概率论与数理统计ppt课件.ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计第一章：随机事件及其概率 概率论与数理统计是数学的一个重经分支，它是研究随机现象统计规律的一门学科，广泛应用于科学研究、工程技术、经济及管理等各个领域。本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系及其运算、概率的性质及其计算方法。31.确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象.2.随机现象随机现象:在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）,在大量重在大量重复观察中其结果又具有统计规律性复观察中其结果又具有统计规律性.1 随机事件及其计算随机事件及其计算3.3.对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各种各样的科学实验统称为种各样的科学实验统称为实验实验。随机现象的基本特征是，在。随机现象的基本特征是，在一定条件下单次实验的可能结果不止一个，每次实验只能出一定条件下单次实验的可能结果不止一个，每次实验只能出现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现各种结果的各种结果的比例数比例数又具体统计规律性。又具体统计规律性。一、随机现象与随机实验一、随机现象与随机实验4 E1:抛一枚硬币，观察正抛一枚硬币，观察正(H)反反(T)面面 的情的情 况况.E2:将一枚硬币抛三次将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况观察正反面出现的情况.E3:将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.举例举例:我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验。称为试验。E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.E5:在一批灯泡中任取一只在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命测试它的寿命.E6:在一批产品中任意抽取若干件，以检验产品的合格率在一批产品中任意抽取若干件，以检验产品的合格率.5基本特征基本特征(1)可在相同的条件下重复试验可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,且能事先明确所有可且能事先明确所有可能的结果能的结果;(3)每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前不能预先确定到底会出现哪个结果不能预先确定到底会出现哪个结果.在相同条件下，大量重复进行的这类试验，称为随机实验：6二、二、样本空间样本空间:定义定义 随机试验随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为的所有可能的结果组成的集合称为 E的的样本空间样本空间,记为记为S.样本空间的元素，也就是最简单的每一样本空间的元素，也就是最简单的每一个直接结果称为样本点，用个直接结果称为样本点，用 表示表示.样本空间的分类样本空间的分类:1.离散样本空间离散样本空间:样本点为有限个或可列个样本点为有限个或可列个.例例 E1,E2等等.2.无穷样本空间无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值样本点在区间或区域内取值.例例 灯泡的寿命灯泡的寿命t|t0.基本事件7三、三、随机事件随机事件 定义定义 样本空间样本空间S的子集称为随机事件的子集称为随机事件,简称事件简称事件.在在一次试验中一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生称这一事件发生.它是满足某些条件的样本点的集合它是满足某些条件的样本点的集合。基本事件基本事件:复合事件复合事件:必然事件必然事件:不可能事件不可能事件：由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.如如:H,T.由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件为复合事件.如如:E3中中出现正面次数为奇数出现正面次数为奇数.样本空间样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。发生的，称为必然事件。空集空集不包含任何样本点不包含任何样本点,它在每次试验中它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。都不发生，称为不可能事件。8例例1.试确定试验试确定试验E2中样本空间中样本空间,样本点的个数样本点的个数,并给出如并给出如下事件的元素下事件的元素:事件事件A1=“第一次出现正面第一次出现正面”、事件、事件A2=“恰恰好出现一次正面好出现一次正面”、事件、事件A3=“至少出现一次正面至少出现一次正面”.9四、四、事件间的关系与运算事件间的关系与运算1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系:ABS若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生,则称件则称件B包含事件包含事件A,记作记作A B.