Unimodular引力中的衔接条件.pdf

第 52 卷 第 5 期2 0 2 3年10月Vol.52，No.5Oct.，2 0 2 3上海师范大学学报（自然科学版）Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences）Unimodular引力中的衔接条件杨瑞鑫，谢飞，刘道军*（上海师范大学 数理学院，上海 200234）摘 要：通过要求度规是引力场方程有效的分布解，在Unimodular引力下导出了当时空被一张非类光超曲面分割成两个区域时，度规所需满足的衔接条件.这些衔接条件可被用于塌缩星、可穿越虫洞或其他带壳物体的研究.与很多修改引力理论不同，本研究结果表明：Unimodular引力中非类光超曲面上的衔接条件与广义相对论中的完全相同，不变体积形式对其并没有额外的贡献.关键词：Unimodular引力；衔接条件；薄壳中图分类号：O 412.1 文献标志码：A 文章编号：1000-5137（2023）05-0560-05Junction conditions in Unimodular gravityYANG Ruixin，XIE Fei，LIU Daojun*（Mathematics and Science College，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）Abstract：For a non-null hypersurface separating the spacetime into two regions，we derive the junction conditions that the metric must be satisfied in Unimodular gravity by requiring the metric is a valid distributional solution to the field equations，which can be used to study collapsing stars，traversable wormholes or other objects with shells.In contrast to many modified theories of gravity，our results show that the junction conditions on a non-null hypersurface in Unimodular gravity are exactly the same as those in general relativity，and the invariant volume form seems to make no extra contributions to it.Key words：Unimodular gravity；junction conditions；thin shell当时空流形被一张超曲面划分成由不同的度规张量所描述的两个区域时，必须对度规施加一些限制才能确保全时空是引力场方程的一个有效的分布解（valid distributional solution）1，这就是所谓的衔接条件（junction conditions），在星体解2、薄壳虫洞3和宇宙弦4等许多研究中都会涉及.DOI：10.3969/J.ISSN.1000-5137.2023.05.004收稿日期：2023-06-27基金项目：上海师范大学科研发展基金项目（KF202147）作者简介：杨瑞鑫（1997），男，硕士研究生，主要从事致密天体潮汐效应方面的研究.E-mail：*通信作者：刘道军（1976），男，教授，主要从事引力波源物理、强引力场条件下的引力理论检验和极早期宇宙等方面的研究.E-mail：引用格式：杨瑞鑫，谢飞，刘道军.Unimodular引力中的衔接条件 J.上海师范大学学报（自然科学版），2023，52（5）：560564.Citation format：YANG R X，XIE F，LIU D J.Junction conditions in Unimodular gravity J.Journal of Shanghai Normal University（Natural Sciences），2023，52（5）：560564.第5期杨瑞鑫，谢飞，刘道军：Unimodular引力中的衔接条件对于超曲面为非类光的情形，DARMOIS5和ISRAEL6先后给出了广义相对论中的衔接条件.首先，若超曲面的两个基本形式都连续，则称为光滑衔接，人们由此得到了诸如 Schwarzschild 等密度星和Oppenheimer-Snyder塌缩尘埃球7等大量Einstein场方程的解，极大地促进了相对论天体物理的发展.其次，当超曲面两侧的外曲率不同时，仍然能够将两个时空区域匹配起来，只不过这种衔接不再是光滑的，超曲面上将出现一个有物质的表面层，称为薄壳（thin shell）.