QBD矩阵方程的最小非负解.pdf
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1、第44卷第10 期2023年10 月宁夏师范学院学报Journal of Ningxia Normal UniversityVol.44 No.10Oct.2023QBD矩阵方程的最小非负解赵晓潞,关晋瑞,常常帅(太原师范学院数学与统计学院,山西晋中0 30 6 19)摘要:研究QBD方程的最小非负解,证明当方程的系数矩阵为正则M-矩阵时,方程仍然存在最小非负解,并在此基础上讨论最小非负解的有关性质最后通过几个例子对文中的理论结果进行验证。关键词:QBD矩阵方程;正则M-矩阵;最小非负解;不动点迭代法中图分类号:0 2 41.6收稿日期:2 0 2 3-0 7-2 5基金项目:国家自然科学基金
2、(12 0 0 1395);山西省科技创新人才团队专项资助(2 0 2 2 0 40 510 0 2 0 18)。作者简介:赵晓(1998 一),女,山西浑源人,硕士研究生,研究方向:数值代数及其应用;关晋瑞(198 5一),男,山西襄汾人,副教授,博士,研究方向:数值代数及其应用;常帅(198 2 一),男,山西大同人,讲师,硕士,研究方向:统计分布与极值统计。文献标识码:A文章编号:16 7 4-1331(2 0 2 3)10-0 0 19-0 6QBD矩阵方程是指如下形式的一类二次矩阵方程X=A。+A,X+A 2 X?,其中A。A 和A2是m阶的非负矩阵,A0,A20且A。十A1十A2为
3、行随机矩阵,即(A。+A i+A,)e=e,这里e是每一个分量均为1的列向量.QBD方程在排队论、控制理论、精算科学、概率论、运筹学和模拟现实问题中具有广泛的应用 1-5.QBD矩阵方程最典型的例子来自准生灭过程,具体细节可参考文献 2.近年来,人们对QBD方程的理论和数值解法进行了深人的研究,并得到大量的研究成果 6-2 2.在实际应用中,人们关心的只是方程(1)的最小非负解,文献 2 和 2 2 对最小非负解的存在性和有关性质进行了详细的分析.在数值解法方面,目前常见的方法有不动点迭代法、牛顿迭代法、L-R算法、C-R算法、保结构加倍算法等.LATOUCHEL6针对马尔可夫链是不可约的,提
4、出一种对数约简迭代算法,并证明算法具有二次收敛性.LATOUCHEL7提出一种应用在一类无限马尔可夫链上的非线性矩阵方程的特殊算法,并通过牛顿法对其进行转换.HE等 14分析离散拟生死马尔可夫链随机矩阵X的计算问题,提出一种移位循环约简算法,并证明改进算法的收敛速度总是快于原循环约简算法的收敛速度.GUO对QBD方程是否存在最小非负解X进行了详细研究,分别在文献 15中证明L-R算法在零循环QBD中的高效性,在文献 16 中提出可运用移位循环约简算法去求解离散QBD过程中相关的随机矩阵G,并指出该算法在零循环QBD下具有二次收敛性.CHEN等 2 2 1提出求解准生灭过程中最基本二次矩阵方程的
5、高精度(1)20加倍算法,并证明这种算法可以求解出QBD方程的最小非负解.特别是,作者还证明在I一A。一A1一A2是非奇异的M-矩阵或者不可约奇异的M-矩阵情况下,QBD方程存在唯一的最小非负解.综上所述,当I一A。一AI一A2是非奇异的M-矩阵或者不可约奇异的M-矩阵,QBD方程存在唯一的最小非负解,且有较多有效的数值解法.而当I一A。一A1一A2是正则可约奇异M-矩阵时,QBD方程是否存在最小非负解目前并没有文献给出,也没有对相应的QBD方程进行理论分析,但这种情形在实际应用中也是经常出现的.因此,QBD方程在I一A。一A1一A2是正则奇异M-矩阵的条件下的理论分析和数值算法巫须研究.本文
6、针对I一A。一A1一A2是正则M-矩阵进行了研究,并证明QBD方程此时仍存在最小非负解,最后通过几个例子进行了验证.1预备知识下面介绍本文的符号、记法以及一些预备知识.本文用Rmx表示实数域上全体mm阶的矩阵,用p(A)表示矩阵A的谱半径,用I表示m阶单位矩阵.设A=(a)ERx ,若对于任意的ij0都有aj0(a 0)成立,则称A为非负矩阵(正矩阵),记为A0(A0).设A=(a)ER,若对于任意的ij都有aj0成立,则A称为Z矩阵.显然,任意 Z矩阵都可以表示为A=sI-B的形式,其中B为非负矩阵.若进一步有sp(B)成立,则称该A矩阵为M-矩阵.特别是,当sp(B)时,称A为非奇异的M-