若若A B且且A B,即即A=B,则称则称A与与B相等相等.10BAS2.和事件和事件:3.积事件：积事件：事件事件A B=x|x A 且且 x B称称A与与B的积，即事件的积，即事件A与与B同时发生同时发生.A B 可简记为可简记为AB.类似地类似地,事件事件 为可列个事件为可列个事件A1,A2,.的积事件的积事件.BAS114.差事件差事件:事件事件A-B=x|x A且且x B 称为称为A与与B的差的差.当且仅当当且仅当A发生但发生但 B不发生时事件不发生时事件A-B发生发生.即即:显然显然:A-A=,A-=A,A-S=ABs12AB5.事件的互不相容事件的互不相容(互斥互斥):136.对立事件对立事件(逆事件逆事件)：SAB147.事件的运算律事件的运算律:交换律交换律:结合结合律律:对偶律对偶律:分配律分配律:证明证明对偶律对偶律.15例例.甲、乙、丙三人各射击一次，事件甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示分别表示甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：乙没有射中；乙丙至少一人射中；甲乙没有都射中甲乙都没有射中甲乙都射中但丙没射中至少有两人都射中162.随机事件的随机事件的概率概率一一.概率统计定义概率统计定义:1.频率频率 若在相同的条件下，共进行了若在相同的条件下，共进行了n次试验次试验,，事件，事件A发生的次数发生的次数nA，称为称为A的频数，的频数，比值比值nA/n称为事件称为事件A发生的频率发生的频率,记为记为fn(A).即：即：17频率的特性:波动性和稳定性.试验序号试验序号 n=50n =500 nA fn(A)nA fn(A)1220.442510.5022250.502490.4983210.422560.5124240.482530.5065180.362510.502试验者试验者 n nA fn(A)蒲 丰 404020480.5056费 勒 1000049790.4979皮尔逊 1200060190.5016皮尔逊 24000120120.5005182.概率的统计定义概率的统计定义 设有随机实验 E，若试验重复次数 n 充分大时，事件 A 发生的频率 fn(A)总是在区间0，1上的一个确定的常数 p 附近微波摆动，并逐渐稳定于 p，则称常数 p 为事件发生的概率，记作P(A)，即：P(A)=数 p.概率的性质：概率的性质：19二二.概率的古典定义：概率的古典定义：古典概型的两个特点古典概型的两个特点:例如例如:掷一颗骰子掷一颗骰子,观察出现的点数观察出现的点数.等可能概型的两种类型：古典概型（样本空间有有限集）和几何概型（样本空间为无限集）(1)样本空间样本空间 中的元素只有有限个，即中的元素只有有限个，即(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同，即试验中每个基本事件发生的可能性相同，即20概率的古典定义概率的古典定义:对于古典概型对于古典概型,样本空间样本空间S 1,2,n,设事件设事件A包含包含S的的 m 个样本点，则事件个样本点，则事件A的概率定义为的概率定义为概率的性质：概率的性质：21古典概型概率的计算步骤古典概型概率的计算步骤:(1)选取适当的样本空间选取适当的样本空间S,使它满足有限等可能的要求使它满足有限等可能的要求,且把事件且把事件A表示成表示成S的某个子集的某个子集.(2)计算样本点总数计算样本点总数n及事件及事件A包含的样本点数包含的样本点数k.(3)用下列公式计算用下列公式计算:22例例1.袋中装有袋中装有4只白球和只白球和2只红球只红球.从袋中摸球两次从袋中摸球两次,每次任取一球每次任取一球.有两种式有两种式:(a)放回抽样放回抽样;(b)不放回抽样不放回抽样.求求:(1)两球颜色相同的概率两球颜色相同的概率;(2)两球中至少有一只白球的概率两球中至少有一只白球的概率.解：（a)放回抽样 （b）不放回抽样 23例例2.设一袋中有编号为设一袋中有编号为1,2,9的球共的球共9只只,现从中任取现从中任取3只只,试求试求:(1)取到取到1号球的概率号球的概率,（事件（事件A）(2)最小号码为最小号码为5的概率的概率.（事件（事件B）解：24例例3.某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过12次来访次来访,且都是在周二且都是在周二和周四来访和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的问是否可以推断接待时间是有规定的?实际推断原理实际推断原理:“小概率事件在一次试小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的验中实际上是不可能发生的”.注注如果没有规定，则该事件发生的概率只有：25古典概率计算中用到的主要排列组合公式古典概率计算中用到的主要排列组合公式 不重复的排列公式不重复的排列公式：从 n 个元素中取 m 个元素按照一定按照一定的顺序排列成一列的顺序排列成一列 可重复排列公式：可重复排列公式：从 n 个不同元素中有放回地抽取 m 个元素按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，其排列数为 组合公式：组合公式：从 n 个不同元素中取出 m 个元素，不计顺序不计顺序组成一组组成一组，其组合数为26 加法原理：加法原理：如果完成一项工作有 m 种不同方法，其中任何一种方法都可以一次完成这项工作，假设第I 种方法有 ni（i=1,2,3,m）个方案，则完成该项工作的全部方案有 种。