2023年北京卷19题的解法、背景及命制思路探究.pdf

年 月 日 第 期数学版:/.年北京卷 题的解法、背景及命制思路探究秦文波 黄中华 杨 超(.重庆市璧山区教师进修学校 重庆 .重庆市璧山中学校 重庆)摘 要:通过对一道高考试题的研究给出了该题的两种基本解法和命题背景获得了该类试题的两个重要结论和命制同类试题的两种基本思路并命制了不同类型的试题.关键词:高考真题试题背景命制思路基金项目:重庆市教育学会课题“基于资优生数学素养的校本课程开发与实施探究”(项目编号:).作者简介:秦文波()男重庆丰都人硕士中学一级教师研究方向:中学数学教学.年北京卷第 题是一道解析几何综合试题.该题既考查了解析几何基本方法椭圆的标准方程、几何性质等基础知识也考查了学生运算求解、推理论证等关键能力还考查了数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想以及逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.笔者对该题的解法、背景和命制思路进行了深入研究下面将其呈现出来以期能与读者朋友共同探讨.真题呈现题 (年北京卷第 题)已知椭圆:()的离心率 点 分别为 的上、下顶点点 分别为 的左、右顶点.()求椭圆 的解析式()点 为第一象限内椭圆上的一个动点直线 与 交于点 直线 与直线 交于点求证:/.试题简析第()问较简单不再赘述其答案为.接下来对第()问作简要解析.解法 (设点法)设()则.又因为()故直线 的方程为().又()()故直线 的方程为 .由()得().又()故直线 的方程为 .由 得().所以直线 的斜率为/()()/()/().又因为直线 的斜率也为所以/.评注 由于整个几何运动系统可以看作是由点 的运动变化引起所以选择设点法用点 的坐标翻译和表达相关几何量借助斜率相等证明直线平行.解法(设线法)由于点 为第一象限内椭圆上的一个动点故直线 的斜率一定不为.设直线 的方程为 ().又()()故直线 的方程为 .由 得().数学版 年 月 日 第 期 .由 得().又()所以 .即.又 所以直线 的斜率为/()()/()()().所以直线 的方程为 ()().由()()得().所以直线 的斜率为/()()/()()/().又因为直线 的斜率也为所以/.评注 由于整个几何运动系统可以看作是由直线 绕着点 旋转引起所以选择设线法用直线 的斜率的倒数翻译和表达相关几何量借助斜率相等证明直线平行.背景探析本题的背景是帕斯卡定理其具体内容为:帕斯卡定理:如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)那么它的三对对边的交点在同一条直线上.本题是帕斯卡定理的特殊情形是将六边形退化为特殊五边形后的结果.具体地如图 为椭圆上的五个点直线 与 相交于点 直线 和点 处的切线交于点.假设直线 与 交于无穷远点 则根据帕斯卡定理可得三点共线.所以直线、直线 和直线 有共同的无穷远点 所以这三线平行即/.命题思路探究一般地圆锥曲线(下文均指:圆、椭圆、双曲线和抛物线)的内接六边形退化为五边形后如果有一组对边平行根据帕斯卡定理有:结论 如图 已知 为圆锥曲线 的内接五边形 是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点 若/则/.命题思路 对于圆锥曲线 的任意内接四边形只要/无论点(不与 重合)在 上哪个位置都有/.据此可以命制如下试题:题 已知四边形 的四个顶点都在椭圆:()上点 是 上的动点(不与 重合)是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点/求证:/(或证:直线 的斜率为定值.).如果要将“/”这个几何条件隐藏起来可以将 和 取作椭圆的两条直径(经过中心的弦).比如:题 已知 为椭圆:()的中心直线 经过点 交 于 两点直线 经过点 交 于 两点点 是 上的动点(不与 重合)是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点 求证:/(或证:直线 的斜率为定值.).在题 的基础上取:点 为 的上、下顶点点 为 的左、右顶点点 用点 年 月 日 第 期数学版:/.代替便得到题.显然对于双曲线、抛物线和圆也可按照类似思路命制同类试题.题 已知四边形 的四个顶点都在双曲线:()上点 是 上的动点(不与 重合)是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点/求证:/(或探究直线 的斜率是否为定值.).题 已知 为双曲线:()的中心直线 经过点 交 于 两点直线 经过点 交 于 两点点 是 上的动点(不与 重合)是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点 求证:/(或探究直线 的斜率是否为定值.).题 已知四边形 的四个顶点都在圆:()()()上点 是 上的动点(不与 重合)是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点/求证:/(或探究直线 的斜率是否为定值.).题 已知四边形 的四个顶点都在抛物线:()上点 是 上的动点(不与 重合)是 在点 处的切线直线 交 于点 直线 交 于点/求证:/(或探究直线 的斜率是否为定值.).一般地当圆锥曲线的内接六边形退化为四边形后根据帕斯卡定理有:结论 如图 已知 为圆锥曲线 的内接四边形 是 在点 处的切线 是 在点 处的切线直线 与 交于点 直线 与 交于点 与 交于点 则 三点共线.命题思路 点(不与 重合)在圆锥曲线 上对于 的任意内接直线 与 交于点直线 与 交于点 当点 运动时直线 一定经过 在点 和点 处的切线的交点.据此可以命制如下试题:题 已知 的三个顶点都在椭圆:()上点 是 上的动点(不与 重合)直线 与 交于点 直线 与 交于点 求证:直线 经过某个定点.题 已知 的三个顶点都在双曲线:()上点 是 上的动点(不与 重合)直线 与 交于点 直线 与 交于点 求证:直线 经过某个定点.题 已知 的三个顶点都在圆:()()()上点 是 上的动点(不与 重合)直线 与 交于点 直线 与 交于点 求证:直线 经过某个定点.题 已知 的三个顶点都在抛物线:()上点 是 上的动点(不与 重合)直线 与 交于点 直线 与 交于点 求证:直线 经过某个定点.结语帕斯卡定理是高等数学中射影几何的基本内容虽然在课标中没有要求但作为圆锥曲线的一种基本理论一线教师了解该内容不仅可以登高望远还可以以较高的观点去看待试题和命制新试题这对中学数学的教学是很有利的.限于篇幅笔者仅由题 出发给出了命制同类试题的两种思路读者还可以进一步探求其它命题思路命制更多高质量试题.参考文献:单墫.单墫老师教你学数学 平面几何中的小花.上海:华东师范大学出版社.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(年版 修订).北京:人民教育出版社.(收稿日期:)