2023年新高考2卷第21题的解法探究与溯源.pdf

基金项目:2 0 2 1年度 阜阳市教育科 学规划课题基于核心 素养角度的高中 数 学 作 业 设 计 与 实 践 策 略 的 实 证 研 究(项 目 编 号:F J K 2 1 0 0 7)2 0 2 3年新高考2卷第2 1题的解法探究与溯源安徽省阜阳市阜南县第一中学 水 涛 黄 豹 卢瑞雪 (邮编:2 3 6 3 0 0)摘 要 探究了2 0 2 3年新高考卷第2 1题的多种解法,揭示了双曲线中某些特定直线的斜率之比恒定,交点变化的规律,并进一步探索了命题背景.关键词 斜率比值;定值;圆锥曲线 1 试题呈现2 0 2 3年新高考卷第2 1题为:已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2 5,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1、A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M、N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P.证明:P在定直线上.从问题的内容看,第(1)问主要考查了双曲线的方程及简单的几何性质;如图1所示,第(2)问考查了直线与双曲线的位置关系.从问题的表述看,问题情境经典,题干简洁明了.解题入口较多,但计算繁琐,对学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养提出较高的要求.图12 解法探究第(1)问比较简单,具体过程略过,答案为x24-y21 6=1.下面将重点探讨第(2)问的解法.由题意可知,问题的本质是探索变化过程中的不变量.从变化的“要素”出发寻找解题方向是解决问题的关键.既可以从直线MN变化出发设线,也可以从点M、N出发设点,也可以用线段的长度关系出发描述变化等等,入口较多,下面一一展开.为了描述方便,设Q(-4,0),M(x1,y1)、N(x2,y2).思路一 直线的方向向量的变化导致了M、N的变化,可以从直线的角度出发.解法1 设直线MN方程为x=m y-4,联立x=m y-4,x24-y21 6=1,消 去x,得 到(4m2-1)y2-3 2m y+4 8=0,所以y1+y2=3 2m4m2-1,y1y2=4 84m2-1,故m y1y2=32(y1+y2),又MA1:y=y1x1+2(x+2),NA2:y=y2x2-2(x-2),消去y得到,x+2x-2=y2x2-2x1+2y1=y2(m y1-2)y1(m y2-6)=32(y1+y2)-2y232(y1+y2)-6y1=32y1-12y2-92y1+32y2=-13,解得x=-1.所以命题得证.解法2 同解法1可 得,x+2x-2=y2x2-2x1+2y1=y2(m y1-2)y1(m y2-6)=m y1y2-2(y1+y2-y1)m y1y2-6y1=4 8m4m2-1-2(3 2m4m2-1-y1)4 8m4m2-1-6y1=-1 6m4m2-1+2y14 8m4m2-1-6y1=-13,解得x=-1.评注 解法1和2从直线MN出发,通过设952 0 2 3年第5期中学数学教学直线联立方程韦达定理解点P坐标解决问题.难点集中在两个方面,一是通过观察图象,确定P点在与x轴垂直的直线上;二是如何解决“非对称”化简问题.解法1寻找y1y2、y1+y2之间的线性关系,解法2利用两根和消去y2,将分子分母化成m与y1表示的式子,得出最终结果.对学生运算求解能力要求较高.思路二 从点P的变化出发.解法3 设P(x0,y0),则直线MA1方程为y=y0 x0+2(x+2),与4x2-y2-1 6=0联立,消去y并化简,得到4(x0+2)2-y20 x2-4y20 x-4y20+4(x0+2)2=0,二次项的系数不为零,方程两根为x1和-2,故-2x1=-4y20+4(x0+2)24(x0+2)2-y20,解得x1=2y20+4(x0+2)24(x0+2)2-y20,代入y=y0 x0+2(x+2),所以y1=1 6y0(x0+2)4(x0+2)2-y20;同理,直线NA2方程为y=y0 x0-2(x-2),与4x2-y2-1 6=0联立,解得x2=-2y20+4(x0-2)24(x0-2)2-y20,y2=-1 6y0(x0-2)4(x0-2)2-y20.