乘法原理：乘法原理：如果完成一项工作需先后 m 个步骤，其中第 i 个步骤有 ni（i=1,2,3,m）个方案，则完成该项工作的全部方案共 有种。例：例：设袋中有外形相同的 10 个有色球，其中 6 个白球和 4 个红球。现从袋中任意取（或随机地取）3 个，试求：取出的 3 个球都是红色球的概率；取出的 3 个球恰好有一个是白球的概率。27 解解：设想把 10 个球进行编号，把它们理解为 10 个不同的球，那么从中任意取 3 个球，共有 种不同的取法，每种取法都对应一个的样本点，所以该试验样本空间的样本总数为 设 A=取出的 3 个球都是红色球，则事件 A 包含了 个样本点，因此：设 B=取出 3 个球中恰好有一个白球，而事件B的发生方法应该是：从 4 个白球中任取一个，有 种取法；再从 6 个 红球中任意取 2 个，有 种取法，红球白球谁先取得与结果无妨。因此。事件B 的发生共有 种方式。因此28 抽样问题：抽样问题：所谓抽样，是指从待查的整批产品中抽出部分产品。抽出的这部分称为样本样本或子样子样，样本中的每件产品称为样品样品，样本中所包含的样品件数称为样本容量样本容量，而待查整批次产品叫做总体总体或母体母体。随机抽样是指总体中每件产品，都等等可能地可能地被抽作样本中的样品。例：例：设一批产品共计 100 件，其中有 3 件次品，其余均为正品，按下列两种方法随机抽取 2 件产品：有放回抽样，即第一次任取一件产品，测试后放回原来的产品中，第二次再从中任意抽取一件产品；无放回抽样：即第一次任取一件产品，测试后不再放回原来的产品中，第二次再从第一次测试后其余的产品中任意抽取一件。试求上述两种情况下的，分别求取出的 2 件产品中恰好有一件产品的概率。29 先分析事件A=取出的 2 件产品中恰好有一件次品包含的样本点数.事件A的发生有两种方式：先取得一件次品后取得一件正品或先取得一件正品后取得一件次品。因此所包含的样本点数为：放回抽样：放回抽样：每次抽取样品都是从 100 件产品中任意抽取，都有 100 种取法，因此样本空间的样本点数为n=1002.故 无放回抽样无放回抽样：第一次是从 100 件产品中任意抽取一件，第二次是从剩余的 99 件产品中任意抽取一件，因此样本空间的样本点数为：n=100 99=，故30 无放回抽样问题，可以看作是一次任取若干样品，其样品空间会发生改变，样本空间的样本点数和事件 A 所包含的样本点数等都要发生相应的改变，它们要用组合公式进行计算：例：例：设有一批产品有 N 件，其中 M 件次品，其余都是正品。现从该批产品中随机抽取 n 件，试求恰好取到件 次品的概率。解：解：31 例：例：设袋中有a 个白球和 b 个红球。现按无放回取样，依次把球一个个取出来，试求第 k（1 k a）次取得的球是白球的概率。解法一：解法一：依题意试验是从 袋中把 a+b 个球无放回地把球一个个取出来，依次排队，共有（a+b）！种不同的排法，则相应的样本总数为 n=（a+b）！。设 A=第 k 次取得的球是白球。对事件 A 发生有利的排法是：先从 a 个白球中任取一个排在第 k 个位置上，两把其余的 a+b-1个排在其余 a+b-1 个位置上，共有 （a+b-1）！种不同的排法。所以事件包含的样本数为 ，从而：32 解法二：只考虑前 k 次取球。试验可以看作一次取 k 个球进行排队，共有 种不同的取法，相应的样本点总数为 ，事件 A 如解法1所设，则对事件 A 发生有利的排法是：先 a 从个白球中任取一个排在第 k 位置上，而后从其余a+b-1个球中任取 k-1 个排在其余 k-1个位置上，共有 种不同的排法。所以事件包含的样本点数为 ，故：抽签原理：抽签原理：以上计算结果表明，事件 A=第 k 次取得的球是白球的概率 P（A）与 k 无关，即 A 发生的概率与取球的先后次序无关，这就是“抽签原理”.无论从日常经验，还通过概率计算，抽签原理都表明，是否抽到“签”与抽签的先后次序无关，人人均值机会均等。因此，该原理常常常常用于体育比赛和其他机会均等的活动中。33 例：例：设有 n 个不同的质点，每个质点等可能地落入 N（n N）个格子中的每一个格子内，又假设每个格子可以容纳的质点数没有限制，试球下列事件的概率：A=某指定的 n 个格子各有一个质点；B=任意 n 个格子各有一个质点 C=指定的一个格子中恰好有 m（m n）个质点 解：解：样本空间的总样本点数：Nn 对事件 A发生有利的的落入方法是，n 个质点在 n 个格子进行全排列，共有 n！种不同的落入方法。因此，A 相应地包含了 n！个样本点，故34 对事件 B发生有利的落法是：从 N 个格子中任意选中其中的 n 个，有 种不同的选法，对于每一种选法再按（1）使 n 个质点落入选中的格子中，有 n！落入方式。因此共有 n！不同的落入方法。因此 B 相应地包含了 n！个样本点 对事件 C 发生有利的落入方法是：从 n 个质点中任意选中 m 个，让它们落入指定的一个格子中，共有 种选法，而其余 n-m 个质点落入剩余N-1的格子中，有 种不同的落法，因此共有 种不同的落法，C也相应地包含了 个样本点。故：典型问题：典型问题：分房问题；排座位问题；不同生日的人员聚会问题35 概率论与数理统计第一周作业 习题1-1（p8）A组：1.；2.；3、；4.；5.B组：1.；2.；3.（II）；4.；习题1-2（1）P17A组：1、3、5、7B组：2、436三、概率的几何定义三、概率的几何定义:1.