数学分析试题与答案.doc

2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
学院 班级 学号（后两位） 姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核分人
得分

一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)
1.若在连续，则在上的不定积分可表为（ ）.
2.若为连续函数，则（ ）.
3. 若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（ ）.
4. 若收敛，则必有级数收敛（ ）
5. 若与均在区间I上内闭一致收敛，则也在区间I上内闭一致收敛（ ）.
6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（ ）.
7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.
二. 单项选择题（每小题3分，共15分）
1.若在上可积，则下限函数在上（ ）
A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定
2. 若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（ ）
A. 在上一定不可积；
B. 在上一定可积,但是；
C. 在上一定可积，并且；
D. 在上的可积性不能确定.
3.级数
A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定

4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则级数一定收敛；
B. 若，则级数一定收敛；
C. 若，则级数一定收敛；
D. 若，则级数一定发散；
5.关于幂级数的说法正确的是（ ）
A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；
B. 在收敛域上各点是绝对收敛的；
C. 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；
D. 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

三.计算与求值（每小题5分，共10分）
1.

2.

四. 判断敛散性（每小题5分，共15分）
1.

2.

3.

五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）
1.

2.

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分）

七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分)

八. 证明：函数在上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）

2014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》B卷 答案
学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核分人
得分

一、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）
1.✘ 2.✔ 3.✘ 4. ✔ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✔
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1. B ; 2.C ; 3.A ; 4.D; 5.B
三.求值与计算题（每小题5分，共10分）
1.
解：由于-------------------------3分
而 ---------------------------------4分
故由数列极限的迫敛性得：
-------------------------------------5分
2. 设 ，求
解：令 得
=----------------2分
=
= -----------------------------------4分
=
=---------------5分

四.判别敛散性（每小题5分，共10分）
1.
解： -------3分
且 ，由柯西判别法知，
瑕积分 收敛 -------------------------5分
2.
解：
有 -----------------------------2分
从而 当 -------------------------------4分
由比较判别法 收敛----------------------------5分
五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）
1.
解：极限函数为-----------------------2分
又 --------3分

从而
故知 该函数列在D上一致收敛. -------------------------5分
2.
解：因当 时，--------------2分
而 正项级数 收敛， -----------------------------4分
由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.-------------5分
3.
解：易知，级数的部分和序列一致有界，---2分
而 对 是单调的，又由于
，------------------4分
所以在D上一致收敛于0，
从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D上一致收敛。------5分

六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）
解：解方程组得圆与抛物线在第一象限
的交点坐标为：， ---------------------------------------3分
则所求旋转体得体积为：
-------------------------------7分
=------------------
= ------------------------------------------------------10分
七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）
解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系
则分析可知做功微元为：
--------------------------------5分
故所求为： -------------------------------------8分
=1250
=12250（千焦）-----------------------------------10分
八．设是上的单调函数，证明：若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分）
证明：是上的单调函数，所以有
------------------------------4分
又由与都绝对收敛，
所以 收敛，--------------------------------------7分
由优级数判别法知：
在上绝对且一致收敛.--------------------------------2013 ---2014学年度第二学期
《数学分析2》A试卷
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题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
核分人
得分

一. 判断题（每小题2分，共16分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)
1.若在[a,b]上可导，则在[a,b]上可积. ( )
2.若函数在[a,b]上有无穷多个间断点，则在[a,b]上必不可积。 （ ）
3.若均收敛，则一定条件收敛。 （ ）
4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I处处收敛（ ）
5.若为正项级数（），且当 时有： ，则级数必发散。（ ）
6.若以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为：
（ ）
7.若，则 （ ）
8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（ ）
二. 单项选择题（每小题3分，共18分）
1. 下列广义积分中，收敛的积分是（ ）
A B C D
2.级数收敛是部分和有界的（ ）
A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件
3.正项级数收敛的充要条件是（ ）
A. B.数列单调有界
C. 部分和数列有上界 D.
4.设则幂级数的收敛半径R=（ ）
A. B. C. D.
5. 下列命题正确的是（ ）
A 在绝对收敛必一致收敛
B 在一致收敛必绝对收敛
C 若，则在必绝对收敛
D 在条件收敛必收敛
6..若幂级数的收敛域为,则幂级数在上
A. 一致收敛 B. 绝对收敛 C. 连续 D.可导
三. 求值或计算（每题4分，共16分）
1. ；

2.

3． .

4.设在[0,1]上连续，求

四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.
1.；

2.

3. ；

4.

五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，共10分）

1.

2. ；

六.应用题型（14分）
1. 一容器的内表面为由绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（），若再加水7（），问水位升高了多少米？

2. 把由，x轴，y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的.

