2）的幂威布尔模型，
（8）
该方程表明有一个威布尔形状参数值,和一个受任何不同的应力剖面的尺度参数。
合适的模型:对于绝缘数据,最大相似性符合表格3提供的模型参数估计和近似的置信区间。尼尔森[7],[10,Ch.10，Sec. 2.3]简要描述了合适的最大相似性。尽管尼尔森[7],[8,p.496]的这些数据是不正确的,参数估计有正确的。范围是用一个参数估计记录的常态近似值s的采样分布来定的,这些范围通常太窄了,尤其是对于几乎没有失效的数据,并且比规定的置信下限要小。似然比范围也出现在表3的括号内；它们通常都较广，是比常态近似值更准确的；因为，他们更接近规定的置信区间。1%点设计应力水平是大宽度的置信区间的安全系数是105,是由于失效发生时范围内的应力很窄,以及外推法得到的结论。这组样本在恒定应力水平S下失效时间t的估计最大相似性是
（9）
在恒定应力水平S伏每密耳下的样本寿命分布的估计最大相似性的分位点F是
（10）
1%的关联的电缆寿命在一定时间内的估计最大相似性出现在图3。考虑到这个估计的相对大小以及实际电缆和样本,被描述为尼尔森[8],[10,p.497]。对于这1%的关系逐点的置信区间宽得不稳定。然而,他们会恰当反映1)窄范围的高应力在失效发生时,2)一个来自于被观察到在设计应力低点400伏特每密耳的失效的长外推法,3)样本和电缆尺寸的差异大。不过,这个估计鼓励工程师继续调查绝缘性。
软件:有商业计划,而方便的特性为最大似然性这样的模型拟合步进和变应力抽样调查测试,那里的失效时间数据可能是精确的,间隔或正确的审查。他们是：
•ALTA 7 的可靠性软件[13]，[14]向国内外用户提供最大相似性估计模型参数和分布并显示在一个特定的恒定应力水平。它也为他们提供了正常的近似置信区间。
•SuperSMITH Fulton 4.0版 [2]向国内外用户提供最大相似性估计模型参数。
其他的商业软件可以编程通过努力适应这样的模型,常规的例子包括SPLIDA Meeker和Escobar [3]只在S-PLUS[3],及SAS研究所的SAS。唐[15]展示了如何做这样符合的电子表格,但这种自制的分析缺乏置信区间,残差,以及其他重要的输出。更准确的似然比置信区间比大致的目前大部分软件提供的s-常态好。
残差:尼尔森[8],[10,p.503]提出了粗残差,并不令人满意。合适遵循了一点。假设是随机样本的大小n的失效和审查次数、在可能不同的应力剖面的观察下。其次,从式(8),相应的失效累积是从威布尔分布形状值,刻度参数=1的一个审查样品。这些失效累积是由上述恒定应力和失效累积模型组成的真正样品残差。这些失效累积残差模型参数的功能。例如, 式(6)显示,这些残差是一个函数模型参数,,p为绝缘的应用。在实践中,对模型参数的估计是常用的表达式到残差估计量。根据式(8)，这些残差来自近似威布尔分布形状值以及尺度参数。一个失效的样本已经观察到的残余,和一个在右边审核并未失效的样本。这些对于绝缘被观察和审查的残差出现在表II。这样残差通常是被多样审查的;那就是,观察过的残差是混在被审查中的。这些样本的失效累积残差进行分析后被描述为对如下模型和数据的评价。一些分析师可能会更倾向于使用对数残差。在威布尔模型中,他们大约有一个最小的极端值分布和位置参数和规模的参数。
四 残差分析
目的:此节展示了许多绝缘残差的图形和数值分析。这些包括:
•威布尔图表来评估威布尔分布,以及检查数据的离群值和独特性;
•残差的显示,交叉绘制样本号码和测试组;
•每七个测试组的残差的一个威布尔图表（A,B,…，G）；
•显示残差,交叉绘制测试设备上三个样本的位置；
•三个测试位置残差的一个威布尔图表；
•残差的显示，交叉绘制四个步进应力图；以及
•四个步进应力型残差的一个威布尔图表；
一些图被更为正规的似然比测试所补充。