几何概型实验：几何概型实验：试验的样本空间 是直线上某个有限空间，或平面上、空间内某个有限度量的区域，从而 包含了无限多个样本点。每个样本点的出现具有等可能性。该实验的每个样本点可以看作是等可能地落入 内的随机点。372.概率的几何定义概率的几何定义 当试验的样本点是等可能地落入空间某个区域的随机点，而且随机事件A 对应于随机点等可能地落入上述区域的某子区域，则事件 A 发生的概率可定义为说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.38 例：例：设在一个 5 万平方公里的海域，有表面积 40 平方公里的大陆架蕴藏着石油。假如在该海域任意选一点进行石油钻探。问：能钻到石油的概率？解：解：例：例：某人发现自己的表停了，想通过听收音机报时来进行对表，试问他等待时间不超过10分钟的概率。解：解：39例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在预在预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人，经过时间先到的人等候另一个人，经过时间 t(t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为l(0,称称为在事件为在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率.类似地可定义：572.性质性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即此外此外,条件概率具有无条件概率类似性质条件概率具有无条件概率类似性质.例如：例如：58注注计算条件概率有两种方法计算条件概率有两种方法:(i).公式法：公式法：当当 时时,条件概率条件概率 转化成无条件概率转化成无条件概率,因此无条件概率可看成条件概率因此无条件概率可看成条件概率.59(ii).缩减样本空间法：缩减样本空间法：在A发生的前提下,确定B的缩减样本空间,并在其中计算B发生的概率,从而得到P(B|A).例例.在1,2,3,4,5这5个数码中,每次取一个数码,取后不放回,连取两次,求在第1次取到偶数的条件下,第2次取到奇数的概率.解：解：A=第一次取到偶数，AB=第一次取到偶数且第二次取到奇数，则603.3.乘法公式乘法公式:P(AB)0,则有则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).一般一般,设设A1,A2,An是是n个事件个事件,(n2),P(A1A2.An-1)0,则有则有乘法公式乘法公式:P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).推广推广61 例：例：设某种机器按设计要求使用寿命要超过30年的概率为0.8，超过40年概率为0.5，试求该机器使用30年后，将在10年损坏的概率。解：解：设A=该种机器使用寿命超过30年，B=该种机器使用寿命超过40年，则 令该种机器使用30年后，将在10年内损坏 它与事件 是互斥事件。因此62 例：例：设某批产品共有90件，其中10件次品，其余为正品，现从中无放回地抽样3次，每次抽取1件，求第3才抽到正品的概率。解：解：例：例：某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而任意地按最后一个数字，试求：不超过4次打通电话的概率；若已知最后一位数字是偶数，则不超过3次打通电话的概率.63解：解：64 例（抽签抓奖问题）例（抽签抓奖问题）：设袋中有 n 个字条，其中 n-1 个写着“谢谢您的参与！”，1 个写着“恭喜您中奖啦！”现 n 个人依次从袋中各随机取一个条，并且每人取出后不再放回，试求第 k 个人取得中奖字条的概率。65二、二、全概率公式和全概率公式和贝叶斯公式叶斯公式:1.样本空间的划分样本空间的划分B1B2B3.Bn注注(1)若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分,则每次试验中,事件B1,B2,Bn 中必有一个且仅有一个发生.662.全概率公式全概率公式:称为全概率公式称为全概率公式.证明：证明：因为对任意事件A，有67 例例：一商店新进一批由3个分厂生产的同一型号的空调，而从这三个分厂的进货比例为3:1:2，它们的次品率分别为0.01，0.12，0.05.某顾客从该商店任意选购了一台空调，问该空调为次品的概率？；在已知该空调为次品的情况下，它是哪个分厂生产的可能性大？解解：设B=顾客见到不合格空调683.贝叶斯公式贝叶斯公式:69 例例.对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%,每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?解：设70 例：例：一商店销售10台收音机，其中3台为次品，其余为正品。某顾客选购时已经售出2台，该顾客从余下的8台收音机中任选一台。问：该顾客购得正品的概率；若已知该顾客购得正品，则已售出的2台都是次品的概率是多少？解：解：B=该顾客购得正品 A i=售出的2台中有 i 台次品（i=0,1,2）71 例：例：临床诊断记录表明，利用某项检验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行检验结果95%呈阳性；对非癌症患者进行检验结果96%呈阴性。