Factor-square-full半模.pdf

第49 卷第5期2023年10 月文章编号：16 7 3-5196（2 0 2 3)0 5-0 150-0 7兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of TechnologyVol.49No.5Oct.2023Factor-square-full 半模王永铎*，鲁靖（兰州理工大学理学院，甘肃兰州7 30 0 50)摘要：作为factor-square-full模的真推广，引入了factor-square-full半模的概念设S是半环，M是左S-半模.称M的真subtractive子半模X是d-square，若存在正规满同态f：M（M/X)；称M的真subtractive子半模X是quasi-d-square，若存在M的d-square子半模Y使得X(M/X);Aproper subtractive subsemimodule X of M is said to be quasi-d-square if there exists a d-square subsemi-module Y such that XY;M is said to factor-square-full if any proper subsemimodule is quasi-d-square.The properties of these subsemimodule classes and factor-square-full semimodules are discussed.Key words:normal epimorphism;d-square subsemimodules;quasi-d-square subsemimodules;factor-square-full semimodules半环作为常见的代数结构，不但在拓扑学、分析学和最优化理论中有较广泛的应用，而且在计算机科学中有极其重要的地位.众所周知，在环论中用模2 刻画环是研究环的有效途径.2 0 世纪2 0 年代，代数工作者就曾利用半环上的半模研究半环，得到了Jacobson根的结构定理.由于环上模都可以看成半环上半模，所以半模的研究很大程度上是对环上模的推广，进而许多基础数学和应用数学甚至计算机科学中的数学结构也可以认为是适当的半环上的半模，因此对半模的研究自然也是有必要的.然而，半模并不是模的简单推广，由于可换么半群的性质比Abel群复杂，半环的结构比环松散，所以对半模的研究比模要困难得多。收稿日期：2 0 2 2-0 4-2 4基金项目：国家自然科学基金（118 6 10 43)通讯作者：王永铎（197 4-），男，甘肃靖远人，博士，教授.Email:ydwanglut.edu,cn文献标志码：AFactor-square-full semimodulesWANG Yong-duo,LU Jing(School of Science,Lanzhou Univ.of Tech.,Lanzhou 730050,China)是半同构.Abuhlail等3 引人了subtractive半模和半模上正规同态的概念.设M是半模,LN是满同态,那么存在从M/ker f到N的半同构.如果NNM,那么M/N=M/N设N,N是M的子半模，:NnNN/N7.设N+N是满同态，如果N是subtractive半模，那么NN第5期核正规的，又是像正规的,那么称f为正规的.Tuyen等4引人了多余子半模的定义.设M是半模，NM.称N是多余的，如果对M的任意子半模K，由N+K=M可推出K=M,记作NM.Kikumasa 等5 引人了d-square子模,quasi-d-square子模，factor-square-full模的概念.设M是模.称M的真子模X是d-square若存在满同态f:M-(M/X).称M的真子模X是quasi-d-square,若存在M的d-square子模Y,使得 XY.称M为factor-square-full模，若M的任意真子模是quasi-d-square.受文献5-7 的启发，本文把d-square 子模,quasi-d-square 子模,factor-square-full模的概念推广到半模上，得到了一些新的结论。本文中,S都是半环,M都是左S-半模.N1)因为ker fi=(mEM|m+k=k,其中k,kEker fi),由m+k=k知:fi(m+k)=fi(m)+fi(k)=fi(k)其中fi(k)=fi(k)=0.所以 fi(m)=0,进而mEker fi,故 ker fi=ker fi,因此kerfi是subtractive子半模.