七．证明题型 （10分）
已知与均在[a,b]上连续，且在[a,b]上恒有，但不恒等于，证明：

2013 ---2014学年度第二学期
《数学分析2》B试卷
学院 班级 学号（后两位） 姓名

题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
核分人
得分

一、 判断题（每小题2分，共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）
1.对任何可导函数而言，成立。（ ）
2.若函数在上连续，则必为在上的原函数。（ ）
3.若级数收敛，必有。（ ）
4.若，则级数发散.
5.若幂级数在处收敛，则其在[-2,2]上一致收敛.（ ）
6.如果在以a,b为端点的闭区间上可积，则必有
.（ ）
7.设在上有定义，则与级数同敛散.（ ）
8.设在任子区间可积，b为的暇点，则与
同敛散.（ ）
9.设在上一致收敛，且存在，则.
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 函数在上可积的必要条件是（ ）
A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 和收敛，也收敛
B. 和发散，发散
C. 收敛和发散，发散
D. 收敛和发散，发散
3. 在收敛于，且可导，则（ ）
A. B. 可导
C. D. 一致收敛，则必连续
4.级数
A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定
5.幂级数的收敛域为：
A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C. D.
三.求值与计算题（每小题4分，共16分）
1.

2.

3.

4.

四.判别敛散性（每小题4分，共16分）
1.；

2.

3..

4.

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共10分）

1.

2.

六.应用题型（16分）
1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积.

2.将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可使之误差不超过十万分之一.

七. （9分）证明：若函数项级数满足：
（ⅰ） ；（ⅱ）收敛.则函数项级数在D上一致收敛.

014 ---2015学年度第二学期
《数学分析2》A卷答案
三. 判断题（每小题3分，共21分）
1. ✔ 2. ✘ 3. ✔ 4. ✘ 5. ✔ 6. ✔ 7. ✘
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
B, C, C, D, A
三.计算与求值（ 每小题5分，共10分）
1. 解：原式=
=---------------------------2分
=-------------------------3分
==---------------------------5分
2.原式= -------------------------------2分
= --------------------4分
= ---------------------------5分
四. 判断敛散性（ 每小题5分，共15分）
1. ----------------------------2分
且 ---------------------------------3分
由柯西判别法知，收敛。---------5分
2.由比式判别法
-----4分
故该级数收敛. -------------------------------5分
3. 解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-----------2分
又 知其单调且有界，---------4分
故由阿贝尔判别法知，级数收敛. --------------------------------5分
五.1. 解：极限函数为 ---------------------2分
又 ---------------------------------4分
故知 该函数列在D上一致收敛.-----------5分
2. 解：因当 时，----------------------3分
而 正项级数 收敛， -----------------------------4分
由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛.---------------5分

六．已知一圆柱体的的半径为R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分10分）

解:在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，

过x处用垂直x轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：
--------------------------------5分

故所求立体的体积为：
------------7分 = -------10分
七.解：建立图示坐标系(竖直方向为x轴)

则第一象限等腰边的方程为 ------------------------------------3分
压力微元为：
故所求为
----------------------------------------7分
------10分
八. 证明：每一项在上连续，
又 而收敛
所以在上一致收敛，-------------------------------3分
故由定理结论知
在上连续，------------------------------5分
再者 而收敛
所以在上一致收敛，结合在上的连续性
可知在上有连续的导函数. ----------------9分

2014 ---2015学年度第二学期
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题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
核分人
得分

二、 判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）
1.若为偶函数，则必为奇函数（ ）.
2.为符号函数，则上限函数y=在上连续（ ）.
3.若收敛，必有（ ）.
4.若在区间I上内闭一致收敛，则在区间I上处处收敛（ ）.
5.若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（ ）.
6.若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对收敛，并且其和不变（ ）.
7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一致收敛，则也在上一致收敛（ ）.
二.单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 函数是奇函数，且在上可积，则（ ）
A B
C D
2.关于积分，正确的说法是（ ）
A.此为普通积分 B. 此为瑕积分且瑕点为0
C. 此为瑕积分且瑕点为1 D. 此为瑕积分且瑕点为0,1

3.就级数（）的敛散性而言，它是（ ）
A. 收敛的 B. 发散的
C. 仅 时收 D. 仅 时收敛
4..函数列在区间上一致收敛于0的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5.幂级数的收敛域为：
A.（-0.5,0.5） B.[-0.5,0.5] C. D.
三.求值与计算题（每小题5分，共10分）
1.

2. 设 ，求

四.判别敛散性（每小题5分，共10分）
1.

2.

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）
1.

2.

3.

六. 设平面区域D是由圆，抛物线及x轴所围第一象限部分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）

八．设是上的单调函数，证明：若与 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. （本题满分9分）