现在利用这项技术对某市市民进行癌症普查，如果该市癌症患者约占市民总数的0.4%，求 试验结果呈阳性的被检查者患癌症的概率；试验结果呈阴性的被检查者确实未患癌症的概率；解：解：设A=实验结果为阳性；B=被检查者确实患有癌症72由全概率分式得由贝叶斯公式 731.6 1.6 独立性独立性设A,B是试验E的两事件,当P(A)0,可以定义P(A|B).一般地,P(A|B)P(B),但当A的发生对B的发生的概率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).例如 设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况.设A“甲币出现H”,B“乙币出现H”,试求:B发生的条件下，A发生的概率；1.两个事件相互独立性两个事件相互独立性:设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.4 随机事件的独立性随机事件的独立性74 定理定理1（相互独立事件的充要条件）:设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立 的充要条件是:P(B|A)=P(B).定理定理2：下列4个命题等价 证明：证明：此处证明与的等价性 当成立时，由事件的关系与运算与概率的性质可知：75当成立时，即当 时，则有1)零概率事件与任何事件都是相互独立的.2)由对称性,A,B相互独立,必有B,A 相互独立.推论：推论：2.两两相互独立两两相互独立:设有任意事件A1,A2,An，1ij n，满足 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这n个事件两两相互独立两两相互独立.76如果对于任意的k(kn),任意的1i1i2ikn 都有:P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik),则称这 n 个事件相互独立.3.n 个事件相互独立个事件相互独立:注注n 个事件相互独立保证了其中的任意两个事件相互独立，即两两相互独立；但两两相互独立不能保证这 n 个事件相互独立.三三.利用独立性计算古典概率利用独立性计算古典概率:1.计算相互独立的积事件的概率：若已知n个事件A1,A2,An相互独立，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)2.计算相互独立事件的和的概率：若已知n个事件A1,A2,An 相互独立，则77 例：例：设甲乙两个射手，他们射出命中的概率分别为0.8和0.7，现两人同时向一目标射出一次，求 目标的命中率；现已知目标被命中，则它是甲命中的概率。解：解：设A=甲命中目标；B=乙命中目标；C=目标被命中78 例例.两架飞机依次轮番对同一目标投弹,每次投下一颗炸弹,每架飞机各带3颗炸弹,第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3,第2架的概率为0.4,求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。解解：设则：7980例.设有8个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比较两个系统的可靠性.A1 B1 A2 B2 B3 B4 A3 A4系统二系统二:先并联后串联系统一系统一:先串联后并联A1B1A2B2A3B3A4B48182伯努力概型及二项分布伯努力概型及二项分布 1、n 重伯努力概型重伯努力概型：研究 n 次独立实验中某随机实验发生的次数 例：例：某射手每射击一发子弹命中目标的概率为p(0p1)。现对同一目标重复射击3次，试求恰好射中2发的概率。解：解：2、二项式概率公式、二项式概率公式 定理：定理：设在每次试验中，事件A发生的概率均为p(0p3”.反过来反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件的一个变化范围表示一个随机事件:“2X5”表示事件表示事件“掷出的点数大于掷出的点数大于2且小于且小于5”.912.分类：分类：(2)随机变量随着试验的结果而取不同的值随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前在试验之前不能确切知道它取什么值不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定但是随机变量的取值有一定的统计规律性的统计规律性概率分布概率分布.(1)离散型随机变量离散型随机变量;(2)非离散型随机变量非离散型随机变量10 连续型随机变量连续型随机变量20 奇异型随机变量奇异型随机变量若随机变量全部可能取到若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无的值是有限多个或可列无限多个。限多个。922.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .932.求分布律的步骤求分布律的步骤:(1)明确X的一切可能取值;(2)利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率,即可写出X的分布律.例例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).解：设x 0 1 2 3P p p（1-p）p（1-p）2 p（1-p）3 94 例例2.袋中装有4只红球，1只白球.从袋中摸球，随机摸取2次。