又M、N、Q三点共线,向量MQ/NQ,坐标表示为y1(x2+4)=y2(x1+4),将M、N坐标代入该式可知,-1 6y0(x0-2)4(x0-2)2-y202y20+4(x0+2)24(x0+2)2-y20+4 =1 6y0(x0+2)4(x0+2)2-y20-2y20+4(x0-2)24(x0-2)2-y20+4 ,化简可得,-(x0-2)-2y20+2 4(x0+2)2=(x0+2)-6y20+8(x0-2)2,即4(x0-2)(x0+2)-y20(8x0+8)=0,而-2x02,-y200,所以4(x0-2)(x0+2)-y200,故x0=-1,P点在定直线上.解法4 设直线MA1方程为y=k1(x+2),与4x2-y2-1 6=0联立,消去y并化简,得到(4-k21)x2-4k21x-(4k21+1 6)=0,方程两根为x1和-2,故-2x1=-(4k21+1 6)4-k21,解得x1=2k21+84-k21,代入y=k1(x+2),所以y1=1 6k14-k21;同理,直线NA2方程为y=k2(x-2),与4x2-y2-1 6=0联立,解得x2=-2k22+84-k22,y2=-1 6k24-k22.由解法3知,y1(x2+4)=y2(x1+4),将M、N坐标代入该式得,1 6k14-k21(-2k22+84-k22+4)=-1 6k24-k22(2k21+84-k21+4),所以k2k21-1 2k2=-3k1k22+4k1,因式分解可得,(k1k2-4)(k1+3k2)=0,又因为k1k2-4 0,所 以k1+3k2=0,由y=k1(x+2)y=k2(x-2)解得x=-1,故P点在定直线x=-1上.评注 解法3从变化的点P出发,思路直接,解法自然,但计算异常繁琐,不易化简到底,在紧张的考场环境下更是如此.对学生的计算能力和心 理 素 质 要 求 非 常 高.解 法4中 将k1=y0 x0+2、k2=y0 x0-2代入k1+3k2=0中,同样可以解出x0=-1.所以解法4可看作解法3的简化,设直线斜率比设点的坐标简单.思路三 通过思路一和思路二的探索,发现第(2)问的本质之一是求直线MA1与NA2的斜率比值为定值,进而求解交点P的横坐标为定值.又A1、A2为顶点,可以利用双曲线的“第三定义”和双曲线的方程进行化简.解法5kNA1kNA2=y2x2+2y2x2-2=1 6(x224-1)(x2-2)(x2+2)=4,kMA1kNA1=y1x1+2y2x2+2=y1y2(m y1-2)(m y2-2)=y1y2m2y1y2-2m(y1+y2)+4,由解法1知y1+y2=3 2m4m2-1,y1y2=4 84m2-1代入可得,kMA1kNA1=4 84m2-14 8m24m2-1-6 4m24m2-1+4=-1 206中学数学教学2 0 2 3年第5期由、消去kNA1,可得kMA1kNA2=-3,后同解法1.解法6 k2MA1k2NA2=(y1x1+2)2(y2x2-2)2=y21(x2-2)2y22(x1+2)2=1 6(x214-1)(x2-2)21 6(x224-1)(x1+2)2=(x1-2)(x2-2)(x1+2)(x2+2)=(m y1-6)(m y2-6)(m y1-2)(m y2-2)=m2y1y2-6m(y1+y2)+3 6m2y1y2-2m(y1+y2)+4=4 8m24m2-1-1 9 2m24m2-1+3 64 8m24m2-1-6 4m24m2-1+4=9,又kMA1kNA20,所以kMA1kNA2=-3,后同解法1.评注 解法5先探索发现过定点的弦的端点与顶点连线斜率积为定值,与双曲线的“第三定义”结合,得出直线MA1与NA2的斜率的比值为定值;解法6将斜率比值平方后,利用椭圆的方程消去y1、y2,再利用韦达定理得出结果.解法5和6的本质是利用椭圆的方程进行消元,相对直线消元而言学生平时用得较少,比较陌生,对学生的消元技巧要求较高.思路三 从M、N点的变化出发.解法7 由x214-y211 6=1,x224-y221 6=1,y21(x1-2)(x1+2)=y22(x2-2)(x2+2)=4,所以y1(x2-2)y2(x1+2)=y2(x1-2)y1(x2+2),又M、N、Q三点共线,向量MQ/NQ,坐标表示为y1(x2+4)=y2(x1+4),可化为x1y2-x2y1y1-y2=4,kMA1kNA2=y1(x2-2)y2(x1+2)=y2(x1-2)y1(x2+2)=y1(x2-2)-y2(x1-2)y2(x1+2)-y1(x2+2)=x2y1-x1y2-2(y1-y2)x1y2-x2y1-2(y1-y2)=x2y1-x1y2y1-y2-2x1y2-x2y1y1-y2-2=-4-24-2=-3,后同解法1.