高三数学专题十空间角与距离的计算与证明.pptx

第一课时：第一课时：空间角空间角第一课时：第一课时：空间角空间角 课前导引课前导引 1.四面体四面体ABCD中，中，AB、CD所所成的角为成的角为60，E、F、G分别为分别为BC、AC、AD中点，若中点，若AB=CD=2，则，则EG=_.第一课时：第一课时：空间角空间角 课前导引课前导引 1.四面体四面体ABCD中，中，AB、CD所所成的角为成的角为60，E、F、G分别为分别为BC、AC、AD中点，若中点，若AB=CD=2，则，则EG=_.解析解析 EFG中，中，EFG=60或或120，则，则EG=2或或 .第一课时：第一课时：空间角空间角 课前导引课前导引 2.两异面直线两异面直线a,b所成角为所成角为60，过空间一点过空间一点P作与作与a、b都成都成25（或（或30或或40或或60或或80或或90）的直线，分别）的直线，分别可作可作_条条.2.两异面直线两异面直线a,b所成角为所成角为60，过空间一点过空间一点P作与作与a、b都成都成25（或（或30或或40或或60或或80或或90）的直线，分别）的直线，分别可作可作_条条.答案：答案：0、1、2、3、4、1.考点搜索考点搜索 1.掌握空间两异面直线所成的角、掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；直线与平面所成的角、二面角等概念；2.能熟练地在图形中找出相关的角能熟练地在图形中找出相关的角并证明；并证明；3.能用向量方法和非向量方法进行能用向量方法和非向量方法进行计算；计算；考点搜索考点搜索 链接高链接高考考 例例11（2004全国卷）已知球全国卷）已知球O的半的半径为径为1，A、B、C三点都在球面上，且三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为每两点间的球面距离均为 ，则球心，则球心O到平面到平面ABC的距离为的距离为 ()链接高链接高考考 例例11（2004全国卷）已知球全国卷）已知球O的半的半径为径为1，A、B、C三点都在球面上，且三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为每两点间的球面距离均为 ，则球心，则球心O到平面到平面ABC的距离为的距离为 ()B 链接高链接高考考 例例11（2004年天津卷）在棱长为年天津卷）在棱长为2的的正方体中中，正方体中中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，E、F分别是、分别是、AD的中点的中点.那么异面直线那么异面直线OE和和 所成的所成的角的余弦值等于角的余弦值等于()例例11（2004年天津卷）在棱长为年天津卷）在棱长为2的的正方体中中，正方体中中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，E、F分别是、分别是、AD的中点的中点.那么异面直线那么异面直线OE和和 所成的所成的角的余弦值等于角的余弦值等于()解析解析 利用空利用空间向量求解较简便间向量求解较简便.例例11（2004年天津卷）在棱长为年天津卷）在棱长为2的的正方体中中，正方体中中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，E、F分别是、分别是、AD的中点的中点.那么异面直线那么异面直线OE和和 所成的所成的角的余弦值等于角的余弦值等于()解析解析 利用空利用空间向量求解较简便间向量求解较简便.B 例例2 2（2005湖南卷）已知湖南卷）已知ABCD是上、下底边长分别为是上、下底边长分别为2和和6，高为，高为的等腰梯形，将它沿对称轴的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直折成直二面角，二面角，()证明：证明：ACBO1；()求二面角求二面角OACO1的大小的大小.法一法一 法二法二 例例33（2005全国卷一）已知四棱锥全国卷一）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，的底面为直角梯形，ABDC，底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC=AB=1，M是是PB的中点的中点.()证明：证明：面面PAD面面PCD；()求求AC与与PB所成的角；所成的角；()求面求面AMC与面与面BMC所成二面所成二面角的大小角的大小.()求面求面AMC与面与面BMC所成二面所成二面角的大小角的大小.法一法一 法二法二 如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系,(III)在在MC上取一点上取一点N(x，y，z),则则存在存在 R使使 方法论坛方法论坛 1.两条异面直线所成的角：两条异面直线所成的角：平移其中一条直线或者两条直线，平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；如果求出的是钝角，则取其补角；先求两条异面直线的方向向量所成先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角成相应的锐角.