每次一个球。设X表示所取得的白球数,试就下列两种情况分别求X的分布律：（1）有放回摸取；（2）无放回地摸取。解：解：（1）当取后放回时，X的可能取值为0，1，2，且X 0 1 2P 16/25 8/25 1/25 （2）当取后无放回时，X的取值为0，1，且X 0 1 P 2/5 3/5 953.几种重要的离散型随机变量的分布律：几种重要的离散型随机变量的分布律：X 0 1 pk 1-p p 其中其中0p1,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1.(一一)0-1分布分布当当n=1时时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为即为0-1分布分布.注注(二二)二项分布二项分布96 例例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品只数X的分布律.例例3.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.解：解：X取值分别为0，1，2，20，且解：解：命中次数X的取值分别为，0，1，2，400，且97(三三)泊松分布泊松分布(Poisson)(2)泊松分布有很多应用泊松分布有很多应用.注注(3)二项分布与泊松分布之间的关系二项分布与泊松分布之间的关系.98泊松泊松(Poisson)定理：定理：泊松定理的意义：泊松定理的意义：1.在定理的条件下在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布二项分布的极限分布是泊松分布.2.当当n很大且很大且 p又较小时又较小时,99 例：例：假设有若干台同型号的机床，彼此独立工作，每台机床发生故障的概率都是0.01.设一台机床的故障都可由一人维修。试就下列两种情况分别求出当车床发生故障时，需要等待维修的概率。由一人负责维修20台机床；由一人负责维修20台机床.解：解：设X表示任一时刻发生故障的机床数，则100.例例5 设有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理,问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解：解：设配备k名工人，则有101(四)几何分布 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,则X的分布律为:PX=k=qk-1p,k=1,2,称为X服从参数为p的几何分布.例例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖止,求购买次数X的分布律.若该人共准备购买10次共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数Y的分布律.102超几何分布超几何分布 产生超几何分布的背景是无放回抽样问题。设某批产品共有N件，其中M件是次品。从中任取 n 件，取后不放回，设取得的次品件数为X，则：1032 2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.定义：设定义：设r.v.X,x R1,则则 F(x)=P Xx 称为称为X的分布的分布函数函数.(2)无论是离散型无论是离散型r.v.还是非离散型还是非离散型r.v.,分布函数都分布函数都可以描述其统计规律性可以描述其统计规律性.注注(1)P x1x1,F(x2)-F(x1)=Px1Xx2 0.(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.(3)F(x)至多有可列个间断点至多有可列个间断点,而在其间断点而在其间断点 上也是右连续的上也是右连续的,F(x+0)=F(x).104例例1.离散型离散型r.v.,已知分布律可求出分布函数已知分布律可求出分布函数.X -1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求：求：X的分布函数的分布函数,并求并求P X1/2,P3/2X5/2.结结结结论论论论反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：105X-1 0 1p 1/41063 3.连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度则称则称X为连续型为连续型r.v.f(x)称为称为X概率密度函数概率密度函数,简称概率密简称概率密度度.连续型连续型r.v.的分布函数是连续函数的分布函数是连续函数,这种这种r.v.的取值的取值是充满某个区间的是充满某个区间的.注注107例例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数.解：解：已知108109定定定定义义义义注注负指数分布负指数分布3.关于连续型关于连续型r.v.的一个重要结论的一个重要结论:定理定理:设X为连续型r.v.它取任一指定的实数值a的概率均为0.即PX=a=0.1104.几个常用的连续型几个常用的连续型r.v.分布分布(一一)均匀分布均匀分布:则称随机变量则称随机变量X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记作记作XU(a,b).分布函数为分布函数为:111(二二)正态分布正态分布:112性质性质:113(2)标准正态分布标准正态分布:114引理引理:3.