作为真实物质分布的一个理想模型，薄壳因其简单的数学结构而得到了广泛的研究.人们构造出了薄壳虫洞3、gravastar8和被薄壳围绕的黑洞9等一系列带壳物体的模型.类光超曲面的情况有些微妙，可详见 10.尽管广义相对论通过了严苛的太阳系引力检验，但它在强场和大尺度上的有效性仍然值得怀疑.人们在过去的几十年里对各种超越广义相对论的修改引力理论越来越感兴趣.由于Darmois-Israel衔接条件依赖于Einstein方程，不同的引力理论将给出不同的衔接条件，例如f(R)引力11、Brans-Dicke引力12、Gauss-Bonnet引力13和dRGT（de Rham-Gabadadze-Tolley）有质量引力14等等.值得注意的是，修改引力理论通常都会给出比广义相对论更多的衔接条件，尤其是高阶导数引力.研究不同引力理论下的衔接条件不仅是为了得到新的引力场方程的解，更重要的是，这能够将其适用范围扩展到奇异紧致物体（ECO）这个新兴的研究领域15.Unimodular引力是Einstein在1919年首先提出的，其基本思想是度规的行列式保持固定而不再被视为动力学变量.数学上，它可被看作是受到Unimodular条件-g=1约束（g为度规行列式）的广义相对论.由此带来的后果是，引力场的运动方程是无迹的16-17.能量动量张量的协变守恒律在Unimodular引力中不是自动满足的，假定T=0成立，那么可以证明Unimodular引力等价于含有宇宙学常数的广义相对论，且该宇宙学常数为任意积分常数16-17.由于这个特点，WEINBERG18指出可以用Unimodular引力来处理宇宙学常数问题.Unimodular引力多被用于研究宇宙学19和引力场的量子化问题20，人们得到了许多有趣的结果，例如在不需要暗能量的情况下驱动宇宙的加速膨胀，解释量子引力中的时间问题等，这些显示出Unimodular引力相较于广义相对论具有一些独特的优越性.本文作者基于分布理论形式研究Unimodular引力下的衔接条件，鉴于类光超曲面较为复杂（诱导度规退化），只关注超曲面为类时和类空的情形.这些情形在实际研究中更常用.采用c=G=1（c为光速，G为引力常数）的几何单位制.1 Unimodular引力 如前所述，Unimodular引力可被视为受到-g=1约束的广义相对论.使用Lagrange待定乘子法，其作用量S=116-g R+()-g-1+SM（1）其中，SM是某个物质场的贡献；R为Ricci标量；为拉格朗日乘子.对式（1）求关于的变分，即得约束条件；求式（1）关于度规的变分，则给出运动方程：R-12gR-12g=8T（2）其中，T-2-gSMg（3）是物质场的能量动量张量，为变分算符.用g缩并式（2）的两边，得=-12(8T+R).（4）将其代回式（2），得到无迹Einstein方程：5612023年上海师范大学学报（自然科学版）J.Shanghai Normal Univ.（Nat.Sci.）R-14gR=8(T-14gT).（5）假定T=0，那么Bianchi恒等式导致：8T+R=4（6）其中，是一个积分常数.把它代入方程（5），得到：G+g=8T（7）其中，G为Einstein张量.只要假定能量动量是守恒的，Unimodular引力就等价于一个有宇宙学常数的广义相对论，但表现为一个任意的积分常数.在后续章节中，不拘泥于T=0的特殊情形，而是考虑一般的Unimodular引力理论.2 衔接条件 设一张非类光超曲面将四维时空(Mg)分成(V+g+)和(V-g-)两个区域，并约定其法矢从V-指向V+.用+和-来分别标记V+和V-中的所有量.一般来说，V+和V-中采用的坐标系x+和x-也是不同的.为方便起见，再引入一个连续的“整体”坐标系x，并将其与在包含的开集V中的x分别进行认同.给定一个量A，定义 A|A+-|A-（8）来衡量它在跨过时的跃变.显然，对于坐标x，x=0.为了通过分布形式导出衔接条件，令超曲面被一个测地线汇正交穿透，沿线的固有距离（时间）为l，重参数化使得每条测地线在l=0与相交.在l0时，位于区域V+.这样，超曲面的法矢正是每条测地线在l=0时的切矢n=dxdl.（9）另一方面，由于任一坐标为x的pM都被一条唯一的测地线衔接至，l：MR是流形上的一个标量场，而l(x)表示从沿线走到p的固有距离.因超曲面是由函数l=0定义的，可以直接写出其法余矢n=l（10）其中，=nn=1，具体取决于是类时还是类空的，显然 n=0.2.1第一衔接条件借助于前文引入的测地线汇，可以将完整的度规写成一个分布：g=(l)g+(-l)g-（11）其中，(l)是Heaviside阶跃函数.若场方程（5）中的每一项都能被表示为一个分布，则称式（11）是它的一个有效的分布解.Unimodular引力是纯度规理论，只需检查由度规派生的其他几何量能否被写成分布的形式.