或者说，若或者说，若cos x，则，则这两条异面直线所成的角为这两条异面直线所成的角为 arccos|x|.方法论坛方法论坛 2.直线和平面所成的角：直线和平面所成的角：“一找二证三求一找二证三求”，三步都必须要，三步都必须要清楚地写出来清楚地写出来.向量法，先求直线的方向向量与向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角平面的法向量所成的角 ，而所要求的，而所要求的角为角为 3.平面与平面所成的角平面与平面所成的角:“一找二证三求一找二证三求”.一找：找出这一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形即为二面角的平面角；三求：解三角形求角求角.射影面积法：射影面积法：要注意所求角为要注意所求角为 或或 ；向量法向量法:先求两个平面的法向量先求两个平面的法向量所成的角为所成的角为 ，那么这两个平面所成的，那么这两个平面所成的二面角的平面角为二面角的平面角为 或或 .或者先求或者先求出二面角的平面角的两边的方向向量所出二面角的平面角的两边的方向向量所成的角成的角 ，而二面角的大小为，而二面角的大小为 或或 .注意：注意：(1)在求角时，若比较容易建在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较方法比较好；否则，用非向量方法比较简便简便.(2)用非向量方法求角时，要做到用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求一找二证三求”，在解题过程中一定要，在解题过程中一定要出现形如出现形如“就是所要求的角就是所要求的角”的句的句子子.长郡演练长郡演练 B组组 长郡演练长郡演练 B组组 解析解析 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 1.RtABC两直角边两直角边BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC=，则点，则点P到斜边到斜边AB的距离为的距离为_.课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 1.RtABC两直角边两直角边BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC=，则点，则点P到斜边到斜边AB的距离为的距离为_.简评简评 先利用三垂线定理找出点先利用三垂线定理找出点P到到AB的垂线段的垂线段.课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 1.RtABC两直角边两直角边BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC=，则点，则点P到斜边到斜边AB的距离为的距离为_.简评简评 先利用三垂线定理找出点先利用三垂线定理找出点P到到AB的垂线段的垂线段.3 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 2.正四面体正四面体ABCD棱长为棱长为a，动点，动点P、Q分别在线段分别在线段AB、CD上，则上，则|PQ|的的最小值是最小值是_.2.正四面体正四面体ABCD棱长为棱长为a，动点，动点P、Q分别在线段分别在线段AB、CD上，则上，则|PQ|的的最小值是最小值是_.简评简评 线段线段AB、CD的中点连线即的中点连线即为其公垂线段，而为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异的最小值就是异面直线面直线AB、CD的距离的距离.2.正四面体正四面体ABCD棱长为棱长为a，动点，动点P、Q分别在线段分别在线段AB、CD上，则上，则|PQ|的的最小值是最小值是_.简评简评 线段线段AB、CD的中点连线即的中点连线即为其公垂线段，而为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异的最小值就是异面直线面直线AB、CD的距离的距离.