2023年高考全国甲卷数学(文)真题(解析版).docx
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1、2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合,则( )A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用集合交并补运算即可得解.【详解】因为全集,集合,所以,又,所以,故选:A.2.
2、( )A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选:C.3. 已知向量,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为,所以,则,所以.故选:B.4. 某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用古典概率的概率公式,结合组合的知识即可得解.【详解】依题意,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,总的基本事件有件
3、,其中这2名学生来自不同年级的基本事件有,所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选:D.5. 记为等差数列的前项和若,则( )A. 25B. 22C. 20D. 15【答案】C【解析】【分析】方法一:根据题意直接求出等差数列的公差和首项,再根据前项和公式即可解出;方法二:根据等差数列的性质求出等差数列的公差,再根据前项和公式的性质即可解出【详解】方法一:设等差数列的公差为,首项为,依题意可得,即,又,解得:,所以故选:C.方法二:,所以,从而,于是,所以故选:C.6. 执行下边的程序框图,则输出的( )A 21B. 34C. 55D. 89【答案】B【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出
4、【详解】当时,判断框条件满足,第一次执行循环体,;当时,判断框条件满足,第二次执行循环体,;当时,判断框条件满足,第三次执行循环体,;当时,判断框条件不满足,跳出循环体,输出故选:B.7. 设为椭圆的两个焦点,点在上,若,则( )A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】方法一:根据焦点三角形面积公式求出的面积,即可解出;方法二:根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出【详解】方法一:因为,所以,从而,所以故选:B.方法二:因为,所以,由椭圆方程可知,所以,又,平方得:,所以故选:B.8. 曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由切点设切线方
5、程,再求函数的导数,把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率,代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为,因为,所以,所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选:C9. 已知双曲线的离心率为,其中一条渐近线与圆交于A,B两点,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程,再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由,则,解得,所以双曲线的一条渐近线不妨取,则圆心到渐近线的距离,所以弦长.故选:D10. 在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,则该棱锥的体积为( )A. 1B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】证明平面,分割三棱锥为共底
6、面两个小三棱锥,其高之和为AB得解.【详解】取中点,连接,如图,是边长为2的等边三角形,又平面,平面,又,故,即,所以,故选:A11. 已知函数记,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令,则开口向下,对称轴为,因为,而,所以,即由二次函数性质知,因为,而,即,所以,综上,又为增函数,故,即.故选:A.12. 函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得,再作出与的部分大致图像
7、,考虑特殊点处与的大小关系,从而精确图像,由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为,所以,而显然过与两点,作出与的部分大致图像如下, 考虑,即处与的大小关系,当时,;当时,;当时,;所以由图可知,与的交点个数为.故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 记为等比数列的前项和若,则的公比为_【答案】【解析】【分析】先分析,再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若,则由得,则,不合题意所以.当时,因为,所以,即,即,即,解得.故答案为:14. 若为偶函数,则_【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.【详解】,且函数为偶函数
8、,解得,故答案为:215. 若x,y满足约束条件,则的最大值为_【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域,根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域,如图,由图可知,当目标函数过点时,有最大值,由可得,即,所以.故答案为:1516. 在正方体中,为的中点,若该正方体的棱与球的球面有公共点,则球的半径的取值范围是_【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大,当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为.当球是正方体的外接球时,恰好经过正方体的每个顶点,所求的球的半径最大,若半径变得更大,球会包含正方体,导致球面和棱没有交点,正方体的外接球直径为体
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