对式（11）求导：g=(l)g+(-l)g-+ng(l)（12）等式右边出现了正比于Dirac 函数的项，这会导致Christoffel符号中产生正比于(l)(l)的项，进而 不再是一个分布.因此，要求g=0.（13）利用超曲面上的诱导度规（第一基本形式）hg-nn，可将式（13）进一步化为：h=0（14）562第5期杨瑞鑫，谢飞，刘道军：Unimodular引力中的衔接条件得到了Unimodular引力中的第一个衔接条件，即超曲面两侧的诱导度规必须相同.2.2第二衔接条件经过繁复的计算，度规（11）的Ricci张量R=(l)R+(-l)R-(K+nn K)(l)（15）其中，Kh n是超曲面的外曲率（第二基本形式），h hg为投影映射，是与度规相容的联络，而KgK是外曲率的迹.进一步，Ricci标量为：R=(l)R+(-l)R-2 K(l).（16）曲率可表示为一个分布，而正比于函数的项可以被解释为超曲面上存在一个有物质的表面层.为了找出几何与物质的关系，仿照式（11），将能量动量张量也写成一个分布：T=(l)T+(-l)T-+(l)S（17）其中，S代表上物质的能动张量，满足Sn=0.于是，T=(l)T+(-l)T-+(l)S.（18）由此，Unimodular场方程（5）的函数部分为：K-12g K+nn K=-8(S-14gS).（19）用h对式（19）进行缩并，可得：S=4 K（20）将其代回式（19），得到：K-h K=-8S.（21）式（21）即为Unimodular引力中的第二衔接条件.当超曲面上有物质时，时空在处存在曲率奇性；相反，若S=0，则K=0，这对应于两个区域光滑衔接的情形.至此，导出了 Unimodular引力中全部的衔接条件.显然，与很多修改引力理论的情况不同，约束-g=1并不会带来比广义相对论更多的结果.2.3坐标无关化超曲面作为M中余一维的嵌入子流形，把衔接条件（14）和（21）写成上的3-张量等式.为此，设两侧有相同的内禀坐标ya，则超曲面可由参数方程x=x(ya)所确定，上的坐标基矢为：e a=xya（22）易证e a=0成立.此外，若对称张量T满足Tn=0（切于超曲面），则可将其在上分解为T=e ae bTab，这里Tabe ae bT.诱导度规h、外曲率K和薄壳的应力S都是这样的量.让坐标基矢作用在方程（14）和（21）的两边，最终得到与坐标x无关的衔接条件：hab=0（23）Kab-hab K=-8Sab（24）这与广义相对论中的情况完全相同.3 结 论 当时空被一张超曲面划分成由不同度规张量所描述的两个区域时，使用分布形式理论导出了Unimodular引力中度规所要满足的衔接条件.与很多修改引力理论不同，本研究结果表明，Unimodular引力中非类光超曲面上的衔接条件与广义相对论中的衔接条件完全相同，不变体积形式对其没有额外5632023年上海师范大学学报（自然科学版）J.Shanghai Normal Univ.（Nat.Sci.）的贡献.当然，考虑类光的情况可能会产生差异.参考文献：1POISSON E.A Relativist s Toolkit：The Mathematics of Black-Hole Mechanics M.Cambridge：Cambridge University Press，2004：59-177.2CHANDRASEKHAR S.An Introduction to the Study of Stellar Structure M.Chicago：The University of Chicago Press，1939：84-182.3VISSER M.Lorentzian Wormholes：From Einstein to Hawking M.New York：American Institute of Physics，1996：165-192.4VILENKIN A，SHELLARD E P S.Cosmic Strings and Other Topological Defects M.Cambridge：Cambridge University Press，1994：292-315.5DARMOIS G.Les quations de la Gravitation Einsteinienne M.Paris：Gauthier-Villars，1927：25-47.6ISRAEL W.Singular hypersurfaces and thin shells in general relativity J.Nuovo Cimento B，1966，44：1-14.7OPPENHEIMER J R，SNYDER H.On continued gravitational contraction J.Physical Review Journal 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