同理，kerf是subtractive子半模.因为M的subtractive子半模的和是 subtractive,所以ker fi+ker fz=ker fi+ker f2命题1设M,N是半模.若：MN是同态，AM,BN,则(-I(B)=BNIm.证明“二 任取bE(-1(B),则bEIm,且存在 bE-1(B)使得(b)=b,所以(b)EB,因此 bEBnIm.“”任取bEBnIm,则有bEB且bEIm.存在 bEM使得(b)=bEB,所以bE-1(B),bE(-1(B).命题2 设M,N是半模.若:MN是核正规同态,AM,BC.152n1,n2在M中分别存在原像a1a,使得f(al)=ni,f(a2)=n2,则f(m)+f(ai)=f(m)+f(a2),进而 f(m+ai)=f(m+a2).因为f是核正规的,所以m十ai十ker f=m+a2+ker f.因为f(ai)=niEker g,所以aiEker(gf).由 ker(f)ker(gf)知 ai+ker(f)二ker(gf).同理,a2+ker(f)二ker(gf).故gf 是正规满同态.引理3设M是半模,NN和g:X-Y都是半模同态.本文中fg 表示MXNY:(m,)(f(m),g(),其中mEM,EX.推论1设M是半模，NM.如果u:MM/N是自然满同态，那么?u是正规满同态.证明 设(uv)(m 1,m)=(uu)(n1,n2),其中(m1,m2)，（n 1,n 2)E M.因为u是正规满同态，所以对于u(mi)=(ni),存在ki,kiEkeru,使得mi+ki=ni+ki.同理,存在k,kEkeru,使得m2十k=n十k,所以(m1,m2)十(k1,k)=(n1,n2)+(ki,k2),其中(ki,k2),(ki,k2)Eker(uu），因此v?u是正规满同态。推论2 设Ni,N是半模.如果元1:NiN2N是由（n1,n2）=n 定义的标准投影,那么1是正规满同态。证明设元l(n1,n2)=元l(ni,n2),其中(n1,n2),(ni,n2)ENiON2,则n1=ni,进而(n1,n2)+(0,n2)=(ni,n2)+(0,n2),其中(0,n2),(0,n2)E0?N=ker元1，所以半模上的标准投影是正规满同态.引理4设M,N是半模.如果f:MN是正规满同态，那么存在从M/kerf到N的同构.证明因为是满同态,所以存在由g（m 十ker f)=f(m)定义的半同构g:M/ker fN.设f(mi)=f(m2),其中 m1,mEM,因为f 是正规的,所以mi十ker f=m十kerf,因此g是单的.故g 是同构。命题4设M,N是半模，f:MN为正规满兰州理工大学学报同态，M的subtractive子半模的和是subtractive，MM.如果M是M的subtractive子半模，那么f(M)是subtractive子半模.证明任取nEf(M),存在n1,n2Ef(M)使得n十ni=n2.因为f是满同态，所以存在mEM,m1,m2 EM使得f(m)=n,f(mi)=n1,f(m2)=n2,进而f(m)+f(mi)=f(m+mi)=f(m2)因为f是正规的,所以m十m1十ker f=m十ker f,其中 mi+ker f,m2+ker fEM+ker f,因此mEM+ker f.由于M的 subtractive子半模的和是 subtractive,故mEM+ker f,进而 f(m)=nEf(M),所以f(M)是subtractive子半模.2 factor-square-full 半模定义1设M是半模，X是M的真subtractive子半模.如果存在正规满同态f:M(M/X),那么称X是M的d-square子半模.例1自然数集N构成半环,N是N上的半模，则No 是N的d-square 子半模.证明因为(N0)(0 N)=NN,设f:NON-0ON 是投影,则 N=ker(f),所以 N0是NN的真 subtractive子半模.因为N,NOO所以存在同构 g:N-(N2NOO定义2 设M是半模，X是M的真subtractive子半模.如果存在M的d-square子半模Y，使得XY,那么称 X 是 quasi-d-square.设M为左S-半模，N,L是M的子半模.若由s+N=r+N,s+L=r+L可推出s+Nni=r+NnL，则称M满足陪集条件.定理1设M是半模.若M满足陪集条件且M的 subtractive子半模的和是 subtractive，则X是M的quasi-d-square子半模当且仅当存在M的真 subtractive子半模Y，正规满同态f：M(M/Y),使得XY,且pf 是自然满同态,其中通过p(a,b)=a定义p:(M/Y)2-M/Y.