一般正态分布的标准化及其计算一般正态分布的标准化及其计算115结结结结论论论论116例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,XN(500,25),求:(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;(3 求常数c,使每包的重量小于c的概率为0.05.117 服从正态分布N(,2)的r.v.X之值基本上落入-2,+2之内,几乎全部落入-3,+3内.118z (x)0(3)标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点:z0.05=1.645,z0.025=1.96(x)=P(Xx)119(三三)负指数分布负指数分布:1.定义定义:如果连续型随机变量X的概率密度为:则称X服从参数为的负指数分布,记为X().120 性质（4）的直观意义可解释如下：若令X表示某种器件的寿命，性质（4）意味着它已经使用了 s 小时未损坏的器件能够再继续使用 t 小时以上的概率，与一个新器件能够使用 t 小时以上的寿命相同。这意味着器件的衰老作用可以忽略。器件的损坏主要由偶然因素所致。1211222.特例特例:(1,)是参数为是参数为 的指数分布的指数分布.3.伽玛函数的性质伽玛函数的性质:(i)(+1)=();(ii)对于正整数对于正整数n,(n+1)=n!;(四四)伽玛分布伽玛分布:如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为:1.定义定义:1234.随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布一、X为离散型r.v.(列表法)例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4解：解：X-1012Y4101Pk0.20.30.10.4Y014Pk0.10.70.2124(2)若若g(x1),g(x2),中不是互不相等的中不是互不相等的,则应将那些相等则应将那些相等的值分别合并的值分别合并,并根据概率加法公式把相应的并根据概率加法公式把相应的pi相加相加,就就得到了得到了Y的概率分布律的概率分布律.1.离散离散r.v.分布函数的概率分布的求法分布函数的概率分布的求法:设设X的概率分布如下表的概率分布如下表:X x1 x2 xk PX=xi)p1 p2 pk .(1)记记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的的值也是互不相同的,则则Y的概的概率分布如下表率分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi)p1 p2 pk .125二、二、X为连续型为连续型r.v.1.“分布函数法分布函数法”:(3)对y求导得到Y的概率密度:126127128(1)若f(x)在有限区间a,b以外等于零,则只需假设在 a,b上g(x)严格单调,选取 =min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).2.公式法：公式法：定理定理:设X是连续型r.v.,具有概率密度f(x),设y=g(x)是x的严格单调函数,且反函数x=h(y)具有连续的导函数.当g(x)严格增加时,记=g(-),=g(+);当g(x)严格减少时,记=g(+),=g(-),则Y的概率密度为:说明说明 (2)定理中条件y=g(x)是X的严格单调函数是相当苛刻的,许多常见的函数都不能满足,因此,求随机变量的函数的分布时,只能按“分布函数法”直接求解.129 定理定理.r.v.XN(,2),证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.1306 二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数一、二维随机变量的概念一、二维随机变量的概念二、二维随机变量的二、二维随机变量的(联合联合)分布函数分布函数:本质上，二维随机变量就是定义在同一样本空间上的一对随机变量。类似地也可定义多维随机变量。131 若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1)图图1图图2132三、联合分布函数的性质三、联合分布函数的性质边缘分布 只要知道了联合分布，两个变量的边缘分布也就随之确定。一般 而言，仅知道边缘分布，往往不能确定联合分布。1331341357 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 YX 一、联合分布律一、联合分布律136 例：例：设有一个装有4个红球、1个白球的袋子，现每次从中随机抽取一个，取后放回，连续抽取两次，令：137138二、边缘分布律二、边缘分布律 YX Y的分布律X的分布律139三、条件分布律三、条件分布律140第第4周作业周作业习题习题2-1：A组组3，6，9；B组组2，5；习题习题2-2：A组组1，4；B组组2；习题习题2-3：A组组2；B组组3；习题习题2-4：A组组2，5，8，11；B组组2，4；习题习题2-5：A组组2，5；B组组2；习题习题2-6：A组组1；B组组2；习题习题2-7：A组组2；B组组2.1418 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、联合概率密度一、联合概率密度142143