R%5E%28N%29中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的Kirchhoff型问题的正解.pdf
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1、数学年刊A辑2023,44(3):323-334DOI:10.16205/ki.cama.2023.0023RN 中一类带 Hardy-Sobolev 临界指数项的Kirchhoff 型问题的正解段誉1孙歆1廖家锋提要研究如下一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型问题:u|2*(s)-2 ua+b(/Vulda)Au=(u E D1,2(RN),其中N3,a,入0,b,0,0 0 时,利用变分方法获得该问题正解的存在性.特别地,当m 0,uE D1,2(RN),其中 a,入0,b,m0,0s2,N3,函数 hE L-(R)为非零非负函数 2*(s)=D12(R)=ue
2、L2(R):Je/Vul2da 0,u E D1,2(RN).本文2 0 2 1年2 月2 3日收到,2 0 2 3年5 月4日收到修改稿.1贵州工程应用技术学院理学院,贵州毕节5 5 17 0 0.E-mail:d u a n y u 36 12 16 3.c o m;s u n x i n w a n 16 3.c o m2通信作者.西华师范大学公共数学学院,四川南充6 37 0 0 2.E-mail:*本文受到国家自然科学基金(No.11661021)和毕节市科学技术项目(No.202328,No.2 0 2 3 5 2)的资助IVul2dc)|u=u|2*-2 u+入h(a),IR,E
3、RN,(1.2)324当m=1时,文1 研究了问题(1.2).当入=0 时,利用分析技巧,获得了问题(1.2)正解的存在性与非存在性结果;当入 0 充分小时,利用变分方法,获得了两个正解的存在性.随后,文2 将文1 中入=0 的情况推广到一般的m0,并获得了无穷多个正解的存在性结果当m=2,N=3时文3 利用变分法获得了问题(1.2 两个正解的存在性.当m=1时,文4-5 分别在三维全空间和四维全空间中研究了带凹凸非线性项临界Kirchhoff 型问题;文6 中讨论了带超线性项和临界指数的Kirchhoff型问题.文7 将文1 推广至p-Kirchhoff 型问题.当m=1,N=3,0,入=0
4、 时,文8 中给出了问题(1.1)解的存在性与非存在性结果,详见该文中的定理2.4.结合文1,9 ,本文将文8 中的定理2.4推广至更一般的问题(1.1).问题(1.1)对应的能量泛函I为:6I(u)2m+2h(a)udc,Vu E D1,2(RN)./RN显然,I E Ci(D1,2(RN),R)且对任意的 u,E D1,2(RN),有(I(u),u)=(a+bll/2m)众所周知,问题(1.1)的解与能量泛函I在空间D1,2(RN)上的临界点是一一对应的.记A。为最佳Sobolev常数,即As:=uED1,2(RN)(0)数学年刊A辑2m+22*(s)/RN(u+)2*(s)-1.(Vu,
5、Vv)dc-/RNinf44卷u+(sdcvdc-h(c)udac.JRNJRNJr/Vul?deRNLul2*(s)d2(1.3)82主要结果及其证明当=1,b=0,入=0 时,问题(1.1)退化到如下经典的半线性椭圆方程:Ju/2(s)-2 u-u=由文 10-11 知,Ue(2)=9(N=0)(N-2)12+:-y/2-s是问题(2.1)的正解.特别地,取=1,y=0,由文11 有I U1,ll2=da=AJRN首先,给出本文的第一个结果,定理 2.1 假设0,b,m0,入=0.(1)当=0 时,若m=二%,对任意的n0,当且仅当b=A解 Ue,u,n=n老=%Uev;当 m =%时,问
6、题(1.1)有正解 Ueu.n=6bA_%m(N-s)1 2-,m(-2 Ue,:N-2aERV2-2U?*(s)1,0(2.1)VeER+,VyERN(2.2)(2.3)时,问题(1.1)有正3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev 临界指数项的Kirchhoff 型问题的正解(2)当0时,若m=,当且仅当 0 b一1AUe,y;N-2Ue,n=2325时,问题(1.1)有正解a(i)若 0 m=N-2正解 Ue,y,n=noUe,92(2-(i)若m且1.m(N-2)-2+s m(N-2)若 且1 m(N-2)-2+s m(N-2)2-Ue,9;N-2(i)若m且m(N-2
7、)-2+sm(N-2)N-2-Ue,和 Ue,y,n=n20 n1 0,令Ue,u,n=mUe,y,其中 Ue为(2.2)式所定义.从而有-AUe,u.n=-n2-AUe.,2-sm(N-S)m(N=2)-2+sbm(N-2)A。2-82-8m(N=)-2+。,存在两个常数2-8使得问题(1.1)有即-nU e,u.n根据(2.3)式,可计算得m(N-s)/VUe.u.m/da)m(N-2)a+b=(+bnRN因此,当入=0 时,求问题(1.1)的解就转化为求如下关于n方程的正解:下面,根据参量,我们分两种情况来讨论.(1)当=0时,(2.4)式可以转化为如下方程:n=bA.2一若 9-2 =