链接高链接高考考 例例11（2004年全国卷）已知球年全国卷）已知球O的半径为的半径为1，A、B、C三点都在球面上三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为且每两点间的球面距离均为 ，则球，则球心心O到平面到平面ABC的距离为的距离为()链接高链接高考考 例例11（2004年全国卷）已知球年全国卷）已知球O的半径为的半径为1，A、B、C三点都在球面上三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为且每两点间的球面距离均为 ，则球，则球心心O到平面到平面ABC的距离为的距离为()B 链接高链接高考考 例例22（2005全国卷二）不共面的全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有平面共有()A.3个个 B.4个个 C.6个个 D.7个个 例例22（2005全国卷二）不共面的全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有平面共有()A.3个个 B.4个个 C.6个个 D.7个个D 例例22（2004年江苏卷）年江苏卷）在棱长为在棱长为4的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O是正方是正方A1B1C1D1的中心，点的中心，点P在棱在棱CC1上，且上，且CC1=4CP.(I)求直线求直线AP与与平面平面BCC1B1所成的所成的角的大小角的大小(结果用反结果用反三角函数值表示三角函数值表示)；(II)设设O点在平面点在平面D1AP上的射影是上的射影是H,求证：求证：D1HAP；(III)求点求点P到平面到平面ABD1的距离的距离.解析解析 在线探究在线探究 1.(高中数学教材第二册下高中数学教材第二册下B第第51页页)已知正方体已知正方体ABCD-ABCD的棱长为的棱长为1，求直线求直线DA与与AC的距离的距离.在线探究在线探究 1.(高中数学教材第二册下高中数学教材第二册下B第第51页页)已知正方体已知正方体ABCD-ABCD的棱长为的棱长为1，求直线求直线DA与与AC的距离的距离.在线探究在线探究 分析：分析：如果能找到如果能找到DA与与AC的公垂的公垂线段，则用非向量方法也可，只需解直线段，则用非向量方法也可，只需解直角三角形角三角形.下面提供向量的两种解法下面提供向量的两种解法.法一法一 设设PQ为为AC与与DA的公垂线段的公垂线段,且且AP=x，AQ=y，则，则 ABCDABCDPQABCDABCDPQ 法二法二 如图建立直如图建立直角坐标系角坐标系.设设PQ为为AC与与DA的公垂线段，点的公垂线段，点P和和Q坐标分别为，则坐标分别为，则 ABCDABCD(O)PQyxz 方法论坛方法论坛 重点是点到平面的距离，直线到重点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离个平面的距离.1.两点的距离：两点的距离：(1)通常构造直角三角形解决；通常构造直角三角形解决；方法论坛方法论坛 2.两条异面直线的距离两条异面直线的距离:(1)如果已经找到或者容易找到两如果已经找到或者容易找到两条异面直线的公垂线，则转化成求公条异面直线的公垂线，则转化成求公垂线段的长度；垂线段的长度；(2)向量法：利用公式向量法：利用公式(其中其中A、B分别为两条异面直线上的分别为两条异面直线上的一点，一点，为这两条异面直线的法向量）为这两条异面直线的法向量）3.点到平面的距离点到平面的距离:(1)“一找二证三求一找二证三求”.一找：找到经一找：找到经过这个点与平面垂直的线段；二证：证明过这个点与平面垂直的线段；二证：证明这条线段与平面垂直；三求：一般通过解这条线段与平面垂直；三求：一般通过解直角三角形求出点到平面的距离直角三角形求出点到平面的距离.(2)等体积法等体积法.(3)向量法：利用公式向量法：利用公式(其中其中A为已知点，为已知点，B为这个平面内的任意为这个平面内的任意一点，一点，为这个平面的法向量为这个平面的法向量）注意注意 (1)在求距离时，若比较容易在求距离时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，或者比建立坐标系，找出各点的坐标，或者比较容易将其他向量用三个不共面向量来较容易将其他向量用三个不共面向量来表示，则用向量方法比较好；否则，用表示，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便非向量方法比较简便.(2)用非向量方法求距离时，要做到用非向量方法求距离时，要做到“一找二证三求一找二证三求”，在解题过程中一定，在解题过程中一定要出现形如要出现形如“线段线段OA的长度即为点的长度即为点O到到平面的距离平面的距离”的句子的句子.长郡演练长郡演练 B组组 1.在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA底面底面ABCD，PA=AB=1，BC=2.求证：求证：(1)平面平面PDC平面平面PAD；(2)若若E是是PD的中点，求异面直线的中点，求异面直线AE与与PC所成角的余弦；所成角的余弦；(3)在在BC边上是否存在一点边上是否存在一点G，使得，使得D点到平面点到平面PAG的距离为的距离为1，如果存在，如果存在，求出求出BG的值，如果不存在，说明理由的值，如果不存在，说明理由.长郡演练长郡演练 B组组 解析解析 (1)证证CD平面平面PAD；(2)取取CD中点中点F，用余弦定理求得，用余弦定理求得 ,则异面直线则异面直线AE与与PC所成角的余弦为所成角的余弦为 (3)若存在，设若存在，设BG=x，利用，利用VP-AGD=VD-PAG，求得，求得 .所以当所以当时，时，D点到平面点到平面PAG的距离为的距离为1.