7、矩阵,当s=p(B)时,称A为奇异的M-矩阵.定义1 2 31设AE R为M-矩阵,若存在正向量u0,使得Au0,则称A为正则M-矩阵.引 理 1 2 4设AER为Z-矩阵,则下面几个结论等价.(a)A 是非奇异的M-矩阵.(b)A-10.(c)存在正向量v0使得Av0.(d)A 的特征值都具有正实部.引理2 2 设AERmx是一个非负矩阵.(a)谱半径p(A)是A的一个特征值.如果A也是不可约的,则(A)是一个简单特征值并且是正的.(b)存在与特征值(A)相关的非负右特征向量x和非负左特征向量y:如果A也是不可约的,则x0,y0.(c)设BE R,若BA,则p(B)p(A).若B也不可约且B
8、A,则 p(B)p(A).(d)当x0 时,若 Axx,则p(A).另外,如果Axx,则p(A)0,使得(I一A。一A一A2)v0,即(A。十A十A2)Vv.利用归纳法证明Xvv.当=0 时,X。=0,不等式成立.假设=l时不等式成立,则当k=1+1时,,于是XVV成立.(ii)根据上述分析,(X)单调递增且有上界,于是存在极限,设limX=X,在方程两端取极限可得X=A。十AiX十A2X,于是X为方程(1)的非负解.设H为方程(1)的任意一个非负解.利用归纳法不难验证由迭代格式(2)得到矩阵序列满足XH,于是limXk=XH.因此X为方程(1)的最小非负解.证毕.引人(1)的对偶方程方程(3
9、)与方程(1)有所不同,因为A。与A2的角色互换,现在假设I一A。一A1一A2为正则M-矩阵,则定理1也适用于对偶方程,特别是,这个对偶方程也有一个唯一的最小非负解,记为Y.定理2 设I一A。一AI一A2为正则M-矩阵,X和Y分别为方程(1)和(3)的最小非负解,则下述结论成立:(a)OX=A+A X。+A 2 X X,0 YI =A 2 +A,Y。+A YY.赵晓璐,等:QBD矩阵方程的最小非负解Xh+1=A+AIX+A2X,X。=0,Xi+1V=(A。+A r X,+A 2 X)v=AoV+AlXv+A2Xv(A+Ai+A2)vv,Y=A2+A,Y+AY?.21(2)(3)22(b)p(X
10、)1,p(Y)1.证明由定理1的证明可得(a)对于(b),当I一A。一A1一A为正则M-矩阵时,由定理1可知存在一个非零非负向量,使Xivv,limX=X,因此Xvv.根据引理2(d),可得p(X)1.k00同理,对于对偶矩阵方程(3),其谱半径也满足p(Y)1.证毕。3实例验证本节给出3个例子对本文的理论结果进行验证,这3个例子均是属于正则可约奇异的情形.在现有的文献中,关于方程的最小非负解并没有相应的结论.但根据我们前面的定理,可以得出方程存在最小非负解.例1 考虑 QBD方程(1),其中这里I一A。一A1一A是正则可约奇异的M-矩阵.根据定理1方程(1)存在最小非负解,且最小非负解为宁夏
11、师范学院学报A。O.2023年10 月O0X例 2 4考虑QBD方程(1),其中1/2001/20001/2000这里I一A。一Ai一A2是正则可约奇异的M-矩阵,且方程的最小非负解为例 3 4考虑QBD方程(1),其中1/2001/20A00001/2J00001/31/3001/2000000000000000001000000X:000010000000000000001/201/20001/200001/201/20001/300000001/2J00001/2J00第10 期赵晓璐,等:QBD矩阵方程的最小非负解23这里I一A。一A1一A2是正则可约奇异的M-矩阵,不难验证方程的最小
12、非负解为门1001X3-V5V5-1000通过上述3个例子可知,当I一A。一A1一A,为正则可约奇异M-矩阵时,QBD方程仍存在最小非负解,且最小非负解的谱半径均为1.00200021参考文献:1 HAGGSTROM O.Finite markov chains and algorith-mic applicationsM.Cambridge:Cambridge Univer-sity Press,2002.2BINI D A,LATOUCHE G,MEINI B.Numericalmethods for structured Markov chainsM.Oxford:Oxford Univ
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