证明“”由quasi-d-square子半模的定义可得.“=”设X是M的quasi-d-square子半模,则由定义知存在M的d-square子半模Y,使得 X(M/Y)是正规满同态.令qi:(M/Y)M/Y 是标准投影(i=1,2),通第49卷NON第5期过(m)=(qif(m),q2f(m)定义:M-M/YXM/Y,其中mEM.由引理2 和推论2 知qif是正规满同态.因为M的 subtractive子半模的和是subtractive,由引理1知M=ker(qif)+ker(q2f).如果Y+ker(qif)M/Y是自然满同态,h2=qif.因为Y=ker(h）,k e r(h 2）=ker(qif),所以M=ker(hi)+ker(h2).同理,存在正规满同态2:M(M/Y),使得p292=hi是自然满同态，其中通过p2（m3,ma）=m3定义 p2:(M/Y)?-M/Y.定理2 设M是半模，ABM.则1）如果B是M的quasi-d-square子半模，那么A是M的quasi-d-square子半模；2）如果B/AM/A,B是M的真 subtractive子半模，M的subtractive子半模的和是subtrac-tive,A是M的quasi-d-square子半模，那么B是M的 quasi-d-square 子半模.证明1）由quasi-d-square子半模的定义可得。王永铎等：Factor-square-full半模.1532）B是M的真subtractive子半模.因为A是M的quasi-d-square子半模，所以存在M的d-square子半模A*，使得AA，且：M(M/A*是正规满同态,其中m1,mEM.当A*=M结论自然成立.下证当A*M.如果M=B+A*,那么M/A=B/A+A*/A.因为B/AM/A,所以M/A=A*/A.任取mEM,则m十AEA*/A,存在aEA*使得m十A=a十A,存在ai,EA 使得m十ai=a十,所以mEA*=A*,因此M=A*.但是与A*M矛盾,因此B十A*M.因为M的subtractive子半模的和是subtractive,所以B十A*是M的真sub-tractive 子半模.设U:M/A*M/（B+A*）是自然满同态.由引理2 和推论1知（v):M(M/(B+A*)是正规满同态.所以B十A是M的d-square子半模.又因为BB十A*，所以B是M的quasi-d-square 子半模.定理3设M,N是半模，f:MN是正规满同态，M满足陪集条件.则1）如果A是N的quasi-d-square子半模，那么f-1(A)是M的quasi-d-square 子半模;2）如果kerfM,M的subtractive子半模的和是subtractive,B是M的quasi-d-square子半模，那么f(B)是N的quasi-d-square子半模.证明1)任取a,aEf-1(A),sES.因为f(a),f(a)EA,所以sf(a)EA,则 f(sa)EA,进而saEf-1(A).又因为f(a)十f(a)=f(a+a)EA,a十aEf-1(A),所以f-I(A)是M的子半模。因为f-1(A)=(mEM|m十ai=a2,存在a1,zE-1(A),所以(m十ai)=f(a2),进而f(m)+f(ai)=f(a2),因此f(m)EA,mEf-l(A),故f-1(A)是M的subtractive子半模.因为A是N的quasi-d-square子半模，所以存在N的d-square子半模A,使得AA*，p:N（N/A*）?为正规满同态.当A*=N结论自然成立.下证当A*N.设U:N/A*M/f-1（A*）的对应法则为u(f(m)+A*)=m+f-1(A*),其中mEM.若m1,m2EM,f(mi)十A*=f(m2)+A*,则存在a3,aaEA*使得f(mi)+a=f(m2)+a4.令as=f(b),a4=f(b),其中b,bEf-1(A*),则f(m1)+f(b)=f(m2)十f(b),进154而f(m1十b)=f(m2十b).因为是核正规的,所以存在k,kEkerf,使得mi+b+k=m2+b+k因为b+k,b+kEf-1(A*)+ker ff-1(A*),所以mi+f-1(A*)=m+f-1(A*),故u是映射.因为u(f(mi)+A*)+(f(m2)+A*)=u(f(mi+m2)+A*)=(ml+m2)+f-l(A*)=u(f(mi)+A*)+u(f(m2)+A*)u(s(f(m)+A*)=v(f(sm)+A*)=sm+f-1(A*)=s(m+f-1(A*)=su(f(m)+A*)所以是同态。因为对任意的m十f-1(A*)EM/f-1（A*),都能在 N/A*中找到原像f(m）十A*，所以u是满的.