8、1 时,即m=%吕。容易计算得当且仅当 b=2-S(对一切 n0).因此,当且仅当 b=-1时,方程A.6(Vulda)u=u/2(s)-2 uu E D1,2(IRN),有正解 Ue,u,n=n2-%Ue,.N-2若 时,容易计算得 n=6A_m(N-)2-8-m(N-2)m(N-s)Ue,u,n=6A,22-。m(N-2 JU e,为方程(2.5)的正解.N-22-8m(N-2)I Ue,l/2m)=a+bAm2-8m(N-s)m(N-2)n=a+bA,2-8n2-8m(N-)m(N-2)2-8S2-S2-8时方程(2.4)有正解A.aERN,为方程(2.4)的正解因此,(2.4)(2.5
9、)326(2)当 0时,记方程(2.4)等价于 h(n)=0.若 g=1时,即m=。容易计算得当且仅当 0 b一时,h(m)=0 有2-S正解,此时正解为 =u E D1,2(IRN),22Ue,yN-2有正解 Ue,9,n=aN1-bA.N若 (X=2 1 时,即 m%=通过计算得 h(m)=1-bA2-8从而为 h(m)=0 的唯一解.当 0 m,因此,存在 no 刃,使得 Ue,u,n=nn-Ue.u为方程(2.6)的正解。当时,而为函数h(m)的最大值点,极大值为2-82-8mg(m)=h(m)=m(N-2)-2 gm(N-2)-2+sm(N-2)n0故若 maxh(n)0 h(n)=
10、0,则方程 h(n)=0 有唯一n0正解 n=而;若 maxn0 h(n)0,方程 h(n)=0 有两个正解 n1,n2 且 0 n1刃 n2.因此,当maxh(n)0Ue,9N-N-2而Ue,y;当 max h(n)0 时,存在两个常数 0 n1而0m2-Ue 为方程(2.6)的正解.N-2和 Ue,y,n=n2注2.1一方面,定理2.1补充完善了文8 中定理2.4的结果;另一方面,定理2.1推广了文1 中定理1.1和定理1.2 的结果.接下来,我们研究入 0 的情况,获得如下结果。定理2.2 假设 0,b,入 0,hL(R)为非零非负函数.(1)当m0时,则存在一个0,使得对任意的0 入*
11、,问题(1.1)存在一个正的局部极小解*且I(u*)0.(2)当0 0(A),使得对任意的0 入0.注2.2 一方面,定理2.2 补充完善了文3 中的结果;另一方面,定理2.2 推广了文1中的定理1.3和定理1.4的结果数学年刊A辑m(N-)m(N-2)h(n)=n-bAs2-8S大因此,当且仅当0 b044卷-a,A时,方程Au/2(e)-2 uu=2-8m(N=2)-2+sm(N-s)aERNm(N-s)m(N-2)2-8m(N-2)-2+s2-s2-8a.(2.6)3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的 Kirchhoff 型问题的正解在给出定理的证明之前,
12、我们先给出一些重要的预备知识.命题 2.1(1)假设0,b.0,0,h L(R)为非零非负函数,则存在 R,P,A*0,使得对任意的0 入 0,hL(R)为非零非负函数,则存在一个 0,使得对任意的0 入*,问题(1.1)存在一个正解*且I(u*)0.证(1)根据Holder不等式以及(1.3)式,可以推得h(a)udau/2-/l l/Ag ll.JRN进一步,可推得6I(u)=2m+262m+62m+12m+对任意的 t 0,令 g(t)=2m+2t26t2m+1b(2m+1)t2m-2*(s)-12m+22*(St2(s)-2.令 g(t)=0,当 0 m%时,有2 m0,使得对任意的0
13、 入*,有I(u)lueSRp,其中 SR=uED1,2(RN):Il u l l=R 为中心在原点半径为R的球面.(2)由于 h L(R)为非零非负函数,我们可以断言:存在 uoEC(R),使得hz一-2 0 l20,使得当0 入 时,有2m=.inf,I(u)0,uEBR其中 BR=uED1,2(RN):l l u l l R)为中心在原点半径为 R的球,SR为对应的球面.下面,将证明存在一个u*EBR,使得I(u*)=m,即,U*是问题(1.1)的非零解由(2.12)式,存在一个极小化序列【unCBR,使得显然,(un)在 D1,2(RN)中是有界的.由于 BR 是一个闭凸集,从而存在一
14、个 uE BRCD1,2(RN)和(un)一个子列(仍记为(un),使得当 no 时,有在 Lioc(RN)(1q2*)中,(un(c)u*(c),几乎处处在 RN中.根据控制收敛定理,可得limn-8JRN令 wn=un一u*,根据 Brzis-Lieb 引理(见12 ),有Il u/2=I/l/2+Il /2+(1),(ut)d.c/RNJRN若u=0,显然有wmEBR.假设*0,根据(2.15)式,对充分大的n有wnEBR由(2.11)式,可得(2.18)2m+2*数学年刊A辑h(auoda2RNI(tuo)limt0+6/ul/2m+22m+26u2m+2n 一 u*,un U*,(w
15、t)2(s)da+JRN62m+244卷22*2h()uod.ct/RN12*(s)/RN2m+212*(s)/RNlim I(un)=m 0,VuEBR,(u+)2*(s)dcp,VuESR,,(2.16)(2.17)20.(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的 Kirchhof 型问题的正解因此,由(2.14)-(2.18)式,可以推得6m=lim.n-802a I(u*)+0(1)m+o(1),这就意味着 I(u*)=0 在 RN中几乎处处成立.因此,对任意的0 入*,问题(1.1)存在
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