高三数学一轮复习三角函数的图象及三角函数模型的简单应用巩固与练习.doc

巩固

1．(2008年高考全国卷Ⅱ)若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(　　)
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.|MN|＝|sina－cosa|＝，
∴|MN|max＝，故选B.
2．(2009年高考湖南卷)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．在A、B、C、D四项中，只有φ＝π时有y＝sin(x＋π)＝sin(x－)．
3．函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，下列结论中正确的是(　　)
A．图象C关于直线x＝对称
B．图象C关于点(－，0)对称
C．函数f(x)在区间(－，)内是增函数
D．由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
解析：选C.选项A错误，由于f()＝0≠±3，故A错．选项B错误，由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，因为f(－)＝3sin(－2×－)＝－，所以(－，0)不在函数图象上．此函数图象不关于这点对称，故B错误．选项C正确，令u＝2x－，当－<x<时，－<u<，由于y＝3sinu在(－，)上是增函数，所以选项C正确．选项D错误，由于y＝3sin2x的图象向右平移个单位得y＝3sin2(x－)即y＝3sin(2x－)的图象而不是图象C.综上，本题选C.
4．(原创题)设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左到右依次为A1，A2，…，An，…，则A10的坐标是________．
解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0，令k＝9得x＝19.
答案：(19,0)
5．(2009年高考宁夏海南卷)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图所示，则f()＝________.

解析：由图象知，函数的周期T满足×T＝π，∴T＝.
∵f()＝0，
∴f()＝f(＋)
＝f(＋)＝－f()＝0.
答案：0
6．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ωx＋)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求f(x)的对称轴方程；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋
＝sin(2ωx＋)＋.
令2ωx＋＝，将x＝代入可得：ω＝1，
f(x)＝sin(2x＋)＋，
对称轴方程为2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)可得
单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

练习

1．(2009年高考天津卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选A.因为T＝π，则ω＝＝2，f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝cos2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度时，y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x.
2.函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　　)

解析：选A.令x＝0得y＝sin(－)＝－，淘汰B，D.由f(－)＝0，f()＝0，淘汰C，故选A.
3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：选D.T＝＝1，故选D.
4．(2009年高考全国卷Ⅱ)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.函数y＝tan(ωx＋)的图象向右平移后得到y＝tan[ω·(x－)＋]＝tan(ωx－＋)的图象．又因为y＝tan(ωx＋)，∴令－＝＋kπ，∴＝＋kπ(k∈Z)，得ω的最小值为.
5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则它的解析式是(　　)
A．y＝4sin(4x＋) B．y＝2sin(2x＋)＋2
C．y＝2sin(4x＋)＋2 D．y＝2sin(4x＋)＋2
解析：选D.由条件得：⇒A＝m＝2，又＝⇒ω＝4，故f(x)＝2sin(4x＋φ)＋2，而x＝是函数图象的一条对称轴，故有f()＝2sin(＋φ)＋2＝4或0，即sin(＋φ)＝±1⇒φ＝kπ－(k∈Z)，故f(x)＝2sin(4x＋)＋2或f(x)＝2sin(4x－)＋2，故只有D符合条件．
6．设函数f(x)＝sin(2x＋)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点(，0)对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数
解析：选C.由对称轴和对称中心的意义将A，B选项检验知命题错；C平移后解析式为f(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x，故其为偶函数，命题正确；D.由于x∈[0，]时2x＋∈[，]，此时函数在区间内不单调，故选C.
7．已知函数f(x)＝πcos(＋)，如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．
答案：4π
8．(2009年高考宁夏海南卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.

解析：由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为2(2π－)＝，∴＝，∴ω＝.
∵当x＝π时，y有最小值－1，
因此×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝.
答案：
9.定义行列式运算＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
解析：f(x)＝＝cosx－sinx＝2cos(x＋)，
图象向左平移n(n>0)个单位，
得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋)，则当n取得最小值π时，函数为偶函数．
答案：π
10．(2009年高考重庆卷)设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋2
＝sin(2ωx＋)＋2.
依题意得＝，故ω＝.
(2)依题意得
g(x)＝sin[3(x－)＋]＋2
＝sin(3x－)＋2.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
11．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；
(2)问哪几个月能盈利？
解：(1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得A＝2，
B＝6，ω＝，φ＝－，
所以f(x)＝2sin(x－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)，
g(x)＝2sin(x－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.
2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，
∴8k＋3<x<8k＋9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3<x<9，
∴x＝4,5,6,7,8；
k＝1时，11<x<17，∴x＝12.
∴x＝4,5,6,7,8,12.
即其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．
12．已知a＝2(cosωx，cosωx)，b＝(cosωx，sinωx)(其中0<ω<1)，函数f(x)＝a·b，若直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，

(1)试求ω的值；
(2)先列表再作出函数f(x)在区间[-π，π]上的图象．
解：f(x)＝a·b＝2(cosωx，cosωx)·(cosωx，sinωx)
＝2cos2ωx＋2cosωxsinωx
＝1＋cos2ωx＋sin2ωx＝1＋2sin(2ωx＋)．
(1)∵直线x＝为对称轴，∴sin(＋)＝±1，
∴＋＝kπ＋(k∈Z)．
∴ω＝k＋，∵0<ω<1，
∴－<k<，∴k＝0，ω＝.
(2)由(1)知，f(x)＝1＋2sin(x＋)．
列表：
x＋
－π
－
0

π
π
x
－π
－π
－

π
y
0
－1
1
3
1
0
描点作图，函数f(x)在[－π，π]上的图象如图所示．