设m+f-1(A*)=m+f-1(A*),其中m,mEM.存在b,bEf-1(A*)使得m+b=m+b，用于作用于等式两端，f(m+b)=f(m+b)f(m)+f(b)=f(m)+f(b)因为f(b),f(b)EA*,所以f(m)+A*=f(m)+A*所以是单的.因此u是同构.由定理2 和推论1知(uu)f是正规满同态.因为AA*,所以-1(A)f-1(A*).假设f-1(A*)=M,由命题1知：f(f-1(A*)=A*Im(f)=A*nN=A*因为f（M)=N,所以N=A*，但是这与A*N矛盾,因此f-1(A*)M.进而f-1(A*)是M的d-square子半模，故f-1(A)是M的quasi-d-square子半模.2）因为M的subtractive子半模的和是sub-tractive,B是M的quasi-d-square子半模，由定理1知存在M的真subtractive子半模B*，由(m）=(m1+B*,m2+B*)定义的正规满同态:M(M/B*）使得BB*，且p1是正规满同态,其中m1,m2EM,p;:(M/B*)M/B*是第i个位置的标准投影(i=1,2)。令H=p1y(kerf)+p2(kerf)，由命题4知H是 subtractive子半模.设存在LM，使得兰州理工大学学报p24(kerf)=L/B*，且L是subtractive子半模.由引理2 知p2是核正规的.如果L/B*=M/B*，那么由命题2 知：(p2)-1(p2(ker f)=ker f+ker(p2)=ker f+ker(p2y)因为(p2d)-1(M/B*)=M所以ker f+ker(p2)=M因为ker fM,所以ker(p2)=M,进而p24(M)=0,但是这与M/B0矛盾，因此L/B*M/B*,故H=(ker f+B*)/B*+L/B*=(ker f+L)/B*M/B*M_M/B*令B是自然满同态.任取mEHker f,设(m)=(a+B*,b+B*),其中a,bEM.因为H=piy(ker f)+p2(ker f),所以a+B*,b+B*EH.因此(pp)(m)=(p(a+B*),p(b+B*)=(0,0)进而ker f二ker(pp).由引理2 和推论 1,(pp)是正规满同态.由引理4，Mker/=N,Mker(pOp)/)=Im(pp)y)因为M/ker fker(pp)/ker=ker(pp)y)所以由(f(m)=(pp)(m)定义的:N(M/B2是正规满同态。H(M/B*2今qi：投影(i=1,2).因为p1:MM/B*是正规满同M/B*态,q1:N一是正规满同态，且f（B)Hker(qi),所以f(B)是 N 的quasi-d-square 子半模定义3设M是半模.如果M的任意真sub-tractive子半模是quasi-d-square,那么称M是 fac-tor-square-full 半模.定理4设M,N是半模，f:MN为正规满同态，kerfM,M满足陪集条件且subtractive子半模的和是 subtractive.则 M 是 factor-square-full半模当且仅当N是factor-square-full半模.第49卷(M/B2HMM/B*是第i个位置的标准HH第5期证明“”任取N的真subtractive子半模Y,则 f-1(Y)M.若f-1(Y)=M=(mEMIf(m)EY)则Y=N,但是这与YN矛盾,因此-1(Y)M.因为Y是N的subtractive子半模，所以f-1(Y)是M的真 subtractive子半模因为M是 factor-square-full 半模，由定义知f-1(Y)是M的quasi-d-square子半模.由命题1知f（f-1（Y)）=YnImf=Y.因为M满足陪集条件,所以由定理3知 N是 factor-square-full 半模.“”任取M的真subtractive子半模X,则有X=XM.若f(X)=N,则f(X)=N,所以f(X)=f(X),因此由命题2 知：f-(f(X)=f-1(f(X)=M故X+ker f=X+ker f=M因为 ker fM,所以 X=M,但是这与 XM矛盾，因此(X)N.由命题4知f(X)是N的真subtractive子半模.因为N是 factor-square-full 半模，所以f（X）是quasi-d-square子半模.由定理3知f-1(f(X)是quasi-d-square子半模.因为XX+ker f=f-1(f(X),所以 X是 quasi-d-square子半模，故M是factor-square-full 半模.定理5设M是半模，M满足陪集条件且sub-tractive子半模的和是subtractive.