2022年新高考Ⅰ卷函数与导数解答题的解法探究与推广.pdf
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1、2023 年第 9 期(下)中学数学研究312022 年新高考 I 卷函数与导数解答题的解法探究与推广*佛山科学技术学院(528000)洪锐敏摘要 在对 2022 年新高考 I 卷第 22 题进行解法探究的基础上,对该问题作进一步的探究与推广,研究直线与已知的两条曲线有 4 个不同交点情况下的横坐标和差间的等量关系和以 4 个交点为端点的各线段长度间的关系,得到 4 个结论并给出证明过程,为试题的命制和变式提供参考.关键词 GeoGebra;函数与导数;新高考;教学建议1 问题的提出普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)提出把握数学本质,启发思考,改进教学的课程基本理念,即以
2、发展学生数学学科核心素养为导向,引导学生把握数学内容的本质,激发学习数学的兴趣,注重信息技术与数学课程的深度融合,提高教学的实效性1.因此,本文以 2022 年新高考I 卷第 22 题为例,基于 GeoGebra 对该问题进行探究与推广,并给出严格的逻辑推理证明,将信息技术与高考数学试题的变式研究结合起来,这不仅可以为试题的命制和变式提供参考,而且更有助于引导学生把握数学概念和原理的本质.2 原题呈现与解法探究原题呈现(2022 年新高考 I 卷第 22 题)已知函数f(x)=ex ax 和 g(x)=ax lnx 有相同的最小值(1)求 a;(2)证明:存在直线 y=b,其与两条曲线 y=f
3、(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列解法探究本题以极值点偏移为背景,既是近几年高考的热点2,也是二轮复习时的综合内容,涉及多方面的知识点3.第(1)问是根据函数f(x)=exax和g(x)=axlnx的导数研究 f(x)和 g(x)单调性的常规问题,考查学生的顺向思维能力.根据两个函数有相同的最小值这一条件求 a 的值,通过分类讨论,分别确定 f(x)和 g(x)的最小值 f(x)min和 g(x)min,令 f(x)min=g(x)min,解关于 a 的方程,即可得到 a 的值.第(2)问中,不妨设从左到右的三个交点分别为 A,B,C,横坐标分别为
4、 x1,x2,x3,即要证明x1+x3=2x2,实质是讨论方程 exx=b(2.1)与方程xlnx=b(2.2)根的和差间的等量关系.由于方程(2.1)和(2.2)是包含指数和对数的方程,学生不借助信息技术的前提下无法直接求出方程根的准确值,故需将求方程根的问题转化归结为求函数的零点问题,利用函数的单调性和零点存在定理探究根的个数和根的和差间的等量关系.由(1)知f(x)在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增;g(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)单调递增,f(x)min=g(x)min=1,故若存在直线 y=b 与曲线 y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点,则须 b 1,且 B
5、点为曲线 y=f(x)、y=g(x)和直线y=b的公共交点,x1 0 x2 1 x3,方程exx=b有两个不同的根 x1,x2,x lnx=b 有两个不同的根 x2,x3,即 ex1x1=b,ex2x2=b,x2lnx2=b,x3lnx3=b.由 ex1x1=b 可整理得(x1+b)ln(x1+b)=b,故 x1+b为方程 x lnx=b 的根,同理由 ex2 x2=b 可证 x2+b也为方程 x lnx=b 的根;由 x2 lnx2=b 可整理得ex2b(x2 b)=b,故 x2b 为方程 exx=b 的根,同理由 x3 lnx3=b 可证 x3 b 也为方程 ex x=b 的根.因此,x2
6、,x3=x1+b,x2+b,结合 x1 0 x2 1 x3可得x2=x1+b,x3=x2+b.即 x1+x3=2x2.因此,存在直线 y=b,其与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.本题是以极值点偏移为背景的压轴题,考查了函数的单调性与最值、导数运算、指数与对数的互化、等差数列的概念等知识点,解题过程体现出对转化与化归、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想和分析法的综合考核,要求学生有较强的逻辑推理素养和逆向思维能力.往年较为常见的以极值点偏移为背景的试题以对不等式证明的考查为主4,解题过程需要结合题意构造出新的函数5,本题的不
