因子分析分解.pptx
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1、因子分析因子分析Factor AnalysisFactor Analysis因子分析的基本理论因子分析的基本理论v1 1、什么是因子分析?、什么是因子分析?因子分析是主成分分析的推广,也是利用因子分析是主成分分析的推广,也是利用降维降维的的思想,由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部思想,由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的多个变量依赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。v2 2、因子分析的基本思想:、因子分析的基本思想:把每个研究变量分解为几个影响因素
2、变量,将每把每个研究变量分解为几个影响因素变量,将每个原始变量分解成两部分因素,一部分是由所有变量个原始变量分解成两部分因素,一部分是由所有变量共同具有的少数几个共同具有的少数几个公共因子公共因子组成的,另一部分是每组成的,另一部分是每个变量独自具有的因素,即个变量独自具有的因素,即特殊因子特殊因子。因子分析的基本理论因子分析的基本理论v3 3、因子分析的目的:、因子分析的目的:l因子分析的目的之一,因子分析的目的之一,简化变量维数。简化变量维数。即要使因素结即要使因素结构简单化,希望以最少的共同因素(公共因子),能构简单化,希望以最少的共同因素(公共因子),能对总变异量作最大的解释,因而抽取
3、得因子愈少愈好,对总变异量作最大的解释,因而抽取得因子愈少愈好,但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。l在因子分析的公共因子抽取中,应最先抽取特征值最在因子分析的公共因子抽取中,应最先抽取特征值最大的公共因子,其次是次大者,最后抽取公共因子的大的公共因子,其次是次大者,最后抽取公共因子的特征值最小,通常会接近特征值最小,通常会接近0 0。因子分析的基本理论因子分析的基本理论v例:在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可例:在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一个有以通过一个有2424个指标构成的评价体系,评价百个指标构成的评价体系,评价百货商场的货商
4、场的2424个方面的优劣。个方面的优劣。v但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过和商品的价格。因子分析方法可以通过2424个变量,找出反映商个变量,找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为:进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为:v称称 是不可观测的潜在因子是不可观测的潜在因子,称称 为公共因子。为公共因子。2424个个变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性,不被包
5、变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性,不被包含的部分,称为特殊因子。含的部分,称为特殊因子。因子分析的基本理论因子分析的基本理论v4 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异:、主成分分析分析与因子分析的联系和差异:联系:联系:(1 1)因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的逆问题。)因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的逆问题。(2 2)二者都是以)二者都是以降维降维为目的,都是从协方差矩阵或相关系为目的,都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发。数矩阵出发。区别区别:(1 1)主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始变量加主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始变量加以