则以下等价：1)M是factor-square-full 半模；2）对M的任意真subtractive子半模X，存在M的真subtractive子半模Y,正规满同态f:M(M/Y),使得XM/Y;3）对M的任意真subtractive子半模X，存在M的真 subtractive子半模Y,Z,使得 X3）由2)，f:M(M/Y)是正规满同态.设pi：(M/Y)M/Y是第i个位置的标准投影(i=1,2)，f i=p if 是自然满同态，f=p2f，ker f2=Z.因为Y=ker(pif),所以由引理1知M=Y+Z且M/Z=M/ker f2.因为f是正规满同态,所以由引理4，王永铎等：Factor-square-full半模模乙，使得ker gf+Z=M，M/k e r g f=M/Z令:M-M/(kerfnZ）是自然满同态，则X=ker fCker gfA是正规满同态.若kerf=M,则A=0,但是这与f非零矛盾,因此kerM.由3）知存在真subtractive子半模Y，Z，使得ker fM/X是自然满同态.由4)知,存在半模B,正规满同态g：M/XB,M的真subtractive子半ker gfkergf nzker gfZkergf nzZ.156纳法.若n=2,令Mi=MX0,M2=0XM,设pi:M=M,XM2M，是到第i个位置的标准投影,其中i=1,2.设:MiM是由(m,0)=(0,m)定义的同构.任取M的真subtractive子半模X.如果pi(X)Mi,由命题4,pi（X)是subtractive子半模.令Y=pI(X)M2,Z=M,O(p1(X),则Y,Z是M的真subtractive子半模，并满足XY，M?-Y+Z.设Pi(X)=NX0.因为M2MiM2YPi(X)OM,=Pi(X)M?MiOM,ZM,O(pi(X)=(pi(X)OXMM2OXN=N所以M/Y=M?/Z.否则 Pi(X)=M,M=X+M2.令K=-1(XnM,)OM2.若 XnM2=M2,则 M,X,Pi(X)=M.任取(mi,m2)EM,(m1,a),(0,m2),(0,a)EX,则(m1,m2)+(0,a)=(m1,a)+(0,m2)因此MX，但是这与XM矛盾，所以XnM,M是标准投影,:MiM是同构.任取M+1的真subtractive子半模X,若q(X)M,如果M是factor-square-full半模，那么存在M的真 sub-tractive子半模A,B使得q(X)A,M=A+B，M/A=M/B.令Y=MXA,Z=MXB,则Y,Z是M+1的真subtractive子半模，且满足：XY,M+1=Y+Z,M+1/Y=M+1/Z否则,M+1=M+X.令K=MX(MinX)MX.XM.因为MinX是真subtractive子半模，所以K是真subtractive子半模.因为M+1=X+M1MXOMNXO一M2第49卷K,Ma+1/X=M+1/K,所以Ma+1是factor-square-full 半模.假设I是无限集，有M兰（M(），M 兰(M),所以M(),M是factor-square-full 半模.参考文献：1 JONATHAN S G.Semirings and their applications MJ.Dor-drecht:Kluwer Academic Publishers,1999.2ANDERSON F W,FULLER K R.Rings and categories ofmodules MJ.New York:Springer Verlag,1992.3ABUHLAIL J,NOEGRAHA R G.On semisimple semiringsJJ.Communications in Algebra,2021,49(3):1295-1313.4TUYEN N X,THANG H X.On superfluous subsemimodulesJJ.Georgian Mathematical Journal,2003,4(10):763-770.5KIKUMASA I,KURATOMI Y,SHIBATA Y.Factor squarefull modules JJ.Communications in Algebra,2021,49(6):2326-2336.6 艾鑫.半环与半模的若干性质J.吉首大学学报，2 0 2 0，3(2):26-30.7PETER K.Rational elements of summation semirings JJ.Theoretical Computer Science,2021,867(6):101-127.