解法8 由解法7知,x1y2-x2y1=4(y1-y2),又(x1y2-x2y1)(x1y2+x2y1)=x21y22-x22y21=4(1+y211 6)y22-4(1+y221 6)y21=4(y22-y21),所以x1y2+x2y1=-y1-y2,与x1y2-x2y1=4(y1-y2),联立 解 得x1y2=3y1-5y22,x2y1=-5y1+3y22,而kMA1kNA2=y1(x2-2)y2(x1+2)=-5y1+3y22-2y13y1-5y22+2y2=-3,后 同 解法1.评注 解法7通过三点共线建立M、N点坐标与横截距之间的关系,再进行整体代换消元;解法8在解法7的基础上构造对偶式,解出x1y2、x2y1,再带入斜率比值进行消元,得出结论.解法7和8方法巧妙,设点后利用椭圆的方程进行化简,技巧性较强.思路四 考虑到直线变化时,线段长度的比值也在变化,从线段的长度比值出发.解法9 因为M、N、Q三点共线,设MQ=QN,即(-4-x1,-y1)=(x2+4,y2),可得x1+x2=-4-4,y1+y2=0,又x214-y211 6=1,2x224-2y221 6=2,两 式 作 差 可 得,x21-2x224-y21-2y221 6=1-2,162 0 2 3年第5期中学数学教学即(x1+x2)(x1-x2)4-(y1+y2)(y1-y2)1 6=1-2,可 化 为(-4-4)(x1-x2)4-0(y1-y2)1 6=1-2,x1-x2=-1,与x1+x2=-4-4联立,解得x1=-5-32,x2=-3-52,所以kMA1kNA2=y1(x2-2)y2(x1+2)=-(x2-2)(x1+2)=-x2+2x1+2=3+52+2-5-32+2=-3,后同解法1.解法1 0 同解法9可得(-4-x1,-y1)=(x2+4,y2),所以x1=-4-4-x2,y1=-y2,代入x214-y211 6=1,展开得(x2)2-2 x2(4+4)+(4+4)24-(y2)21 6=1,又因为x224-y221 6=1,所以2-1-2 x2(+1)+4(+1)2=0,因为+10,解得 x2=-3-52,亦得x1=-5-32,后同解法9.评注 解法9和解法1 0用线段的比值表示直线的变化,利用向量表示这个比值,解法9利用定比点差法,解法1 0利用“算两次”的思想解出x1和 x2,代入计算得到直线MA1与NA2的斜率的比值为定值;本质上都是利用线段的比值表示点的坐标,解决问题的大方向依然是消元.从这个角度来说,设直线的参数方程也是可以尝试的方法,因为新教材中已将其删去,在此不做讨论.3 命题溯源图2在上文中,笔者利用十种方法解题,殊途同归.那么高考命题人是如何命制本题的呢?王文彬在文1 中提到,“极点与极线是圆锥曲线的基本特征,因此在高考试题中必然会有所反映,自然也会成为高考试题的命题背景”.本题的命题背景应该也是圆锥曲线的极点与极线.如图2所示,Q(-4,0)为极点,过Q做双曲线的两条割线MN、A1A2,连接MA1与NA2,则交点必然在点Q的极线为-4x4-0y1 6=1,即x=-1.与本题命题背景类似的还有2 0 2 0年高考全国乙卷数学理科第2 0题,2 0 1 0年全国高考江苏省理科第1 8题等等,不一而足.4 结语任子朝、赵轩在文2 中指出“高考数学科提出5项关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力”,本题旨在考查学生的前4项具有鲜明数学学科特点的数学能力,具有较好的甄别功能的试题,也是日常教学中必备的教学资源.对本题的进行解法拓展、命题背景溯源,有利于教师把握高考命题的方向,提升对 普通高中数学课程标准 及 中国高考评价体系 的理解,有助于教师提高解题教学的效率.参考文献1 王文彬.极点、极线与圆锥曲线试题的命制J.数学通讯,2 0 1 5(4):6 2-6 6.2 任子朝,赵轩.基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径J.中国考试,2 0 1 9(1 2):2 7-3 2.(收稿日期:2 0 2 3-0 6-1 8)26中学数学教学2 0 2 3年第5期