7、同之处在于不设置证明不等式的题目,而是要求证明直线与曲线交点横坐标和差间的等量关系(x1+x3=2x2或x2 x1=x3 x2),且解题过程不需要构造新的函数,这是函数与导数板块以极值点偏移为背景命制试题的第一个创新点.其次,这是自 2014 年新高考政策在浙江省和上海市试点实施以来,全国 I 卷首次将函数与导数的解答题与数列结合起来进行考查,也是本试题在考查函数与导数板块的第二*基金项目:本文系佛山科学技术学院学生学术基金资助项目(编号:xsjj202304zsb03)的阶段性研究成果.32中学数学研究2023 年第 9 期(下)个创新点,从命题的形式上看比较新颖,既遵循了 普通高中数学课程
8、标准(2017 年版 2020 年修订)提出的引导学生把握数学内容的本质的课程基本理念,也是新高考试题命制的灵活性和敢于突破常规的体现,对后续高考试题中函数与导数解答题的命制和一线教师的教学有一定的借鉴意义,下文笔者将借助 GeoGebra 继续对该解答题进行探究与推广.3 探究思路和过程图 1 1 c b 时直线 y=c 与曲线 y=f(x)和 y=g(x)的图象2022 年新高考 I 卷第 22 题第(2)问是证明存在直线y=b,其与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列,得到 x1+x3=2x2,即 x2 x1=x3 x2=b,
9、线段 AB=BC=b.下面笔者借助 GeoGebra 探究直线y=c(c 1,c=b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)有四个不同的交点的情况,如图 1 和图 2,先绘制出直线 y=c与两条曲线 y=f(x)=ex x 和 y=g(x)=x lnx的图象,作出直线 y=c(c 1,c=b)动态变化的效果6.设从左到右的四个交点分别为 A,B,C,D,横坐标分别为x1,x2,x3,x4,探究 x1,x2,x3,x4的和差间的等量关系,以及以 A,B,C,D 四点为端点的各线段长度与之间存在的等量关系.通过 GeoGebra 对相关线段的长度关系进行动态追踪和探究,分别得到下列 4 个结论,
10、然后通过逻辑推理证明结论的严谨性,为试题的命制和变式提供参考.4 结论与证明结论 1直线 y=c(c 1,c=b)与两条曲线 y=f(x)和 y=g(x)共有从左到右的四个不同的交点,设交点坐标分别为 A(x1,c),B(x2,c),C(x3,c),D(x4,c),则总有线段AB=CD 恒成立.结论 1 的评析与证明思路结论 1 要证明总有线段AB=CD 恒成立,实质上是证明 x2 x1=x4 x3恒成立(类似于原题第(2)问的结论 x2 x1=x3 x2).1当 1 c b 时,点 A(x1,c)与点 B(x2,c)是直线y=c 与曲线 y=f(x)的交点,点 C(x3,c)与点 D(x4,
11、c)是直线 y=c 与曲线 y=g(x)的交点,且 x1 x2x3 x4,将点 A,B,C,D 的坐标分别代入函数解析式可得:ex1 x1=c(4.1)ex2 x2=c(4.2)和x3 lnx3=c(4.3),x4 lnx4=c(4.4),由(4.1)整理得:(x1+c)ln(x1+c)=c,即 x1+c 是方程 x lnx=c 的根,同理(4.2)可证 x2+c 是方程x lnx=c 的根.由(4.3)整理得:ex3c(x3 c)=c,即 x3 c 是方程 ex x=c 的根,同理(4.4)可证 x4 c是方程 ex x=c 的根.结合 x1 x2 x3 x4可知x3=x1+cx4=x2+c
12、即x3 x1=c,x4 x2=c,故 x2x1=x4x3,因此,当 1 c b 时,点 A(x1,c)与点 C(x3,c)是直线 y=c与曲线 y=f(x)的交点,点 B(x2,c)与点 D(x4,c)是直线 y=c 与曲线 y=g(x)的交点,且 x1 x2x3 x4,将点 A,B,C,D 的坐标分别代入函数解析式可得:ex1 x1=c(4.5)ex3 x3=c(4.6)和x2 lnx2=c(4.7)x4 lnx4=c(4.8)由(4.5)整理得:(x1+c)ln(x1+c)=c,即 x1+c 是方程xlnx=c 的根,同理(4.6)可证 x3+c 是方程 xlnx=c的根.由(4.7)整理
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