图4 合并残差的威布尔图表
威布尔拟合：在上面的模型里，残差应该有一个威布尔分布。图4是 21个混合的残差(15个失效,以及6个被正确审查)。这和其他的威布尔图表都是用Fulton[2]的SuperSMITH的程序包制作的。Nelson [8], [10], Abernethy [1], and Meeker & Escobar [4] 描述如何让这些图有多样被正确审查的数据。这个图线相当直，这表明威布尔分布是合理的。图的斜率符合威布尔形状估计。这个图还显示没有出现离群值，曲率和其他的独特性。
显示组：图5显示了残差与样本的号码。注意,图中的这些样本是从头到尾编号的。待观察的残差用◆表示，审查过的用◇表示。在普通的最小二乘回归分析没有审查数据,这样的交会图很常见,也容易说明。审查数据在交会图的难以解释,是因为我们看不到他们的失效时期。即便如此,交会图还是会显示以下内容。样本们以三个为一组共被测试七组,交会图表明组(A,B,…，G在附表二)与组之间有明显的不同。这表明在控制或测试样本时缺乏统计控制。检查样本的厚度在表二显然表明了样本不是随机分配到七个测试组,可能导致观察到的存在区别。

图5 残差相对样本数量（◆失效，◇被检查过的）

图6 A,B,…，G七组的威布尔图表
威布尔图表组：图6是三个样本为一组，七组的一个威布尔图表，七个群组的差异令人信服。当七个威布尔分布和一个共同的 被适用于这七组的残差，生成的形状估计。因为和寿命发散的对数是成反比的,的高估计表明这七组之间的区别能由表格4里的许多数据发散来解释。这说明,测试组对寿命有很大的影响,造成组之间差距的原因可能是为了力图洞察绝缘性，样本制作，测试，或者任何能引起组之间差距。

图7 残差相对测试位置（◆失效，◇被检查过的）
群组似然比测试：一个似然比测试能提供一份关于表格2从A到G七个群组的对比。因为对于所有残差有一个单独普通的威布尔分布的模型，其极大对数似然比是-15.09。对于每个有不同的组，和一个共同的，其极大对数似然比是2.65。相应的似然比测试统计得到相等的七个将差扩大两倍，2[2.65-(-15.09)]=35.48。更多有不同的普遍模型比单独威布尔分布要多六个参数；那么测试统计大约有六个自由度的卡方分布。相应按百等分排列的99.9密耳是22.46。似然比统计值35.48远高于这个百分位。那么有着高度s重要性在群组间的实际差距得以证明。当然，这个测试大概因为1）残差并不是被作为似然比理论单独被统计观察的，并且2）卡方近似值是粗略的，因为每个群组包含极少失效数量（每组1到3个）。不管怎么样，群组间的差距是有明显说服力的。失控变化的来源需要被确定和控制。
厚度误差：表格2显示样本厚度测得接近0.5或1.0密耳。能否用测量误差解释七个测试组之间的误差？假设实际样本厚度是30密耳，并且被测得的厚度是30.5。根据逆功率关系，实际，并且带有测量误差的值是。他们的比率为。这是图六中一组分布由于厚度误差而导致的误差产生的最大结果。1.390以10为底的对数是0.143，或者图6中有1比7的对数循环。这七个分布能有更多很清晰的不同。那么厚度测量误差也不能解释测试组之间的巨大差距。
测试位置：测试设备有三个测试位置（1,2,3），可从表2中确定。这些位置是否对样本寿命造成了不同影响呢？图7展示了残差在交会图的相对位置。显示的并不能解释三个测试位置间的明显差距。但是显示的被审查的残差很难被解释。威布尔图在图8更为清楚。对于这三个测试位置，这三个分布几乎完全一样。那么就没有明确的区别存在于这三个测试位置。一个正式的似然比测试在这里很明显是不需要的。

图8 测试位置1,2,3的威布尔图表

图9 步进应力模式相对残差（◆失效，◇被检查过的）
似然比测试的位置：一个似然比测试提供了三个位置更正式的对比。对于有单一共同威布尔分布的所有残差，对数极大似然比是-15.09. 。对于每个有不同的组，和一个共同的，其极大对数似然比是-14.75。相应的似然比测试统计得到相等的七个将差扩大两倍，2[-14.75-(-15.09)]=0.68。更多有不同的普遍模型比单独威布尔分布要多2个参数；那么测试统计大约有2个自由度的卡方分布。相应按百等分排列的90密耳是4.6。似然比统计值0.68远低于这个百分位。那么就没有高度s重要性在三个位置间的实际差距。当然，这个测试大概因为1）残差并不是被作为似然比理论单独被s统计观察的，并且2）卡方近似值是粗略的，因为每个群组包含极少失效数量。不管怎样，群组间没有明显差距。
测试模式：测试分为15,60,240和960分钟四个步进应力模式。（模式1,2,3,4）。这些模式是否对样本寿命有不同影响呢？图9显示了残差在一个交会图里的相对步进模式。此图还显示出四种模式间有明显不同。图10中的威布尔图表有更明显地指出。一个像以上那些被描述能被用的正式似然比测试在这明显是没必要的。这里出现的区别是由于七个测试组之间的不同。

