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2023年高考甲卷理数解析几何大题的深入探究.pdf
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1、2023 年第 9 期(上)中学数学研究112023 年高考甲卷理数解析几何大题的深入探究安徽省合肥市肥东县城关中学(231600)王东海摘要每年高考题是良好的素材,值得教师和学生反复揣摩和研究.本文以 2023 年高考甲卷理科第 20 题为例,对该试题进行了探究及推广.以期发挥出高考题的效果和效益.关键词 2023 年甲卷;圆锥曲线;深入探究;拓展推广直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是高考的热点和难点,在这类考题的命题中往往都是探求一些特殊结论,这些结论看似特殊,实则往往都具有普遍性.我们在解答考题后要深入拓展到一般情况,还要注意探寻其它圆锥曲线的对偶性质.下面以 2023 年高考全国甲卷第
2、 20 题的圆锥曲线试题的探究为例进行说明.1 真题呈现题目(2023 年甲卷理数第 20 题)已知直线 x 2y+1=0 与抛物线C:y2=2px(p 0)交于 A,B 两点,且|AB|=415.(1)求 p;(2)设 C 的焦点为 F,M,N 为 C图 1上两点,MF NF=0,求 MNF 面积的最小值.易得第(1)问 y2=4x.第(2)问求面积最值可用点参法、焦半径公式、极坐标方程解答,得 Smin=12 82.试题平中见奇,内涵丰富,是具有研究性学习价值的好题.2 一般性探究细品解题过程,笔者发现结论值得探究.能否将试题第(2)问中的特殊抛物线推广至一般的抛物线?基于以上思考,可以得
3、到以下一般性结论:结论 1已知 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F,M,N为 C 上两点,MF NF=0,则 MNF 面积的最小值为(3 22)p2.证明以 F 点为极点,以 x 轴正向为极轴方向建立极坐标系,则 y2=2px 极坐标方程为:=p1 cos,设 M(1,),N(2,2+),所 以 1=p1 cos,2=p1+sin,故而SMFN=1212=12p1 cosp1+sin=p2211+sin cos sin cos,令 sin cos=t,则 t 2,2,sin cos=1 t22.故SMFN=p2211+t (1 t2)/2=p2t2+2t+1=p2(t+1)2,因为(t+1
4、)26(2+1)2,所以 SMFNp2(2+1)2=(3 22)p2.从而当 =34时,MNF 面积的最小值为(3 22)p2.将定点 F 推广成 x 轴上其它定点,比如坐标原点,则可得以下结论:结论 2已知 C:y2=2px(p 0),坐标原点为 O,M,N 为 C 上两点,OM ON=0,则 MON 面积的最小值为 4p2.证明 以 O 点为极点,以 x 轴正向为极轴方向建立极坐标系,则 y2=2px 极坐标方程为:2sin2=2p cos,即=2pcossin2.设M(1,),N(2,32+),故1=2pcossin2,2=2psincos2,故而SMON=1212=2p2sincoss
5、in2cos2=2p2sin cos=4p2sin2 4p2,所以当 =4时,SMON的最小值为 4p2.将 MFN 面积推广成四边形面积时,又可得以下结论:结论 3 已知 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F,过焦点作抛物线的两条互相垂直的弦 AB,MN,则四边形 AMBN的面积最小值为 8p2.证明以 F 点为极点,以 x 轴正向为极轴方向建立极坐标系,则 y2=2px 极坐标方程为:=p1 cos,设 A(A,),B(B,+),M(M,2+),N(N,32+),从而 A=p1 cos,B=p1+cos,M=p1+sin,N=p1 sin,故而|AB|=p1 cos+p1+cos=2ps
6、in2,|MN|=p1+sin+p1 sin=2pcos2.所以SAMBN=12|AB|MN|=122psin22pcos2=8p2sin22 8p2,所以当 =4或34时,SAMBN的最小值为 8p2.12中学数学研究2023 年第 9 期(上)3 类比推广如果将抛物线类比推广至椭圆及双曲线,第(2)问可类比成以下一般性的结论:结论 4已知 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为 F1,F2,M,N 为 C 上两点,MF2 NF2=0(或 MF1 NF1=0)则 MF2N(或 MF1N)面积的最小值为e2p2(e+2)2,其中 p 表示焦点到对应准线的距离.证明以 F2点为
7、极点,以 x 轴正向为极轴方向建立极坐标系,则椭圆 C 的极坐标方程为:=ep1+ecos,其中 p=a2c c=b2c.设 M(1,),N(2,2+),故1=ep1+ecos,2=ep1 esin,所以SMF2N=12ep1+ecosep1 esin=12e2p21 esin+ecos e2sincos.令 sin cos=t,则 t 2,2,sin cos=1 t22.SMF2N=e2p2211 et e2(1 t2)/2=e2p2e2t2 2et e2+2=p2(t 1e)2+1e2 1.因为(t1e)2+1e21 6(2 1e)2+1e21=2e2+22e+1,所以 SMF2Np22e
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