6、综合、归纳,仅仅是变量变换;而因子分析是将原始变量加以分解,以综合、归纳,仅仅是变量变换;而因子分析是将原始变量加以分解,描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当提取的公因子个数等于描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时,因子分析才对应变量变换。原始变量个数时,因子分析才对应变量变换。(2 2)主成分分析,中每个主成分对应的系数是唯一确定的;因)主成分分析,中每个主成分对应的系数是唯一确定的;因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的。子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的。(3 3)因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效)因子分析
7、中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。因子分析的基本理论因子分析的基本理论v5 5、因子分析模型:、因子分析模型:设设 个变量,如果表示为个变量,如果表示为(1 1)(2 2)称称为为 公公共共因因子子,是是不不可可观观测测的的变变量量,他他们们的的系系数数称称为为因因子子载载荷荷。是是特特殊殊因因子子,是是不不能能被被前前m m个公共因子包含的部分。其中:个公共因子包含的部分。其中:相互独立即不相关;相互独立即不相关;即即 互不相关,方差为互不相关,方差为1 1。(3 3)即互不相关,方差不一
8、定相等,即互不相关,方差不一定相等,。满足以上条件的,称为满足以上条件的,称为正交因子模型正交因子模型如如果果(2)不不成成立立,即即,各各公公共共因因子子之之间间不不独独立立,则因子分析模型为则因子分析模型为斜交因子模型斜交因子模型公因子公因子F1公因子公因子F2共同度共同度hi特殊因子特殊因子ix1=代数代数10.8960.3410.9190.081x2=代数代数20.8020.4960.8890.111x3=几何几何0.5160.8550.9970.003x4=三角三角0.8410.4440.9040.096x5=解析几何解析几何0.8330.4340.8820.118特征值特征值 G3
9、.1131.4794.9590.409方差贡献率方差贡献率(变异量)(变异量)62.26%29.58%91.85%因子分析案例因子分析案例F F1 1 体现逻辑思维和运算能力,体现逻辑思维和运算能力,F F2 2 体现空间思维和推理能力体现空间思维和推理能力因子分析的基本理论因子分析的基本理论v6 6、因子分析模型中的几个重要统计量的意义:、因子分析模型中的几个重要统计量的意义:(1 1)因子负荷量(或称因子载荷)因子负荷量(或称因子载荷)-是指因子结是指因子结构中原始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相构中原始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相关程度。关程度。在在各各公公共共因因子子不不相
10、相关关的的前前提提下下,(载载荷荷矩矩阵阵中中第第i i行行,第第j j列列的的元元素素)是是随随机机变变量量xi*与与公公共共因因子子F Fj j的的相相关关系系数数,表表示示x xi i*依依赖赖于于F Fj j的的程程度度。反反映映了了第第i i个个原原始始变变量量在在第第j j个个公公共共因因子子上上的的相相对对重重要要性性。因因此此 绝绝对对值值越越大大,则则公公共共因因子子F Fj j与与原原有有变变量量x xi i的的关系越强。关系越强。(2 2)共同度共同度-又称共性方差或公因子方差又称共性方差或公因子方差(community或或commonvariance)就是变量与每个公共
11、因子之负荷量就是变量与每个公共因子之负荷量的平方总和(一行中所有因素负荷量的平方和)。的平方总和(一行中所有因素负荷量的平方和)。变量变量 的共同度是因子载荷矩阵的第的共同度是因子载荷矩阵的第i i行的元素的平方和。记为行的元素的平方和。记为 从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子间之关系程度。如因子分析案例中子间之关系程度。如因子分析案例中 共同度共同度h h1 12 2=0.896=0.8962 2+0.341+0.3412 2=0.919=0.919l特殊因子方差(剩余方差)特殊因子方差(剩余方差)-各变量的特殊因素影响大小就各变量
12、的特殊因素影响大小就是是1 1减掉该变量共同度的值。如减掉该变量共同度的值。如 =1-0.919=0.081=1-0.919=0.081(3 3)特征值特征值-是第是第j j个公共因子个公共因子F Fj j对于对于X X*的每一分量的每一分量X Xi i*所提供的所提供的方差的总和。又称第方差的总和。又称第j j个公共因子的方差贡献。即个公共因子的方差贡献。即每个变量与每个变量与某一共同因素之因素负荷量的平方总和某一共同因素之因素负荷量的平方总和(因子载荷矩阵中某一(因子载荷矩阵中某一公共因子列所有因子负荷量的平方和)。公共因子列所有因子负荷量的平方和)。如因子分析案例中如因子分析案例中 F1