图10 步进模式1,2,3,4的威布尔图表

五 延伸和结论
目的：这部分将回顾一些残差的延伸以及他们的分析。
其他恒定应力模型：对于绝缘的恒定应力模型在这是幂威布尔模型。其他恒定应力模型是由失效累积模型所组成的，并且被用来分析时变加速寿命测试的数据。这样一个恒定应力模型必须有以下内容。寿命分布的尺度参数必须有一个关于变加速应力的函数，并且其他所有分布参数并不由应力决定。例如，如果寿命分布是对数正态分布的，那么中值就是尺度参数，也就是一个关于应力的函数，当正态分布不是参数。那么失效累积残差有一个尺度参数值为1的恒定应力模型作为相同的分布。
线性正态分布模型：另一个被广泛应用的恒定应力模型是线性正态分布[8], [10, p.243].他由以上所描述的失效累积模型所组成。其假定应力模型是：
1） 寿命是正态分布的，累积分布函数；这里是标准s-正态累积分布函数，而且中值是尺度参数。
2） 参数不取决于可变恒定应力，是实际加速应力S的已知函数。
3） 替代参数是的线性函数；即，
（11）
其中和是从数据中估计的参数。例如，对于阿伦尼乌斯关系，，其中是绝对开尔文温度。那么在转化恒定应力水平的总体小部分失效寿命是
（12）
同样，在恒定应力水平下寿命分布的分位点F是
（13）
其中是标准s-正态分布F的分位点。当转换应力随着时间变化，失效累积是
（14）
在应力模式总体寿命分布下的总体寿命分布是
（15）
这个模型屈服于Miner[5]对于金属材料在机械应力应力水平的随机循环光谱下的疲劳寿命规则。
多样变应力：以上绝缘模型包含一个单独的加速应力，电压应力。一个模型可能包含不止一个变加速应力；尼尔森[9]赋予两个之间的一个应用。例如，如果假设一样本上的两个同时时变应力是和，并且假设是他们函数的尺度参数。那么一个样本直到时间t的失效累积（以及残差）是
（16）
这个定义可引申到任何数量的同时变应力。
恒定变量：模型可能含有其他对于一个样本恒定的工程变量。这样的变量可能包含材料，设计，制造，操作，环境，以及其他变量。尼尔森Nelson [10, Chap. 10, Sec. 3]对于这样一个恒定变量大小的样本给予一个应用。任何模型分布的参数可能取决于这样的恒定变量。例如，对于威布尔分布，和都有可能是函数中的这类变量，但是只有可能是第三节中失效累积模型的时变应力函数。在这个绝缘应用中，可能被模式化作为一个函数测试位置，或者测试组。
非恒量和：假设威布尔分布是函数这样的恒定变量，并且样本有形状值。那么残差来自于分布中不同的。我们将估计值称为，那么“一体化”或者“标准化”残差近似来自于和的共同威布尔分布，并且可以被以上描述的分析出。同样地，当模型是正态分布时，并且样本有的估计值，联合对数残差近似来自于平均值以及标准偏差的s-正态分布。尼尔森[8], [10, p. 273]展示了这类残差的应用。
区间数据，待审核和截断：在以上理论中，样本实际失效和审核次数是已知的。在一些应用中，样本有时被检查来确定他们何时失效。当一个失效被发现，只能知道他将在最新和之前的检查间发生。一个未失效的样本在上次检查时被正确审核。这样的区间数据被叫做微电子学工业的读出数据。尼尔森[10, p. 145]对来自加速恒温测试的微处理器寿命这样的区间数据。区间数据也能从一个变应力加速测试中获得。那么样本的残差在检查处于失效累积区间则被发现失效，其中是之前检查的时间，并且是失效被发现的时间。最终检查时间的无失效残差是其失效累积，是被正确审核过的。这样的区间残差可以靠其他变量被交叉绘制，但是这样的图可能很难被解释。另外，这些残差的累积分布函数的Peto[12]估计可以在概率分布纸上绘制用来评定模型分布，或者其他变量的影响。这样的残差可以很容易地被延伸到待审核，以及缩短的情况；那么Turnbull[16]的累积分布函数估计值将被利用。对于S-PLUS的Meeker & Escobar [3]的输出量特征来计算Peto，以及来自与那些残差的Turnbull估计值。
结论：这里被展示的应用到许多模型和变应力测试的新残差。他们对这些数据和模型提供了有用的深刻见解。他们需要被与这种模型步进以及变应力数据相符的电脑程序包自动计算和分析。
致谢
作者鸣谢Dan Eno博士，由于他提出了关于数据对模型最大相似性符合程度从而造就了这篇关于残差的文章。另外，在作者的请求下，他慷慨地计算了这里的残差。Wes Fulton先生利用他的SuperSMITH(TM)软件，友好地提供了关于模型残差和关于残差的极大似然拟合模型图，[2].作者非常感激William Q. Meeker教授，Adamantios Mettas先生，Lisa Hacker女士，Wes Fulton先生，合伙编辑J.-C. Lu教授，以及那些读这篇文章原稿的审稿人以及他们提供的有用建议。

