2022中国数学奥林匹克希望联盟夏令营（二）.pdf

一、（分）求所有的整数，使得对任意两两不等的正实数、，都有上，满足抑记的外接圆为尸，从的外接圆与厂的第二个 交点为，（二、（分）已知数列以满足：巧，；，？（）对大于的整数，记圪为除以圪的余数？证明：圪在数列中三、（分）如图，圆内接四边形中，直线与交于点，直线仙与交于点过点作直线）的平行线，交直线于点尺，、分别是柯、）的外心证明：）？四、（分）给定正整数设是最小的正整数，满足对所有无论如何将一个阶完全图的所有边染为红、蓝两色之一，都存在一条红色的长为）的路或一条蓝色的长为的路证明：，其中，表示不超过实数的最大整数注：一条长为的路由个点，构成，满足对任意的，与，之间均有边连接五、（分）如图，中，仙，点在线段的延长线上，点在线段的夕（妾圆与厂的第二个交点为（？求证：六、（分）已知是正整数，多，正实数，？满足，？且兰证明七、（分）证明：存在正实数，使得对任意正整数与平面上的个点，这个点构成的等腰三角形不超过个八、（分）记，。是 个大于 的不同素数，。是数集且為，？，）证明：存在正整数（丨）（忠丨）（），使得 对任意的，及任意的，有辛（）？参考答案一、答案为自然数当时，不等式显然成立当？时，不妨设，中等数学由均值不等式知（），则（）（）当时，取，令，则，矛盾二、由可知彡当仏为合数时，紇故圪，结论成立当；：为素数时，若，则圪；，结论成立若？，为奇素数，则（）（）！（）（）由尸。，厂！（？）知对，有、丄丫丫、丁丁九（）（）故对，有（，即（）（）从而对丨，（模余）由通项计算可得（、）故由可知为素数或（）若为素数，则，圪（模余）又）（）！（）（），由威尔逊定理可知（）（），）或匕（）若，则的解只有？，结论成立年第期三、如图，记圆心为，联结、即、由 ，知如）又二故（，）之？当灸时，结论显然成立当设寸，假设对于小于的情况均成立，下面证明时也成立考虑阶完全图的任意红、蓝二染色由归 纳假设，只要证明：若红色的路长度最大为；，则存在一条蓝色的长为的路设最长的红色路为，剩余的点 为，外，？设集合，了，由仏的最长性容易验证下面三条性质对于任意不越界的下标均成立：类似地，二五故之圖腸四、一方面，给出时的染色方法的构造，满足不存在红色的长为：的路或长为的路先从个点中选出：个点，记此：个点构成集合将此个点间两两连线染红，并把剩下的边染蓝由于只有个点与红色边相邻，故显然红色的路长度不超过下面证明蓝色的路长度不超过而对于蓝色的路，注意到路上相邻的点不能都在中，又因为这条路最多经过之外的点次，所以路长不超过另一方面，说明彡设（：，）是一般的：所对应的值对归纳证明：对于所有的均有（）吵；是蓝色的或尺是蓝色的；（）叹，与以都是蓝色的；（）对）与两两不同的？中至少有一个点与、中至少两个点都连蓝边考虑最长的满足如下性质的蓝色路：不含，、；起点与终点均在中；每相邻的两个点均一个在中，一个在中设这条路为，起点与终点分别为若包含了中所有的点，将加上、，则构成了一条长为的蓝路故以下不妨假设没有包含中所有的点设为中所有不在中的点构成的集合再考虑最长的满足如下性质的蓝色路：不含，、；不含中的点；起点与终点均在见中；每相邻的两个点 均一个在中，一个在识中设这条路为下面证明中所有点均在或中假设有点在中，且不在或中则与中等 数学阳中的点数不超过了故与（用到了彡）？故存在下标；（彡襄：）使得，不在与中对、托与；、使用性质（），于是可以将或延长，与最长性矛盾故中所有点均在或中，与的长在中的点数不超过度之和为将与加人边，！、形成一个长为？的圈当为奇数时，将圈在某处断开即得一个长为的路当为偶数时，注意到与在中的点数不超过故有下标（幻分）使得，不在与中？利用性质（）可得或；与 刚才得到的圈以蓝边相连于是，将此圈断开可以得到长为的路一五、如图，取劣弧反的 中点因为，所以，竺二瓜四点共圆从而，、供：、三个 外接圆的根轴（？、邏、三线共点类似地，份、三线共点故？、）四线共点由对称性知六、引理当时，（）彡去（证明只需证：（）（）即：，即只需证由于尤、，故，：，引理得证只需证明：？利用引理可知？哉（）：七、先说明个点两两相连，得到条中垂线中，设有：条线重合，则有事实上，若的中垂线与的中垂线重合，则，丨，），）考虑这条中垂线设它们去掉重复的中垂线之后为，其中重数为；则，（炎）设（过个点中个点，由于两点确定一条直 线，则不同上的点对（，）不同，故？化简得、）年第期注意到，所求等腰三角形个数不超过由柯西不等式知（厶）上）彡（？）丫）（：）（）（）（）（八、已知丨，两两互素，由中国剩余定理知对任意的，存在巧满足三（），心（）（笑）？考虑数；，则（）（记，丨，：丨设尽丨，丨且满足对任意的尽，為，羊：（，）的元素最多 的集合从而，对任 意的尽，？必存在，；為使得（）三；（）贝！三土？；（）？故对任意的至多有尽為种模的余数贝彡，即（，）考虑形如中的数构成的集合个。：！贝中有丨丨丨丨尽 丨个模￥。两两不同余的数记这些数模的余数从小到大丨，丨？由于 一，一，：卜丨 丨叫卜卜，丨 丨 均属于区间（，￥，且和为￥，故必存在其中一个数不大于？尽。（）（）？（，）由；的定义可知这个数之差模不与為中元素同余，记这个正整数为故（，）（）（）（命题组提供）欢迎订购年全国高中数学联合竟赛模集年全国高中数学联合竞赛模拟题集已 出版发行。本书聘请全国二十个省、市的一线教练员撰写模拟试题（含解答）。模拟试题严格按照联赛新大纲及新标准编拟，难度适中，题型新颖，覆盖面广，具有极大的参考价值，欢迎订阅购买，定价元。单本快递元，本以上免收快递费。发行部地址：，天津市河西区吴家窑大街号增号电话：（可加微信）蟀利褊辑都