13、F1的特征值的特征值 G=G=(0.8960.896)平方平方+(0.8020.802)平方)平方+(0.5160.516)平方)平方+(0.8410.841)平方)平方+(0.8330.833)平)平方方=3.113=3.113(4 4)方差贡献率)方差贡献率-指公共因子对实测变量的贡献,又称变异量指公共因子对实测变量的贡献,又称变异量 方差贡献率方差贡献率=特征值特征值G/G/实测变量数实测变量数p p,是衡量公共因子相对重要是衡量公共因子相对重要性的指标,性的指标,G Gi i越大,表明公共因子越大,表明公共因子F Fj j对对X X*的贡献越大,该因子的贡献越大,该因子的重要程度越高的
14、重要程度越高 如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的贡献率为的贡献率为3.113/5=62.26%3.113/5=62.26%因子的基本内容因子的基本内容v1 1、因子分析的基本步骤:、因子分析的基本步骤:(1 1)因子分析的前提条件鉴定)因子分析的前提条件鉴定 考察原始变量之间是否存在较强的相关关系,是否适考察原始变量之间是否存在较强的相关关系,是否适合进行因子分析。因为:合进行因子分析。因为:因子分析的主要任务之一就是对原有变量中信息重因子分析的主要任务之一就是对原有变量中信息重叠的部分提取和综合成因子,最终实现减少变量个数的叠的部分提取和综合成因子,最终实现减少变量个数的目的。所以
15、要求原有变量之间应存在较强的相关关系。目的。所以要求原有变量之间应存在较强的相关关系。否则,如果原有变量相互独立,不存在信息重叠,也就否则,如果原有变量相互独立,不存在信息重叠,也就无需进行综合和因子分析。无需进行综合和因子分析。(2 2)因子提取)因子提取 研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。(3 3)因子旋转)因子旋转 通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解释性。解释性。(4 4)计算因子得分)计算因子得分 通过各种方法求解各样本在各因子上的得分,为通过各种方法求解各样本在各因子上的得分,为进一步分
16、析奠定基础。进一步分析奠定基础。v2 2、因子分析前提条件、因子分析前提条件相关性分析:相关性分析:分析方法主要有:分析方法主要有:(1 1)计算相关系数矩阵)计算相关系数矩阵(correlation correlation coefficients matrix)coefficients matrix)如果相关系数矩阵中的如果相关系数矩阵中的大部分相关系数值大部分相关系数值均小于均小于0.30.3,即各变量间大多为弱相关,原,即各变量间大多为弱相关,原则上这些变量不适合进行因子分析。则上这些变量不适合进行因子分析。(2 2)计算反映象相关矩阵()计算反映象相关矩阵(Anti-image An
17、ti-image correlation matrix)correlation matrix)(3 3)巴特利特球度检验()巴特利特球度检验(Bartlett test of Bartlett test of sphericity)sphericity)该检验以原有变量的相关系数矩阵为出发点,其零该检验以原有变量的相关系数矩阵为出发点,其零假设假设H0H0是:相关系数矩阵为单位矩阵,即相关系数矩阵是:相关系数矩阵为单位矩阵,即相关系数矩阵主对角元素均为主对角元素均为1 1,非主对角元素均为,非主对角元素均为0 0。(即原始变量。(即原始变量之间无相关关系)。之间无相关关系)。(4 4)KMO(
18、Kaiser-Meyer-Olkin)KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)检验检验 KMOKMO检验的统计量是用于比较变量间简单相关系数矩阵检验的统计量是用于比较变量间简单相关系数矩阵和偏相关系数的指标,数学定义为:和偏相关系数的指标,数学定义为:KMO KMO值越接近值越接近1 1,意味着变量间的相关性越强,原有变,意味着变量间的相关性越强,原有变量适合做因子分析;越接近量适合做因子分析;越接近0 0,意味变量间的相关性越,意味变量间的相关性越弱,越不适合作因子分析。弱,越不适合作因子分析。KaiserKaiser给出的给出的KMOKMO度量标准:度量标准:0.90.9以上非常适合
19、;以上非常适合;0.80.8表表示适合;示适合;0.70.7表示一般;表示一般;0.60.6表示不太适合;表示不太适合;0.50.5以下表以下表示极不适合。示极不适合。v3 3、因子提取和因子载荷矩阵的求解:、因子提取和因子载荷矩阵的求解:因子载荷矩阵求解的方法:因子载荷矩阵求解的方法:(1 1)基于主成分模型的主成分分析法)基于主成分模型的主成分分析法 (2 2)基于因子分析模型的主轴因子法)基于因子分析模型的主轴因子法 (3 3)极大似然法极大似然法 (4 4)最小二乘法)最小二乘法 (5 5)a a因子提取法因子提取法 (6 6)映象分析法)映象分析法(1 1)基于主成分模型的主成分分析