参考文献
[1] R. B. Abernethy, The New Weibull Handbook , 5th ed. : , 2006, Avail-able from author, 536 Oyster Road, North Palm Beach, FL 33408-4328, weibull@.
[2] W. Fulton, SuperSMITH(TM) Software. 2006 [Online]. Available: www.WeibullN, Fulton Findings(TM), 1251 West SepulvedaBlvd. PMB-800, Torrance, CA 90502, wes33@.
[3] W. Q. Meeker and L. A. Escobar, SPLIDA (S-PLUS Life Data Anal-ysis) Software—Graphical User Interface. 2004 [Online]. Available: www.public.iastate.edu/~splida, Available from Prof. Wm. Q. Meeker, Statistics Dept., Iowa State Univ., Ames, Iowa 50010
[4] W. Q. Meeker and L. A. Escobar , Statistical Methods for Reliability Data. New York: Wiley, 1998.
[5] M. A. Miner, “Cumulative damage in fatigue,” J. of Applied Mechanics, vol. 12, pp. A159–A164, 1945.
[6] W. B. Nelson, “Analysis of residuals from censored data,” Technomet-rics , vol. 15, pp. 697 –715, 1973.
[7] W. B. Nelson, “Accelerated life testing—step-stress models and data analyses, ” IEEE Trans. Reliability , vol. R-29, pp. 103 –108, 1980.
[8] W. B. Nelson, Accelerated Testing: Statistical Models, Test Plans, and ata Analyses . New York: Wiley, 1990.
[9] W. B. Nelson, “Prediction offield reliability of units, each under dif- ering dynamic stresses, from accelerated test data, ” in Handbook of
Statistics: Vol. 20 Advances in Reliability , N. Balakrishnan and C. R.Rao, Eds. New York: Elsevier Science, 2001, ch. 22, pp. 611–621.
[10] W. B. Nelson , paperback edition of Nelson (1990) with typo correc-tions and updated software descriptions . New York: Wiley, 2004.
[11] J. Neter, M. H. Kutner, C. J. Nachtsheim, and W. Wasserman , Applied inear Statistical Models, 4th ed. Homewood, IL: Richard D. Irwin,1996.
[12] R. Peto, “Experimental survival curves for interval-censored data,” Ap-plied Statistics , vol. 22, pp. 86 –91, 1973.
[13] “ALTA Users Guide” ReliaSoft Corp., 2007 [Online]. Available: , ReliaSoft Publishing, 1450 S. Eastside Loop, Tucson,AZ 85710
[14] “Accelerated Life Testing Reference,”ReliaSoft Corp., 2007 [Online]. vailable: , ReliaSoft Publishing, 1450 S. Eastside oop, Tucson, AZ 85710
[15] L. C. Tang, “Multiple-steps step-stress accelerated life tests: A model and its spreadsheet analysis, ” in Proc. of Ninth ISSAT International Conf. on Reliability and Quality in Design , Honolulu, Hawaii, 2003.
[16] B. W. Turnbull, “The empirical distribution function with arbitrarily grouped, censored, and truncated data, ” J. Royal Statist. Soc. B, vol.38, pp. 290 –295, 1976.