20、法)基于主成分模型的主成分分析法Principal Principal componentscomponents 设随机向量 的均值为,协方差为,为的特征根,为对应的标准化特征向量,则o上式给出的上式给出的 表达式是精确的,然而,它实际上是毫无表达式是精确的,然而,它实际上是毫无价值的,因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解价值的,因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释,故略去后面的释,故略去后面的p-mp-m项的贡献,有:项的贡献,有:o上式有一个假定,模型中的特殊因子是不重要的,因而上式有一个假定,模型中的特殊因子是不重要的,因而从从 的分解中忽略了特殊因子的方差。的分解中忽略了特殊
21、因子的方差。(2 2)基于因子分析模型的主轴因子法)基于因子分析模型的主轴因子法Principal Principal axis factoringaxis factoring 是对主成分方法的修正,假定我们首先对变量进是对主成分方法的修正,假定我们首先对变量进行标准化变换。则行标准化变换。则 R=AAR=AA+D+D R R*=AA=AA=R-D=R-D称称R R*为约相关矩阵,为约相关矩阵,R R*对角线上的元素是对角线上的元素是 ,而不是而不是1 1。直接求直接求R R*的前的前p p个特征根和对应的正交特征向个特征根和对应的正交特征向量。得如下的矩阵:量。得如下的矩阵:当特殊因子当特殊
22、因子 的方差的方差已知:已知:v4 4、因子旋转:、因子旋转:为什么要旋转因子?为什么要旋转因子?建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组,更重要的要知道每个公共因子的意义,对变量进行分组,更重要的要知道每个公共因子的意义,以便进行进一步的分析,如果每个公共因子的含义不清,以便进行进一步的分析,如果每个公共因子的含义不清,则不便于进行实际背景的解释。则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟由于因子载荷阵是不惟一的,所以应该对因子载荷阵进行旋转。一的,所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是目的是使每个使每个变量在尽可能少的因
23、子上有比较高的载荷,让某个变量变量在尽可能少的因子上有比较高的载荷,让某个变量在某个因子上的载荷趋于在某个因子上的载荷趋于1 1,而在其他因子上的载荷趋,而在其他因子上的载荷趋于于0 0。即:。即:使载荷矩阵每列或行的元素平方值向使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0 0和和1 1两两极分化。极分化。奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 百米跑成绩百米跑成绩 跳远成绩跳远成绩 铅球成绩铅球成绩 跳高成绩跳高成绩 400 400米跑成绩米跑成绩 百米跨栏百米跨栏 铁饼成绩铁饼成绩 撑杆跳远成绩撑杆跳远成绩 标枪成绩标枪成绩 1500 1500米跑成绩米跑成
24、绩 相关矩阵因因子子载载荷荷矩矩阵阵 因子载荷矩阵可以看出,除第一因子在所有的变量在公共因子上有因子载荷矩阵可以看出,除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷,可以称为一般运动因子。其他的较大的正载荷,可以称为一般运动因子。其他的3 3个因子不太容易解释。个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比,似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是似乎是跑和投掷的能力对比,似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子,得下表考虑旋转因子,得下表旋转变幻后因子载荷矩阵旋转变幻后因子载荷矩阵 通过旋转,因子有了较为明确的含义。通过旋转,因子有了较为明确的含义。百米跑,百米跑,跳跳远远和和 4004
25、00米米跑跑,需需要要爆爆发发力力的的项项目目在在 有有较较大大的的载载荷,荷,可以称为短跑速度因子;可以称为短跑速度因子;铅铅球球,铁铁饼饼和和 标标枪枪在在 上上有有较较大大的的载载荷荷,可可以称为爆发性臂力因子;以称为爆发性臂力因子;百百米米跨跨栏栏,撑撑杆杆跳跳远远,跳跳远远和和为为 跳跳高高在在 上有较大的载荷,上有较大的载荷,爆发腿力因子;爆发腿力因子;长跑耐力因子。长跑耐力因子。旋转的方法旋转的方法有:有:(1 1)正交旋转;()正交旋转;(2 2)斜交旋转)斜交旋转(1 1)正交旋转)正交旋转 由初始载荷矩阵由初始载荷矩阵A A左乘一正交矩阵得到;左乘一正交矩阵得到;目的是新的
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